تکانه زاویه ای

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
marm

نام: محمدامین

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۷:۴۳


پست: 11

سپاس: 3

جنسیت:

تکانه زاویه ای

پست توسط marm »

عنوان شده تکانه زاویه ای یک کمیت برداری است . آیا به معنای نیروی جهت دار است ؟ چرا؟
عنوان شده که پایستگی تکانه زاویه ای یاعث میشود که یک زیروسکوپ سرپا بایستد. اگر بردار تکانه زاویه ای با قانون دست راست مشخص میشود پس چرا ژیروسکوپ در هر جهتی که بچرخد باز هم سرپا می ایستد؟؟؟؟؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1479

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

Re: تکانه زاویه ای

پست توسط rohamjpl »

تکانه زاویه‌ای Angular momentumیک جسم حول محور دورانیش، برابر با حاصلضرب لختی دورانی – حول آن محور – در سرعت زاویه‌ای آن است.توجه داشته باشید که همواره سه محور دورانی عمود بر هم وجود دارند که بردار تکانه زاویه‌ای و سرعت زاویه‌ای هم جهت هستند. به این محورها، محورهای اصلی می‌گویند.درست همان طور که اگر نیروی خالصی بر دستگاه وارد نشود، تکانه خطی پایسته می ماند، اگر گشتاور نیروی خالصی بر دستگاه وارد نشود، تکانه زاویه ای پایسته است. قانون پایستگی تکانه زاویه ای بیان می کند: اگر هیچ گشتاور نیروی خارجی بر دستگاه چرخانی وارد نشود، تکانه زاویه ای دستگاه ثابت باقی می ماند. یعنی بدون گشتاور نیروی خارجی، حاصلضرب لختی دورانی و سرعت چرخش در یک زمان با هر زمان دیگری برابر است. توجه کنید تکانه زاویه ای یک جسم صلب به عنوان حاصل ضرب ممان اینرسی و سرعت زاویه ای تعریف می شود. آن مشابه با تکانه خطی است و در صورت عدم وجود گشتاور خارجی بر روی جسم، تابع محدودیت های اساسی اصل پایستگی تکانه زاویه ای است.از اصول بیان شده می‌دانیم که تغییرات تکانه نسبت به زمان برابر با نیروی وارد شده به ذره است$f={dp \over dt}$که اینجا ،f برآیند نیروهایی است که به ذره، وارد می‌شوند. بنابراین این نیرو را می‌توان با استفاده از مشتق‌گیری زمانی تکانه ذره، محاسبه کردتکانه میشه $L=r×p$این مقدار، برابر با ضرب خارجی دو بردار است؛ هم‌چنین از ریاضیات می‌دانیم که حاصل ضرب خارجی دو بردار، یک بردار است.در اینجا "r" در واقع بردار موقعیت است (که بردار شعاع نیز نامیده می شود) یعنی بردار از محور چرخش تا جایی که نیرو اعمال می شود.${\bf \tau = r \times F }$
تصویر
قدر آن در واقع برابر با فاصله از محور است، اما همچنان یک بردار است (همانطور که در شکل نشان داده شده است، هم قدر و هم جهت دارد).
بنابراین تکانه زاویه ای نیز مقداری برداری محسوب می‌شودو تغییرات نسبت به زمان $L=r×p \rightarrow {dL \over dt}=\dot r×p+r×\dot p$در ضرب خارجی، ترتیب عبارات بایستی حفظ شوند. $\dot r=v={p \over m} \enspace \enspace (1)$و$\dot p = f \enspace \enspace (2)$و$(1) , (2) \rightarrow {dl \over dt}= {p×p \over m}+r×f$می‌دانیم که حاصل‌ضرب خارجی بردار نیرو در مکان، برابر با گشتاور است. بنابراین تغییرات تکانه زاویه ای با زمان، به شکل زیر محاسبه می‌شوند.${dl \over dt}=τ$پس $l=mvr=mωr^2 $گشتاور ناشی از دو نیروی متضاد Fg و -Fg باعث تغییر در تکانه زاویه ای L در جهت آن گشتاور می شود (زیرا گشتاور مشتق زمانی تکانه زاویه ای است). این باعث می شود که قسمت بالایی به جلو برود.
تکانه زاویه ای در یک خط مستقیم
می‌توانید نقطه‌ای را که حرکت زاویه‌ای را در آن محاسبه می‌کنید، انتخاب کنید، همانطور که می‌توانید نقطه‌ای را انتخاب کنید که در یک تنظیم استاتیک (مانند تخته‌ای با بار ناهموار که روی پایه‌ها قرار گرفته است) لحظه‌هایی را برای آن در نظر بگیرید.
در واقع برای ذره ای که با r⃗ جابجا شده است
از یک نقطه O، نرخ تغییر تکانه زاویه ای، J⃗، در حدود آن نقطه است
$\frac{d \vec J}{dt}=\frac{d[\vec r \times (m\vec v)]}{dt}=m\left(\frac{d\vec r}{dt}\times \vec v\ + \vec r \times \frac{d \vec v}{dt}\right)= \vec r \times \frac{d(m\vec v)}{dt}=\vec r \times \vec F$
[اولین جمله در پرانتزهای بزرگ حاصل ضرب متقاطع یک بردار به خودی خود است و بنابراین صفر است.] بنابراین ما نتیجه مهمی را ایجاد کردیم که نرخ تغییر تکانه زاویه ای ذره در حدود O = لحظه نیروی وارد بر ذره حول نقطه O.
این برای هر نقطه O که انتخاب می کنیم صدق می کند و به دلیل عمومیت آن به یک اصل قدرتمند تبدیل می شود!
اگرچه ما می توانیم هر نقطه O را انتخاب کنیم، ممکن است دلایل استراتژیک برای انتخاب یک نقطه خاص وجود داشته باشد. به عنوان مثال، اگر مرکز خورشید را به عنوان O انتخاب کنیم، یک سیاره دارای یک تکانه زاویه ای ثابت در مورد آن نقطه است، زیرا هیچ لحظه ای از نیروی خورشید روی سیاره در مورد آن نقطه وجود ندارد، زیرا نیرو به صورت شعاعی به سمت داخل به سمت آن نقطه است. نقطه (به یک تقریب خوب). ثبات حرکت زاویه ای در مورد O قانون مساحت مساحت مشاهده شده توسط کپلر را توضیح می دهد.
حفظ تکانه زاویه ای شتاب زاویه ای یک اسکیت باز روی یخ را در حالی که دست ها و پاهای خود را به محور عمودی چرخش نزدیک می کند توضیح می دهد. او با نزدیک کردن بخشی از جرم بدنش به محور، ممان اینرسی بدنش را کاهش می دهد. از آنجایی که تکانه زاویه ای حاصل ضرب ممان اینرسی و سرعت زاویه ای است، اگر تکانه زاویه ای ثابت بماند (حفظ شود)، سرعت زاویه ای (سرعت چرخش) اسکیت باز باید افزایش یابد.تصویر
یک ژیروسکوپ چرخشی با بردار تکانه زاویه‌ای رو به بالا، حرکت ژیروسکوپی را در مقابل سقوط از خود نشان می‌دهد. حرکت ژیروسکوپی تمایل یک جسم در حال چرخش برای حفظ جهت چرخش خود است. یک جسم در حال چرخش دارای تکانه زاویه ای است و این تکانه باید حفظ شودژیروسکوپ حول یک محور عمودی حرکت می کند، زیرا گشتاور همیشه افقی و عمود بر L است. اگر ژیروسکوپ در حال چرخش نباشد، تکانه زاویه ای در جهت گشتاور به دست می آورد (L = ΔL) و حول محور افقی می چرخد. همان طور که انتظار داشتیم سقوط کند.پس ژیروسکوپ وسیله‌ای برای اندازه‌گیری یا حفظ جهت می‌باشد که از اصل بقای تکانهٔ زاویه‌ای استفاده می‌کند. یک ژیروسکوپ مکانیکی همیشه یک چرخ یا دیسک چرخنده با محور آزاد دارد که می‌تواند در هر جهتی قرار گیرد. رفتار یک چرخش‌نمای مکانیکی نشان دهندهٔ پایستگی ویژگی‌های تکانهٔ زاویه‌ای (مقدار انرژی جنبشی و جهت آن به عنوان یک مقدار برداری) است. تغییر این جهت‌گیری بر اثر گشتاور خارجی بسیار ناچیز است. این به دلیل همان زاویه‌ای بزرگ خود به همراه نرخ زیاد چرخش آن است. چون گشتاور خارجی توسط نگاه داشتن وسیله در یک حلقه کمینه می‌شود
در مورد ژیروسکوپ هم مطلب زیر هست
اجازه دهید در بالا z^ جهت از پایه سازه به کره قرمز باشد ، و ایکس^ بردار واحد که از کره قرمز به سمت ژیروسکوپ می رود.
پیکانهای قرمز نشان دهنده سرعت قسمتهای مختلف ژیروسکوپ چرخان است. پیکانهای سبز نشان دهنده عملکرد موثر گرانش بر روی مرکز جرم میله است و نیروی متقابل مربوطه لولا را ارائه می دهد.
عملکرد ترکیبی دو فلش سبز باعث ایجاد گشتاور روی میله + سیستم ژیروسکوپ می شود و می خواهد آن را به پایین فشار دهد. اما تنها راه برای این اتفاق ، چرخش ژیروسکوپ در داخل استایکس^z^ سطح:
فلشهای فیروزه ای نیروهای مربوطه را نشان می دهد که این چرخش در نقاط بالا و پایین ژیروسکوپ ایجاد می کند. اکنون ، به یاد داشته باشید که فلشهای فیروزه ای نیروها را نشان می دهند ، در حالی که سرعت قرمزها. فلشهای فیروزه ای باعث تسریع در نقاط مختلف ژیروسکوپ می شوند. به طور خاص ، آنها فلش های قرمز را وادار به تغییر جهت می کنند. در مدل این برای نقاط بالا و پایین نشان داده شده است ، در حالی که فلشهای نارنجی بردارهای سرعت اصلاح شده را در آن نقاط بازنشانی می کنند.
همانطور که از آنجا مشاهده می کنید ، بردارهای جدید سرعت با مواردی که در هنگام تغییر جهت حرکت ژیروسکوپ به دنبال حرکت شتاب دادن ، مطابقت دارید. اساساً ، عملکرد نیروهای فیروزه ای روی سرعتهای قرمز همان چیزی است که باعث حرکت پیش دستی می شود.
اکنون برای تغذیه ، باید توجه داشته باشیم که فلش های فیروزه ای بالا در واقع به درستی ترسیم نشده اند. حرکت جیروسکوپ که به طرز صحیح تری سقوط می کند مطابقت دارد که فلشهای فیروزه ای کمی به سمت زمین متمایل شده اند. این البته قابل انتظار است: پس از همه ، اگر ژیروسکوپ چرخش نداشت ، فقط سقوط می کرد. به همین دلیل است حتی اگر حرکت تقدیمی وجود دارد، ژیروسکوپ کند به پایین کمی.
این شتاب به سمت زمین ، به دلیل همان مکانیزم توضیح داده شده در بالا ، نیز یک پیش دستی سریعتر را القا می کند. اما یک ترجیح شتاب آور اکنون به دلایلی شبیه به دلایل خود ترجیح ، موجب واکنش متقابل می شود.
یک حرکت شتاب دهنده به این معنی است که بردارهای نیرویی وجود دارد که ژیروسکوپ را به چرخش در داخل فشار می دهد ایکس^y^سطح. باز هم ، این مربوط به فشار دادن نقاط مختلف ژیروسکوپ به جهات مختلف است. در ادامه ، پیکان فیروزه ای نیروهایی را نشان می دهد که در دو نقطه عمل می کنند:انرژی جنبشی ان $ T=\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2+\frac{1}{2}I_3\omega_3^2$ با توجه به تنسور $I_{ij}=\sum m\left(r^2\delta_{ij}-r_ir_j\right) $ با توجه بردار$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} $
باز هم ، این نیروهای فیروزه ای تغییر جهت جهت های قرمز متناظر را القا می کنند و فلش های نارنجی نشان می دهند که سرعت به زودی چه خواهد بود. همانطور که می بینید ، سرعتهای جدید مربوط به جهت حرکت ژیروسکوپ به سمت بالا است ، بنابراین پدیده "مقابله با سقوط" را ایجاد می کند که در این مورد ، تغذیه است.تصویرتصویر
یخوب مید.ونید ژیروسکوپ وسیله ای جهت حفظ جهت در راستای حفظ تعادل می‌باشد که از اصل بقای تکانه زاویه‌ای استفاده می‌کند.یک ژیروسکوپ مکانیکی همیشه یک چرخ یا دیسک چرخنده با محور آزاد دارد که می‌تواند در هر جهتی بایستد. اما بهترین روش تحلیل ریاضی ان هست .محورهای مختصات XYZ را به صورت شکل زیر برای ژیروسکوپ رسم می‌کنیم تو این شکل g شتاب گرانش است. نقطه G مرکز جرم دیسک را نشان می‌دهد. محل تکیه‌گاه نیز با P نمایش داده می‌شود. مبدأ مختصات XYZ، نقطه P است. بردارهای J ،I و K بردارهای یکه هستند و به ترتیب جهت مثبت محورهای Y ،X و Z رابه ما نشون میدند.ابتدا من سرعت زاویه ای دیسک محاسبه کنم $\large\overrightarrow{\omega_w}=(\omega_s\sin\theta)\hat{J}+(\omega_s\cos\theta+\omega_p)\hat{K} $ از رابطه مشتق بگیرم $ \large\overrightarrow{a_w}=\frac{d[(\omega_s\sin\theta)\hat{J}]}{dt}+\frac{d[(\omega_s\cos\theta\:+\omega_p)\hat{K}]}{dt}$ خوب $\omega_s $ معلوم هست که صفر هست لذا رابطه ساده میشه$\large\overrightarrow{a}_w=-\omega_s\omega_p\sin\theta\:\hat{I} $ خوب سرعت زاویه ای میله $\large\overrightarrow{\omega}_r=\omega_p\:\hat{K} $ وچون سرعت زاویه‌ای میله ثابت است و جهت آن هم تغییر نمی‌کند، شتاب زاویه‌ای آن صفر هست حالا نیروها و گشتاورهای وارد به دیسک را برسی کنیم گشتاور در نقطه G و در راستای محور x را با Mx نشان داده‌ایم. گشتاورهای My و Mz نیز به طریقی مشابه تعریف میشه.تصویر با قانون دوم نیوتن اشنا هستید همون رابطه معروف $\large\sum_{}F_X=F_{GX}=m_wa_{GX}\\~\\
\large\sum_{}F_Y=F_{GY}=m_wa_{GY}\\~\\
\large\sum_{}F_Z=F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ} $جرم دیسک با mw نمایش داده شده است. aGX شتاب را در نقطه G و در راستای X نشان میدهم. شتاب‌های aGY و aGZ نیز به طوری مشابه و به ترتیب در جهت‌های Y و Z تعریف میشه/$\large F_{GY}=m_wa_{GY} $خوب نقطه G روی یک مسیر افقی به شکل دایره و با سرعت ثابت حرکت می‌کند پس شتاب مماسی برابر صفر است.خوب شتاب گرا در جهت y $ \large a_{GY}=-{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ هستش.لذا نیرو $ \large F_{GY}=-m_w{\omega_p}^2(L\sin\theta)$ خوب نقطه G با سرعت ثابت روی یک دایره افقی حرکت می‌کند، شتاب در راستای Z برابر با صفر است پس $\large F_{GZ}-m_wg=m_wa_{GZ}=0 $ و $ \large F_{GZ}=-m_w\:g$ حرکت اویلر را در جهت x برای جسم صلب به کاربرده و . این معادلات در دو جهت دیگر مساوی صفر هستند.$ \large \sum M_{Gx}=I_{Gx}\alpha_x-(I_{Gy}-I_{Gz})\omega_y\omega_z$ ببینید که نیروهای FGX ،FGY وFGZ حول نقطه G هیچ گشتاوری ایجاد نمی‌کنند. زیرا هر سه نیرو از نقطه G عبور کرده و طول بازوی گشتاور در آنها صفر است. در رابطه بالا، IGx ،IGy و IGz، به ترتیب ممان‌های اینرسی را حول نقطه G در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهد $ \large I_{Gx}=I_{Gz}=\frac{1}{4}m_wr^2$ لذا $ \large I_{Gy}=\frac{1}{2}m_wr^2$معادله حرکت اویلر در جهت x به دست خواهد آمد $ \large M_x=-\frac{1}{4}m_wr^2\omega_s\omega_p\sin\theta-\frac{1}{4}m_wr^2(\omega_s+\omega_p\cos\theta)\omega_p\sin\theta$ در این بخش گشتاورهای وارد شده به میله را حول نقطه P بررسی کنم $ \large \sum M_{Px}=I_{Px}a_x-(I_{Py}-I_{Pz})\omega_y\omega_z$سرعت و شتاب زاویه‌ای میله در دستگاه xyz را می‌توان به صورت زیر نوشت $ \large \omega_x=0\:\:,\:\:\omega_y=\omega_p\cos\theta\:\:,\:\:\omega_z=\omega_p\sin\theta\\~\\
\large a_x=a_y=a_z=0$ ،که IPy و IPz، به ترتیب ممان‌های اینرسی میله را حول نقطه P در جهت‌های y ،x و z نشان می‌دهند$\large I_{Px}=I_{Pz}=\frac{1}{3}m_rL^2\\~\\
\large I_{Py}=0 $ من معادله اویلر در جهت محور x مینویسم $ \large -m_rg\frac{L}{2}\sin\theta-F_{GZ}L\sin\theta+F_{GY}L\cos\theta-M_x\\
\large=\frac{1}{3}m_rL^2{\omega_p}^2\cos\theta\sin\theta$ ساده شده عبارت $\large {\omega_p}^2\cos\theta(\frac{1}{3}m_rL^2-\frac{1}{4}m_wr^2+m_wL^2)\\
\large=\frac{1}{2}m_wr^2\omega_s\omega_p-m_rg\frac{L}{2}-m_wgL $ هست پایداری ژیروسکوپ تکانه زاویه‌ای تغییرات بردار تکانه زاویه‌ای جسم صلب در بازه زمانی ti تاtf به صورت زیر محاسبه می‌شود. پارامتر Hf بردار تکانه زاویه‌ای را در لحظه نهایی tf نشان می‌دهد. بردار تکانه زاویه‌ای در لحظه اولیه ti نیز برابر با Hi است. بردار M همکه بیانگر گشتاورهای خارجی وارد به جسم صلب است.$ \large \sum \int_{ti}^{tf}\overrightarrow{M}dt={\overrightarrow{H}}_f-{\overrightarrow{H}}_i$تصویر
تکانه زاویه‌ای بین زمان‌های ti و tf با ΔH نشان داده شده است. خوب تحلیل اسپین می‌خواهم رابطه‌ای برای ارتباط بین زاویه θ و بردارهای HG و ωs پیدا کنم. با استفاده از ضرب داخلی، رابطه زیر به راحتی به دستمیاد$ \large \cos\theta=\frac{{\overrightarrow{H}}_G.\hat{J}}{|{\overrightarrow{H}}_G|}$ خوب مشتق بگیرم $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{{\overrightarrow{H}}_G}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})$ عبارت زیر جایگذاری کنم $(\frac{\text{d}\hat{j}}{\text{d}t})=\overrightarrow{\omega}\times\hat{j} $ از مفهوم ضرب خارجی $ \large\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=-\frac{(I_z-I_x)\omega_z\omega_x}{\sin\theta\:|{\overrightarrow{H}}_G|}$ هنگامی که مقادیر Ix وIz با یکدیگر برابر باشند $\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t} $ نیز صفر هست $\omega_x=\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=0 $ و ωp را برحسب یکدیگر محاسبه کنیم. از آنجایی که زاویه θ همیشه ثابت است، تکانه زاویه‌ای را می‌توان به صورت زیر و در دستگاه مختصات xyz بیان کرد.$ \large {\overrightarrow{H}}_G=(|{\overrightarrow{H}_G}|\cos\theta)\hat{j}+(|{\overrightarrow{H}_G}|\sin\theta)\hat{k}$ لذا خوب دارم $\large\omega_s=\omega_p\cos\theta\frac{I_w-I_{Gy}}{I_{Gy}} $تصویرحالا چرا هنگام چرخاندن یک فرفره به حالت ایستاده برمی گردد
جای این که مانند برخی از بالای صفحه ها به یک نقطه تیز در پایین برسد ، یک پایین گرد دارد. این اثر در تاپ هایی که شعاع انحنای بیشتری در پایین دارند ، بارزتر و چشمگیرتر است ، مانند حالت فوقانی بالای تیپ ، که دارای شعاع انحنای آنقدر بزرگ است که امکان دارد مرکز جرم بالای آن باشد در ارتفاعی کوچکتر از شعاع انحنا. در واقع ، مقاله هایی که من دیده ام نشان می دهد که چگونه اصطکاک کشویی باعث بالا آمدن مرکز جرم یک تاپ می شود ، به طور خاص آنالیز بالای تاپ را انجام می دهند.
تجزیه و تحلیل یک بالا به طور کلی ، از جمله اثرات اصطکاک ، کاملاً پیچیده است. برای ساده کردن تجزیه و تحلیل بسیار زیاد ، من فقط در یک لحظه به بالا نگاه می کنم که در آن بالا هیچ حرکت خطی ندارد ، و یک حرکت زاویه ای بسیار بزرگ دارد که دقیقاً در امتداد محور تقارن بالا قرار دارد.
همچنین گرانش را در این توضیح ساده قابل اغماض می دانم. گرانش باعث ایجاد یک گشتاور کاملاً افقی در قسمت بالایی می شود ، اما ما فقط به گشتاور علاقه مند هستیم که دارای یک مولفه عمودی باشد ، که باعث می شود تا بالا به طور قائم تر شود. در حقیقت ، اگر جاذبه سطح و میز را به هم نمی چسباند ، هیچ اصطکاک لغزشی در نقطه تماس بین این دو وجود نخواهد داشت ، اما ما به راحتی تصور خواهیم کرد که اصطکاک کشویی وجود دارد ، بدون در نظر گرفتن چگونگی اصطکاک کشویی مربوط به گرانش است.
از آنجا که بالای آن به جای پایین نوک تیز ، یک گرد دارد ، نقطه تماس بالای آن در P نیست ، بلکه در بعضی از نقاط C است. از فرضیات گفته شده در بالا ، در لحظه مورد علاقه P ثابت است. در مقابل ، از جهت$ \vec{L}$ ، در C سطح بالا به سمت بیننده در حال حرکت است ، مستقیم از صفحه نمودار به سمت بالا. اصطکاک کشویی یک نیروی$ \vec{F}_k$ (نشان داده نشده) در بالا در C ، در جهت مخالف حرکت بالا در آن نقطه است ، یعنی مستقیماً به سمت پایین
بردار موقعیت C از$\vec{X}_C $ است. نیروی $\vec{F}_k $ در بالا یک گشتاور در قسمت بالای مرکز جرم بالای آن تولید می کند ،تصویر
$\vec{\tau} = \vec{X}_C \times \vec{F}_k \,\, . $
گشتاور $\vec{\tau} $ را می توان به صورت زیر نوشت$ \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, ,$
جایی که$ \vec{\tau}_{\parallel}$ موازی$\vec{L} $ است و$ \vec{\tau}_{\perp}$ عمود بر $\vec{L} $ است.
گشتاور $ \vec{\tau}$ این است که حرکت زاویه ای $\vec{L} $ با زمان تغییر می کند ،$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, . $
اگه$\vec{\tau}_{\parallel} $در جهت مخالف $ \vec{L}$ قرار دارد ، بنابراین اثر$\vec{\tau}_{\parallel} $ کاهش بزرگی $ \vec{L}$ است ، به عنوان مثال ، کاهش سرعت بالا.
اگر قسمت بالای آن در فضای خالی باشد ، اثر $ \vec{\tau}_{\perp}$ چرخاندن قسمت بالای آن در جهت O در جهت ساعت در نمودار خواهد بود. با این وجود ، به دلیل محدودیتی که قسمت بالای صفحه با جدول در تماس است ، اثر $\vec{\tau}_{\perp} $ این است که O را از جدول بلند کرده و O را به بالاتر از C نزدیک کند.
بالا یک بدنه متقارن سفت و سخت است. معادلات حرکت یک جسم صلب در اطراف مرکز جرم آن توسط: .
$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3 $
$ I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$
$ I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$
فرض کنید که بالای سفت و سخت در مورد یک محور متقارن است (بگذارید بگوییم محور سوم) ، بنابراین ما داریم:
$I_1=I_2 $
و همچنین اینکه محور سوم باریک است:$I_3<I_1(or I_2) $
در این حالت معادله سوم حرکت دلالت دارد$ \Omega_3=\Omega = const.$
و به جای دو معادله دیگر ، بدست می آوریم:
$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega\Omega_2 $
$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega\Omega_1 $
با استفاده از مشتق اول معادله دوم با توجه به زمان و جایگزینی معادله دوم ، به دست می آوریم:$I_1I_2\ddot\Omega_2= \Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)\Omega_2 $
این یک معادله یک نوسان ساز هارمونیک است:$ \ddot\Omega_2+k^2 \Omega_2 = 0$با$ k^2= - \frac{\Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)}{I_1I_2}$
اکنون ، مشاهده کنید که k ^ 2> 0$ $از آنجا که $I_3-I_1<0 $ و$I_2-I_3>0 $ ، بنابراین ثابت فنر واقعی است و نوسان ساز هارمونیک پایدار است.
این اثر ژیروسکوپی نامیده می شود و بیان می کند که شیئی که در حال چرخش است دارای یک حرکت زاویه ای است $ \vec{L}$ بنابراین تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند ،$\vec{L}=I\omega $ سریعتر می چرخد ​​(ω بیشتر) بیشتر تمایل دارد که محور چرخش خود باقی بماند.
یک تصویر زیر را در نظر بگیرید ، یک چرخش با سرعت زاویه ای ω می چرخد ​​، بنابراین دارای یک حرکت زاویه ای$\vec{L} $ است ، سریعتر$ \vec{L}$ بیشتر می چرخد ​​و بیشتر تمایل دارد که حرکت چرخشی خود را در مورد یک محور خاص حفظ کند ، توجه داشته باشید که وقتی سرعت آن کاهش می یابد (به دلیل نیروهای اصطکاک)$ \vec{L}$ کمتری دارد بنابراین ترجیح آن به دلیل سنگین شدن آن به سمت پایین افزایش می یابد.
توجه داشته باشید که نیروی گرانش باعث چرخش بالای چرخش ماشینی (پیش از چرخش چرخشی آن می شود) بنابراین می توانیم از این مشاهده نتیجه بگیریم که برای تغییر محور چرخش چرخش باید نیرویی اعمال شود ، بیشترین نیرویی که بیشتر از قبل از آن استفاده خواهد کرد محور چرخش (با فرض ثابت بودن L⃗). وقتی این نیرو برداشته شود ، به دلیل داشتن شتاب زاویه ای ، به طور طبیعی و بدون هیچ گونه مقدماتی به حالت اولیه برمی گردد.تصویر
به عنوان قانون اول نیوتون فکر کنید ، اما به جای حرکت ترجمه در حرکت چرخشی است.قانون اول نیوتون اظهار داشت:جسمی که در حال حرکت است تمایل دارد که در حرکت بماند و در یک خط مستقیم حرکت کند ، مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.ما می توانیم این قانون را برای حرکت چرخشی دوباره ایجاد کنیم:جسمی که در حال چرخش است تمایل دارد که حرکات چرخشی در مورد یک محور خاص باقی بماند مگر اینکه توسط یک نیروی نامتعادل عمل کند.
جسمی که دارای یک حرکت انتقالی با سرعت v باشد به نیروی $ \vec{F}$ نیاز دارد تا جهت حرکت خود را به طور مشابه تغییر دهد شیئی که دارای سرعت زاویه ای ω است برای تغییر محور چرخشی خود به نیرو احتیاج دارد.گشتاور به عنوان گرایش نیرو برای چرخش یک جسم در مورد یک محور و از نظر ریاضی به عنوان یک محصول بردار (ضربدری) از فاصله و نیرو تعریف می شود:$ \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$جایی که r فاصله ای از نقطه چرخش است و$\vec{F} $ به آن نیرو وارد می شود.
توجه داشته باشید که گشتاور یک بردار است و این بردار در تصویر زیر نشان داده شده است:
چرخش بالا تقریباً عمودی می شود زیرا دارای حرکت زاویه ای است و این بدان معناست که اگر جسمی بچرخد در مقابل محور چرخش خود مقدمه گرفته و سریعتر بچرخد در مقابل این مقدمه مقاومت می کند تا اتفاق بیفتد ، بنابراین اگر هنوز آن را برعکس کردم می چرخد ​​با همان سرعت زاویه ای به سرعت صفر باز می گردد ، سریعتر می چرخد ​​سریعتر به حالت اولیه خود باز می گردد.
برای توضیح این موضوع از نظر ریاضی ، یک در حال چرخش روی زمین با سرعت زاویه ای ω در نظر گرفته شده است و دارای سرعت زاویه ای شیب ω پی و زاویه شیب دار
حرکت زاویه ای آن به صورت زیر تعریف می شود:$\vec{L}= \vec{\omega} I $

بگویید چرخش بالای Δθ چرخانده و تغییر آن در حرکت زاویه ای ΔL است.
سپس می توانیم Δθ را به صورت زیر بیان کنیم:$ \Delta \theta \approx \frac{\Delta L}{L sin(\phi)}$
سرعت زاویه ای حق تقدم را می توان به شرح زیر بیان کرد:$\omega_p = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} $
اکنون می توانیم معادله اول را در این معادله جایگزین کنیم.$\omega_p = \frac{\Delta L}{\Delta t L sin(\phi)} $
گشتاور به عنوان تغییر در حرکت زاویه ای تعریف می شود:
$\frac{\Delta L}{\Delta t}= I \vec{\alpha} = \tau $
حالا این را در معادله قبلی جایگزین می کنیم:$\omega_p = \frac{\tau}{L sin(\phi)} $
و فرمول زیر را دریافت می کنیم:$\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)} $
از این معادله می توان دریافت که اگر نیرویی را روی جسمی در حال چرخش وارد کنیم ، ωp آن افزایش می یابد زیرا با نیروی اعمال شده متناسب است. اگر نیروی اعمال شده صفر باشد ، ωp نیز صفر می شود ، بنابراین دیگر سرعت زاویه ای فوق العاده ای نخواهد داشت بنابراین دوباره به صورت ایستاده ایستاده است..I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست