بردار و ماتریس - قرارداد یا حقیقت؟ مسئله اینست!

[decoder]

سلام خیلی یهویی اومدم یه سوال بپرسم و برم
ضرب بردار ها یه چیز قراردادی و تعریفیه یا اینکه دلیل و برهانی هم داره؟؟؟ اصلا فلسفش چیه؟؟
منظورم اینه که اون کسی که اولین بار ضرب داخلی و خارجی رو برای بردار ها بکار برده چه جوری به این نتیجه رسیده که ضرب بردار ها باید به این شکل باشه؟
واسه ماتریس ها هم همین سوالو دارم.

[rohamavation]

ضرب خارجی می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود. در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین
θ، زاویه بین این دو برداره بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت $a=(a_x,a_y,a_z)$و$b=(b_x,b_y,b_z)$
بیان شوند برای محاسبه حاصل‌ضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathbf{c}} &=\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}\right|=\\
&=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) \overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \overrightarrow{\mathbf{k}}
\end{aligned}$توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است
$({\overrightarrow i},{\overrightarrow j},{\overrightarrow k})$
ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت ${\displaystyle (r\mathbf {A} )_{ij}=r\cdot a_{ij}.\,}$
می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر:${\displaystyle A\cdot B=A^{T}B}$
${\displaystyle A\cdot B=A^{T}B={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}.}.$ضرب خارجی به صورت
${\displaystyle A\otimes B=AB^{T}}$ تعریف می‌شود که:${\displaystyle A\otimes B=AB^{T}}$
که${\displaystyle AB^{T}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1 }&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{ n}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n} b_{1}&a_{n}b_{2}&\cdots &a_{n}b_{n}\\\end{bmatrix}}.}$
ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم:
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}a_{1,1}}&{\color {Red}a_{1,2}}&\cdots &{\color { Red}a_{1,n}}\\{\color {ForestGreen}a_{2,1}}&{\color {ForestGreen}a_{2,2}}&\cdots &{\color {ForestGreen}a_{ 2,n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {Blue}a_{m,1}}&{\color {Blue}a_{m,2}}&\cdots &{\color {Blue}a_{m,n}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}A_{1}}\\{\color {ForestGreen}A_{2} }\\\vdots \\{\color {Blue}A_{m}}\end{bmatrix}}}$
که در اینجا ${\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{i,1}&a_{i,2}&\cdots &a_{i,n}\end{bmatrix}}} $و
${\displaystyle B_{i}={\begin{bmatrix}b_{1,i}&b_{2,i}&\cdots &b_{n,i}\end{bmatrix}}^{T}.} $می‌باشند.
ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود:
${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{1 }&B_{2}&\dots &B_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A_{1}\cdot B_{1})&(A_{1}\cdot B_{2}) &\dots &(A_{1}\cdot B_{p})\\(A_{2}\cdot B_{1})&(A_{2}\cdot B_{2})&\dots &(A_{ 2}\cdot B_{p})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(A_{m}\cdot B_{1})&(A_{m}\cdot B_{2})& \dots &(A_{m}\cdot B_{p})\end{bmatrix}}.}$
ویژگی‌ها
ضرب ماتریسی خاصیت جابجایی ندارد.
${\displaystyle AB\neq BA}$
اگر A و B دو ماتریس n در n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آن‌ها در ضرب بستگی ندارد.
${\displaystyle \;\!\det(AB)=\det(BA)}$
اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آن‌ها جابجایی است.
ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:${\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C} }$ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:${\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} }$
اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکالر از آن میدان جابجایی خواهد بود:${\displaystyle \ c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$
${\displaystyle \ (\mathbf {A} c)\mathbf {B} =\mathbf {A} (c\mathbf {B} )}$
${\displaystyle \ (\mathbf {AB} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c)}$
در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.ضرب اسکالر در ماتریس ضرب اسکالر r در یک ماتریس A به این صورت تعریف می‌شود:${\displaystyle (r\mathbf {A} )_{ij}=r\cdot a_{ij}.\,}$
در جبر خطی انجام شده درست، چندین روش برای مشاهده ضرب ماتریس ارائه می‌کند که من نمی‌فهمم.
فرض کنید $v_1,...,v_n$ مبنای V است،$w_1,...,w_m$ مبنای W است، u1،...، بالا
اساس U است.فرض کنید $T: U \to V$ ، $S:V \to W$ و $M(S)=A$، $M(T)=C$. برای $1≤K≤p$، ما داریم$\begin{equation}\begin{split}
(ST)u_k &= S(\sum_{r=1}^{n}C_{r,k}v_r) \text{ This is Matrix times column?}\\
&= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}Sv_r\\
&= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j \text{ This is linear combination of columns?} \\
&= \sum_{j=1}^{m}\sum_{r=1}^{n}(A_{j,r}C_{r,k})w_j \text{ I don't know how to get from the previous step to this step}
\end{split}
\end{equation}$ این ستون ماتریس بار است
مهم است که بدانید چگونه M(S) و M(T) تعریف شده اند. همچنین توجه داشته باشید که نشانه گذاری شما پایه های زیرین را در نظر نمی گیرد. اینها ماتریس های استاندارد نیستند!به عنوان مثال، M(T)
با این قاعده تعیین می شود که، k آن ستون هفتم بردار ستون مختصات $Tu_k$ است با توجه به مبنا$v_1, \ldots, w_n$. به این معنا که،$Tu_k = \sum_{r=1}^n C_{r, k} v_r;$
این فقط فرآیند استاندارد برای بازیابی $Tu_k$است از بردار مختصات آن در kستون سی
در واقع فقط "ماتریس بار یک ستون" نیست، زیرا$ v_r $ممکن است بردار ستونی نباشد. این یک عنصر از V است
، که ممکن است برابر با $\Bbb{R}^n$ باشد یا نباشد. ممکن است که $v_r$ یک چند جمله ای یا بردار انتزاعی دیگری است. همانطور که گفتم، این فقط بازیابی یک بردار از بردار مختصات آن است.
نکته بعدی هم همینطور. ما داریم
$Sv_r = \sum_{j=1}^m A_{j,r} w_j$
دقیقا با همین استدلال
آخرین مراحل، قانون توزیع برای کشیدن یک ثابت به یک مجموع است:
$\sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j = \sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$
سپس مرتب سازی مجدد ترتیب جمع با استفاده از تداعی و جابجایی،
$\sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j = \sum_{j=1}^{m} \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$
و در نهایت با استفاده از جابجایی میدان اسکالر ترتیب $C_{r, k}$ را تغییر دهید و $A_{j, r}$
بنابراین اجازه دهید$A,B,C \in M_{m,n}(\mathbb{K})$
، چیزی که باید نشان دهم این است که:$A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$
$A(BC)=(AB)C$
اجازه دهید $a_{ij}$ ورودی ردیف i و ستون j باشد، ما AB را تعریف می کنیم
به روش زیر:$(AB)_{ij}:=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$
بنابراین، بیایید $(A(B+C))_{ij}$را محاسبه کنیم،
$(A(B+C))_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b+c)_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{n}a_{ij}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=$
اثبات اساساً یکسان استحالا من در انجمن گیر کرده ام،
$(A(BC))_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(\sum_{\gamma=1}^{n}b_{k\gamma}c_{\gamma j})=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{\gamma=1}^{n}a_{ik}b_{k\gamma}c_{\gamma j}\Big)$
و این جایی است که من در آن هستم، حدس می‌زنم در یک مقطع زمانی باید شاخص‌ها را تغییر دهم، نمی‌دانم آیا اجازه دارم پرانتز را قبل از$c_{\gamma j}$ بگذارم یا نه
.کاری که تا الان انجام دادی خوبه! برای پایان دادن به انجمن، سعی کنید جمع را دوباره مرتب کنید: $\sum_{k=1}^n\sum_{\gamma=1}^n =\sum_{\gamma=1}^n\sum_{k=1}^n$
با $c_{yj}$
. انجام این کار به سادگی عبارت ها را با ترتیب متفاوتی جمع می کند، که با جابجایی همان عدد را تولید می کند. –
شما می توانید جمع بندی ها را تغییر دهید
$\sum_{k=1}^n\sum_{\gamma=1}^n =\sum_{\gamma=1}^n\sum_{k=1}^n$
حالا می توانید$c_{yj}$ را بکشید
برای بدست آوردن
$\sum_{\gamma=1}^n c_{\gamma j} \sum_{k=1}^na_{ik}b_{k\gamma}=\\=\sum_{\gamma=1}^n c_{\gamma j}(AB)_{i\gamma}= \\=\sum_{\gamma=1}^n (AB)_{i\gamma}c_{\gamma j}=\\=((AB)C)_{ij}$
ا

[ghm]

سلام این سوال سوال خوبی هست. من خودم هم این سوال برام پیش اومده فکر میکنم ماتریسها الگوهای قراردادی از رفتارهای منظمی باشن که بارها باشون برخورد میکنیم.

مثلا شما وقتی پاورپوینت درست میکنید گاهی مممکنه از چند تا صفحه کپی بگیرید و اونهارو ویرایش کنید. یا وقتی برنامه نویسی میکنید گاهی از یک خط چند کپی میگیرید و مقادیرش رو تغییر میدید.

وقتی معادلات رو منظم میکنیم بین روابطش یک نظم های مشابه وجود داره. به نظرم ماتریسها ماهیتا این طور نیستند اما تعریف شدند تا بعضی از این نظم های موجود رو به صورت قراردادی پوشش بدند و و شبیه به یک عملگر یا عملگر توسعه یافته چند بعدی باشند.

مثل ضرب خارجی که با رفتار الکترومغناطیس یک بار قابل توضیح هست یا ضرب داخلی که کار جسمی رو محاسبه میکنه.

مثل برنامه نویسی اگر بیایم و روال حل معادله های چند مجهولی رو بنویسیم نظم هایی درش پیدا میکنیم که با ماتریس های از قبل تعریف شده و قرارداد شده میتونه نظمشون توصیف، دسته بندی و منظم بشه و قواعد ماتریسهارو هم براورده کنه.

[rohamavation]

از نظر لغت ماتریس به معنی محل پیدایش موطن معنی میشه یا ارایه قالب خوب یک نواع ارایش اعداد میشه که سطر و ستون یک بردار تشکیل میدن
بردار هم میشه مسیر جهت تو ریاضی عنصر از فضای برداری که طول و جهت داره خوب کلیه عملیات ها و اصول ضرب چمع در انها اعمال میشه .با اصل ضرب شمارش اشنایی خوب فرض کنید عملی را می‌توان به m طریق انجام داد. اگر به ازای هر یک از روش هایی که عمل اول را می‌توان انجام داد، به دنبال آن عمل دوم به n طریق بتواند انجام بگیره. آنگاه m×n طریق مختلف برای انجام توأم این در عمل وجود داره با فکتوریل و فرمول استرلینگ اشنایی خوب !n اونقدر بزرگه معمولا بهتقریب ${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$ بیان میشه
خوب میدونی عدد (Scalar)، بردار (Vectors)، ماتریس (Matrix) و تنسور (Tensor) چیه
«تانسور» (Tensor)، نقطه‌ای از فضا است که توسط یک یا چند شاخص که بیانگر مرتبه آن است، توصیف می‌شود. به‌طور کلی، تانسوری با مرتبه n در فضای mبعدیn شاخص و $m^n$
مؤلفه دارد و از قواعد تبدیل معینی تبعیت می‌کند. مثلاً، تانسوری با مرتبه یک در فضای سه‌بعدی، یک شاخص و 3 مؤلفه دارد. در واقع، تانسورها تعمیمی از اسکالرها (که بدون شاخص هستند)، بردارها (که یک شاخص دارند) و ماتریس‌ها (که دو شاخص دارند) با تعداد دلخواهی از شاخص‌ها هستند.تانسورهای مرتبه‌ صفر، یک و دو به ترتیب، اسکالر، بردار و ماتریس نامیده می‌‌شوند خوب تانسور مختصر و فشرده نویسی ماتریس و اتحادهای برداریه ضرب داخلی دو بردار$\large \mathrm {u \cdot v}=u_i v^i$تو فضای سه بعدی اینطور بیان میکنیم $\large \mathrm {u \cdot v } = u_i v^i = \sum \limits_ {i = 1}^3{u_i}v^i = u_1 v^1 + u_2 v^2 + u_3 v^3.$و ضرب خارجی $\large (u \times v)_i = \epsilon_{ijk} u^j v^k$و $\epsilon _{ijk}$ تانسور جایگشت هست اگر دو شاخص برابر باشند، مقدار تانسور جایگشت صفر می‌‌شود، بنابراین در فضای سه‌بعدی فقط دو حالت داریم:$\large (u \times v)_1 = \epsilon _{123} u^2 v^3 + \epsilon _{132} u^3 v^2$در جمله‌ اول، جایگشتی نداریم اما در جمله‌ی دوم، ترتیب قرار گرفتن شاخص‌‌ها متفاوت بوده و بین 2 و 3، یک جایگشت صورت گرفته است. از این رو، مقدار تانسور –1 خواهد بود:$\large (u \times v)_1 = u^2 v^3 -u^3 v^2$ خوب وارد بحث بیشتر نمیشم اما بدون در ریاضیات و محاسباتِ عددی وقتی بخوان اندازه‌ی یک بردار (vector) یا ماتریس (matrix) را محاسبه کنن از عبارتِ نرم یا همان norm استفاده می‌کنن شما مقدار بردار چگونه حساب میکنی جذر کلی اعضا به توان دو و جمع انها نرم یک بردار ضرب در یک اسکالر، برابر با ضرب قدر مطلق این اسکالر در نرم بردار است: $\langle v,x\rangle = v_1\cdot x_1 + v_2\cdot x_2$ خوب شما میتونی ماتریس به عنوان اپراتور یا عملگر در نظر بگیری ببین یک بردار در ماتریس ضرب میشه
یک ماتریس مربعی 3×3 را در نظر بگیرید که در یک بردار 3×1 ضرب می‌شود. نتیجه، یک بردار 3×1
است. ماتریس 3×3 موردنظر را می‌توان به‌عنوان یک اپراتور یا عملگر درنظر گرفت که به بردار اعمال می‌شود و بردار جدیدی را می‌سازد. نمونه‌های زیادی در ریاضیات و فیزیک وجود دارد که می‌خواهیم بردار با اعمال ماتریس ذاتاً بدون تغییر باقی بماند. به طور خاص، می‌خواهیم بردار v در رابطه
$A
v
=
λ
v$‌ صدق کند که A یک ماتریس مربعی و λ یک عدد حقیقی است. بردار v که در این معادله صدق می‌کند، «بردار ویژه» (Eigenvector) ماتریس A و ثابت λ، «مقدار ویژه» (Eigenvalue) یا مقدار مشخصه (Characteristic value) نامیده می‌شود.خوب مقدار ویژه هم $d
e
t
(
A
−
k
I
)
=
0$ بعد مساله Singular Value Decomposition svd شکستن ماتریس هستA یک ماتریس m×n وU یک ماتریس متعامد m×m وS یک ماتریس قطری m×nو V یک ماتریس متعامد n×n
است. می‌توان ماتریس A را به عنوان یک تبدیل خطی در نظر گرفت. این تبدیل را نیز می‌توان به سه زیرتبدیل تجزیه کرد: ۱) چرخش یا دوران ۲) تغییر مقیاس ۳) چرخش. این سه گام متناظر با سه ماتریس U، S و V هستند. مساله بعدی اتریس کوواریانس مفهوم واریانس را به ابعاد چندگانه تعمیم می دهد. برای مثال، تغییر در مجموعه ای از نقاط تصادفی در فضای دو بعدی را نمی توان به طور کامل با یک عدد مشخص کرد، همچنین لازم به ذکر است واریانس های موجود در x و y دستورالعمل ها حاوی تمام اطلاعات لازم هستند. ماتریس 2×2${\displaystyle 2\times 2} $برای توصیف کامل تغییرات دو بعدی ضروری است دیگه آنالیز مولفه اصلی (Principal Component Analysis) PCA
عملیاتِ کاهشِ ویژگی (Dimensionality Reduction) است. تعیین مولفه های اصلی برسی تمامیِ ویژگی‌ها را مورد بررسی قرار دهیم، یک سری ویژگی‌هایی را ارزشِ بیشتری دارند، تحلیل کنیم.
دترمینان Determinant هم میشه تعیین کننده زیاد سخت نیست .حالا اینا قابل تثبات هستند صرف قراردادی یا ماهیتی بودن من میگم ماهیتی هست .