فرمول میدان گرانشی

[Syed]

سلام
فرمول بزرگی میدان گرانشی چیست؟

[MRT]

منظور از بزرگی چیست؟ نیرو، شدت، چگالی و ....

[Syed]

منظور از بزرگی چیست؟ نیرو، شدت، چگالی و ....

مثل فرمول بزرگی میدان الکتریکی
$E=F/q$

[MRT]

اندازه یا شدت میدان الکتریکی خیلی بیشتر از میدان گرانشی است و ما بار گرانشی نداریم و از واحد جرم یعنی کیلوگرم استفاده می کنیم. ولی در الکتریسیته از مقدار بار الکتریکی کوانتومی مربوط به یک الکترون و پروتون. معادلات نیروی گرانشی و الکتریکی یکی است منتهی با ثابت های مختلف که ثابت الکتریکی خیلی بزرگ تر از ثابت گرانشی است. لذا بجای E از g شتاب ثقل استفاده می شود. یعنی:









لذا منظور شما از بزرگی میدان گرانشی همان g یا شتاب ثقل است که برای سطح زمین 9.8 متر بر مجذور ثانیه می شود.

[MRT]

خورشید

۲۷۳/۹۵


عطارد

۳/۷۰۱


زهره

۸/۸۷


زمین

۹/۸۷۰


ماه

۱/۶۷۲


مریخ

۳/۶۹


مشتری

۲۳/۱۲


زحل

۸/۹۶


اورانوس
۸/۶۹


نپتون

۱۱/۱۵

[MRT]

الان مریخ زیاد مشتری داره برای اینکه فرار کردن از جاذبش برای انسان راحت هست. رفت سخت ولی برگشت راحت مثل سرازیری.

[Syed]

خورشید

۲۷۳/۹۵


عطارد

۳/۷۰۱


زهره

۸/۸۷


زمین

۹/۸۷۰


ماه

۱/۶۷۲


مریخ

۳/۶۹


مشتری

۲۳/۱۲


زحل

۸/۹۶


اورانوس
۸/۶۹


نپتون

۱۱/۱۵

پس یعنی فرمول میدان گرانشی اینه :

$$g=\frac{GM}{R²}$$

[MRT]

خوب ما این رابطه را از تابع نیروی میدان گرانش بدست آوردیم. شما فکر کن اگر F نیرو باشه g میشه شدت یا به قول شما بزرگی میدان گرانشی. در میدان الکتریکی نیروی کلی میدان بر یک بار ساکن لحاظ میشه ولی در میدان گرانش، شتاب ثقل. چون ما در گرانش با مفهوم اینرسی سروکار داریم. استنباط و استدراک بشر با مواجهه با این دو میدان متفاوت است.

[علی محمدی نیا]

میدان گرانشی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

G = (8πG/c^4) T

در این فرمول، G ثابت گرانشی است که برابر با 6.6743 × 10^-11 متر مکعب بر ثانیه مربع بر کیلوگرم می‌باشد. c نیز سرعت نور است و برابر با 299,792,458 متر بر ثانیه است. در نهایت، T چگالی انرژی-تکانه در هر نقطه از فضا-زمان است که توسط ماده و انرژی به وجود می‌آید.

این فرمول نشان می‌دهد که گرانش به دلیل توزیع جرم و انرژی در فضا-زمان به وجود می‌آید. به عبارت دیگر، هرچه جرم و انرژی بیشتری در یک نقطه از فضا-زمان وجود داشته باشد، میدان گرانشی در آن نقطه قوی‌تر خواهد بود.

[Syed]

میدان گرانشی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

G = (8πG/c^4) T

در این فرمول، G ثابت گرانشی است که برابر با 6.6743 × 10^-11 متر مکعب بر ثانیه مربع بر کیلوگرم می‌باشد. c نیز سرعت نور است و برابر با 299,792,458 متر بر ثانیه است. در نهایت، T چگالی انرژی-تکانه در هر نقطه از فضا-زمان است که توسط ماده و انرژی به وجود می‌آید.

این فرمول نشان می‌دهد که گرانش به دلیل توزیع جرم و انرژی در فضا-زمان به وجود می‌آید. به عبارت دیگر، هرچه جرم و انرژی بیشتری در یک نقطه از فضا-زمان وجود داشته باشد، میدان گرانشی در آن نقطه قوی‌تر خواهد بود.

این معادله از نسبیت عام اومده درسته؟

[MRT]

میدان گرانشی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

G = (8πG/c^4) T

در این فرمول، G ثابت گرانشی است که برابر با 6.6743 × 10^-11 متر مکعب بر ثانیه مربع بر کیلوگرم می‌باشد. c نیز سرعت نور است و برابر با 299,792,458 متر بر ثانیه است. در نهایت، T چگالی انرژی-تکانه در هر نقطه از فضا-زمان است که توسط ماده و انرژی به وجود می‌آید.

این فرمول نشان می‌دهد که گرانش به دلیل توزیع جرم و انرژی در فضا-زمان به وجود می‌آید. به عبارت دیگر، هرچه جرم و انرژی بیشتری در یک نقطه از فضا-زمان وجود داشته باشد، میدان گرانشی در آن نقطه قوی‌تر خواهد بود.

در هر دو طرف معادله G هست!

[rohamavation]

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{dt^{2}}}=-GM{\frac {\mathbf {\hat {R}} }{\left|\mathbf {R} \right|^{2}}}=-\nabla \Phi }$جایی که F نیروی گرانشیه m جرم ذره آزمایشیه R موقعیت ذره آزمایشیه (یا برای قانون دوم حرکت نیوتن که تابعی وابسته به زمانه مجموعه ای از موقعیت های ذرات آزمایشیه که هر کدام موقعیت خاصی را اشغال می کنن. R̂ یک بردار واحد در جهت شعاعی R هستش، t زمان، G ثابت گرانشی، و ∇ عملگر del است من با همون مکانیک کلاسیک ساده جواب میدم
هر دو برابر با شتاب گرانشی g هستن(معادل شتاب اینرسی، بنابراین شکل ریاضی یکی دارن اما به عنوان نیروی گرانشی در واحد جرم نیز تعریف میشه از آنجایی که نیرو به صورت ضد موازی با جابجایی عمل میکنه علائم منفی درج می شه. معادله میدان معادل بر حسب چگالی جرم ρ جرم جذب کننده
${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-\nabla ^{2}\Phi =-4\pi G\rho }$
استخراج دینامیک گرانشی با استفاده از لاگرانژ؟
$L = T-V = \frac 1 2 m \dot x_u \dot x_u -m\phi(x_u)\tag{1}$
با معادله اویلر-لاگرانژ مربوطه که تغییر اشاره به . WRT X
$m\ddot x_u=\frac{ \partial\phi}{ \partial x_u}\tag{2}$
یا$\textbf{F} = m \ \textbf{a};\tag{3}$و معادله میدان پواسون را با استفاده از چگالی لاگرانژی
$\mathfrak L = -\rho \phi - \frac {1}{8\pi G} (\partial_u\phi)(\partial_u\phi)\tag{4}$
که در معادله اویلر-لاگرانژ با تغییر . ϕ WRT
:$\frac{\partial\mathfrak L}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial x_u}(\frac{\partial\mathfrak L}{\partial\phi_u})=0\tag{5}$
نتیجه
$-\rho +\frac {1}{4\pi G}\nabla^2\phi=0 \ \ \ or \ \ \ \nabla^2\phi=4\pi G\rho.\tag{6}$
من چندین سوال در این مورد دارم.بچه های هوپا میخوام شما هم نظر بدین فقط تو نسبیت نرین چون گیج میشم
اول، آیا استفاده از دو لاگرانژی متفاوت ضروریه؟ مبنای فیزیکی و معنای داشتن دو لاگرانژ چیه؟
دوم، آیا می توان از یک چگالی لاگرانژی استفاده کرد که هر دو را در بر گیره؟ چیزی مثل:
$\mathfrak L = -\rho(\phi-\frac 1 2 m \dot x_u \dot x_u)-\frac {1}{8\pi G} (\partial_u\phi)(\partial_u\phi)\tag{7}$
و گرفتن تغییراات x و ϕ. اگر، در تغییر اشاره شده به WRT . X
$\frac{\partial}{\partial x_u}\tag{8}$
فقط روی جمله اول داخل پرانتز عمل می کند و F=ma را می دهد، اما این درست به نظر نمیرسه زیرا هر دو ρ
و $\partial_u\phi$ همچنین توابع x هستند
و شرایط اضافی را اضافه میکنه
ذکر این نکته ضروریه که در این مدل، جرم ذرات نقطه‌ای mi b
$\rho({\bf x},t)=\sum_i m_i \delta^3({\bf x}-{\bf x}_i(t))$برای میدان پتانسیل گرانشی ϕ
.لاگرانژی کامل$L=T_1-V_2-V_3$برای هر دو موقعیت ذره نقطه ای xi(t) و فیلد ϕ(x,t) شامل یک ترم جنبشی $T_1=\frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{\bf x}_i^2(t)$
.اثر متقابل $V_2=\sum_i m_i \phi({\bf x}_i(t),t)$
.یک عبارت انرژی پتانسیل$V_3=\int_{\mathbb{R}^3}\! d^3{\bf x}~{\cal V}_3({\bf x},t)$
، جایی که ${\cal V}_3=\frac{1}{8\pi G}(\nabla\phi)^2$
.امکان ادغام ϕ وجود داره میدان برای به دست آوردن یک لاگرانژی صرفاً نقطه‌ای مکانیکی
اول، آیا استفاده از دو لاگرانژی متفاوت ضروریه؟ مبنای فیزیکی و معنای داشتن دو لاگرانژ چیست؟ آیا این یک روش سخته
خیر، استفاده از دو لاگرانژی متفاوت ضروری نیست. به نظر من این فقط یک گام مفهومی قبل از ادغام این دو لاگرانژی جزئی در یک لاگرانژی مشترکه.
دوم، آیا می توان از یک چگالی لاگرانژی استفاده کرد که هر دو را شامل بشه
بله، می تونم معادلات حرکت را برای N استخراج کنم
ذرات (با جرم mi در موقعیت های $\mathbf{x}_i(t)$، برای $i=1, ... N$
) و برای میدان گرانشی $\Phi(\mathbf{x},t)$
) از لاگرانژی رایج. با این حال، ما باید به دقت بین موقعیت های گسسته xi تمایز قائل بشم
از ذرات و موقعیت پیوسته x
از میدانلاگرانژی کامل به این صورت است:
$L[\mathbf{x}_i,\dot{\mathbf{x}}_i,\Phi,\nabla\Phi]=
\sum_{i=1}^N \left(\frac{1}{2}m_i\dot{\mathbf{x}}_i(t)^2
-m_i \Phi(\mathbf{x}_i(t),t)\right)
-\frac{1}{8\pi G}\int d^3 x\ (\nabla\Phi(\mathbf{x},t))^2 \tag{1}$دارای 3 جزء هستش
انرژی جنبشی برای هر ذره،
انرژی برهمکنش بین هر ذره و میدان گرانشی
انرژی میدان گرانشی میدان چگالی ساخته شده توسط ذرات را می‌تونم به این صورت تعریف کنم
$\rho(\mathbf{x},t)=\sum_{i=1}^N m_i\ \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i(t)) \tag{2}$
که دارای قله های دیراک مانندی است که در آن ذرات قرار دارند.
با استفاده از این چگالی می توانیم لاگرانژ (1) را به صورت زیر بازنویسی کنم
$L[\mathbf{x}_i,\dot{\mathbf{x}}_i,\Phi,\nabla\Phi]=
\sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m_i\dot{\mathbf{x}}_i(t)^2
+\int d^3 x\underbrace{\left(
-\rho(\mathbf{x},t)\Phi(\mathbf{x},t)-\frac{1}{8\pi G}(\nabla\Phi(\mathbf{x},t))^2
\right)}_{\mathcal{L[\Phi,\nabla\Phi]}} \tag{3}$
از لاگرانژ (1) یا (3) معادلات حرکت به دست می آید.
از لاگرانژ (1) معادلات اویلر-لاگرانژ با توجه به xi(t)
قانون نیوتن را بیان میکنم
$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf{x}}_i}\right)
=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{x}_i}$
$m_i\ddot{\mathbf{x}}_i=-m_i\nabla\Phi(\mathbf{x}_i) \tag{4}$
و از لاگرانژ (3) معادله اویلر-لاگرانژ نسبت به Φ(x,t)
معادله پواسون را به دست میده
$\nabla\left(\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial(\nabla\Phi)}\right)
=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi}$
$-\frac{1}{4\pi G}\nabla^2\Phi=-\rho \tag{5}$

[Syed]

بعد میدان گرانشی مثل میدان مغناطیس خطوط داره درسته میتونه خطوط یکنواخت هم داشته باشه ؟

بعد چرا نیروی گرانشی همواره جذب هست ؟

[MRT]

بعد میدان گرانشی مثل میدان مغناطیس خطوط داره درسته میتونه خطوط یکنواخت هم داشته باشه ؟

بعد چرا نیروی گرانشی همواره جذب هست ؟

اشتباه نکنید زمانی که براده آهن یا کبالت پاشیده می شود چنین می پنداریم که میدان خطوط دارد. بلکه این خطوط نتیجه برهمکنش براده آهن و کبالت است.
نیروی گرانش، دافع هم دارد ولی به آن می گویند انرژی تاریک عامل انبساط شتاب دار کیهان . معادلات دیفرانسیل آن را در تالار نجوم طرح کردیم.

viewtopic.php?f=3&t=39906