تابع گرین Green's function

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1881

سپاس: 3351

جنسیت:

تماس:

تابع گرین Green's function

پست توسط rohamjpl »

به طور کلی، تابع گرین یک هسته انتگرال است که می تواند برای حل معادلات دیفرانسیل از تعداد زیادی خانواده از جمله مثال های ساده تر مانند معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مقدار اولیه یا مرزی و همچنین مثال های دشوارتر مانند جزئی ناهمگن استفاده شود.
روش معادله انتگرال تابع گرین (GFIEM) روشی برای حل معادلات دیفرانسیل خطی با بیان راه حل بر حسب یک معادله انتگرال است، که در آن انتگرال شامل یک انتگرال همپوشانی بین خود جواب و تابع گرین است.تابع سبز، هسته عملگر انتگرال معکوس به عملگر دیفرانسیل است که توسط معادله دیفرانسیل داده شده و شرایط مرزی همگن ایجاد می شودمثال تو سیالات که میخونم.توابع گرین جریان استوکس جواب های معادله پیوستگی $\nabla\cdot {\bf u}=0$و معادله استوکس اجباری منفرد را نشان می ده.
$-\nabla P+\mu
\nabla^2{\bf u}+{\bf g}\delta({\bf x-x_0})=0$
که در آن g یک ثابت دلخواه، x0 یک نقطه دلخواه، و δ تابع دلتای سه بعدی است. با معرفی تابع G گرین، جواب را به شکل می نویسیم
$u_i({\bf x})=\frac{1}{8\pi\mu}G_{ij}({\bf x,x_0})g_j$p فشار سیال است، مانند معادلات معمول استوکس
تابع سبز دقیقاً به معنای آن است. معادله خطی است. بنابراین یک تابع Gij(x,x0) و یک تابع دیگر Hi(x,x0) وجود دارد که برای حل معادله دلخواه استوکس
$- \nabla p + \mu \nabla^2 u + f = 0$
در کتابها ، معمولا دو نوع تعریف برای تابع گرین وجود دارد.
عملکرد گرین دقیقا چیست؟ چه زمانی می توانم از آن برای حل معادلات دیفرانسیل استفاده کنم (چه زمانی نباید از آن استفاده کنم)؟ کدام معادلات دیفرانسیل را می توان با استفاده از این روش حل کرد؟ آیا می توانید یک مثال به من نشان دهید که چگونه می توان یک قصیده یا pde را با استفاده از تابع گرین حل کرد؟تابع گرین، که تابع پاسخ نیز نامیده می‌شود، وسیله‌ای است که به شما امکان می‌دهد با مسائل ارزش مرزی خطی مقابله کنید (در ادبیات، توابع گرین برای مسئله مقدار اولیه نیز وجود دارد، اما اجازه دهید به کلاسیک‌ترین تصویر پایبندم).
$Ax=y.$
امیدوارم در حل این مشکل هیچ مشکلی نداشته باشید. اما اجازه دهید من سمت راست را به عنوان نشان دهم
$y_1e_1+\ldots+y_ne_n,$که در آن $y_i$ مختصات بردار y و $e_i$ بردارهای واحد استاندارد هستند، یعنی بردارهایی که در موقعیت i ام یک و در هر جای دیگر صفر دارند.
حال، فرض کنید که من n مشکل را در نظر بگیرم:
$Ax=e_i,\quad i=1,\ldots,n$
با راه حل های xi (اینها بردار هستند نه جزء). خطی بودن مسئله بلافاصله نشان می‌دهد که راه‌حل مسئله اصلی من می‌تواند به صورت خودکار نوشته شود
$x=y_1x_1+\ldots+y_nx_n,$که نام بزرگ آن اصل برهم نهی است. یعنی با در اختیار داشتن x1,…,xn هر مشکلی را با y دلخواه حل می کنم.
(امیدوارم توجه داشته باشید که من در اینجا چیز جدیدی کشف نکردم زیرا هر xi فقط یک ستون از ماتریس معکوس A-1 است).
ایده کلی برای تابع گرین انجام کاری مشابه برای معادلات دیفرانسیل است.
اکنون، اجازه دهید یک مسئله مقدار مرزی را با یک عملگر دیفرانسیل در نظر بگیرم:
$Lu=f,\quad u(0)=u(1)=0.$
من $L=-d^2/dx^2$ را انتخاب می کنم تا همه چیز تا حد امکان ساده باشد. در حالت ایده‌آل من دوست دارم کاری شبیه به کاری که با سیستم معادلات جبری خطی انجام دادم انجام دهم، با این حال، اکنون در یک فضای بی‌بعدی زندگی می‌کنم و همه چیز به این راحتی نیست.
روش های مختلفی برای معرفی تابع گرین وجود دارد. احتمالاً بی انگیزه ترین کار این است که نشان دهم مسئله مقدار مرزی من معادل معادله انتگرال است.
$u(x)=\int_{0}^{1}G(x;\xi)f(\xi)d\xi$
و این G را تابع گرین تعریف کنید.
مسلماً طبیعی‌ترین راه برای ایجاد انگیزه در عملکرد گرین، شروع با یک سری مشکلات کمکی است.
$-G''=\delta(x-\xi),\quad x,\xi\in(0,1),$
δ تابع دلتا است و من می گویم که از آنجایی که پارامتر ξ را دارم مشکلات بی نهایت زیادی وجود دارد. برای هر مقدار ثابت $G(x,\xi)$ آنالوگ xi بالا است. بخش پیچیده این رویکرد این است که تعریف کنیم تابع دلتا چیست (فقط توجه کنید که یک تابع نیست). اما اجازه دهید یک فیزیکدان باشم و بگویم که تابع دلتا مدل من برای تکانه واحد است، به طوری که من می توانم f خود را به صورت ترکیبی خطی از تکانه ها در هر نقطه ξ در بازه من با ضرایب مربوطه، به طور رسمی نشان دهم (این آنالوگ $y=y_1e_1+\ldots+y_ne_n$
$f(x)=\int_0^1f(\xi)\delta(\xi-x)d\xi.$
حالا اجازه دهید تابع سبز را به عنوان راه حل تعریف کنم
$-G''=\delta(x-\xi),\quad G(0,\xi)=G(1,\xi)=0,$
اگر بتوانم این G را پیدا کنم، شهود فیزیکی و شباهت من با مسئله جبری به من می گوید که راه حل من برای مسئله مقدار مرزی به عنوان انتگرال مورد نیاز بیان می شود. می توان ثابت کرد که واقعاً اگر بتوانم این G را پیدا کنم
$u(x)=\int_0^1G(x,\xi)f(\xi)d\xi$
همانطور که توسط اصل برهم نهی لازم است.
سعی کنید به این دو مشکل نگاه کنید و به شباهت ذاتی پی ببرید. البته تنها سوال باقی مانده این است که چگونه این G را پیدا کنیم.
در اینجا مثالی از نحوه یافتن تابع گرین برای مشکلی که توضیح دادم آورده شده است. متأسفانه، این روش برای اپراتورهای دیفرانسیل عمومی تر کار نخواهد کرد. من از این واقعیت استفاده خواهم کرد
$\int \delta(x-\xi)d x=\chi(x-\xi),\quad \int \chi(x-\xi)dx=\rho(x-\xi),$
که در آن χ تابع Heaviside و ρ تابع سطح شیب دار است.
ادغام دو برابر معادله من پیدا کردم
$G(x,\xi)=-rho(x-\xi)+Ax+B.$
با استفاده از شرط مرزی اول، B=0 را دریافت می کنم. از دومی
$A=1-\xi.$
از این رو
$G(x;\xi)=-\rho(x-\xi)+(1-\xi)x=\begin{cases}(1-\xi)x,&x\leq\xi,\\
(1-x)\xi,&x\geq \xi.
\end{cases}$
می توانید بررسی کنید که با استفاده از تابعی که من راه حل مشکل را در نظرات یافتم می توان به صورت نوشتاری کرد
$u(x)=-10\int_0^1G(x;\xi)\xi d\xi.$.
تابع گرین برای معادله دیفرانسیل خطی
تابع گرین
تابع گرین مفهومی است که در قرن نوزدهم توسط «جرج گرین» (George Green)، دانشمندِ بریتانیایی ارائه شد. از این تابع به‌منظور حل معادلات دیفرانسیلی به‌صورت زیر استفاده می‌شود.
$\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t ) + g ( t )$
توجه داشته باشید که دو تابع f و g در بازه‌ای مشخص تعریف می‌شوند.
شکل تابع
به منظور معرفی تابع گرین در ابتدا معادله‌ای را به‌صورت زیر در نظر بگیرید. این عبارت نشان‌دهنده یک معادله دیفرانسیل است. دلیل این امر این است که L نشان‌دهنده اوپراتوری دیفرانسیلی است.Ly=gتابع گرینِ مربوط به اوپراتور خطی L یا همان G(t,s) در معادله زیر صدق می‌کند.$\large \displaystyle L G ( t , s ) = \delta ( t – s )$
در حقیقت G تابعی است که با اثر کردن L روی آن، تابع دلتای دیراک حاصل می‌شود. توجه داشته باشید که در رابطه فوق، $\delta ( t – s )$
نشان‌دهنده تابع دلتای دیراک است. معادله اولیه را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.$\large \displaystyle L y ( t ) = g ( t )$
$\large \displaystyle L y ( t ) = \int \delta ( t – s ) g ( s ) d s$,$\large \displaystyle L y ( t ) = \int L G ( t , s ) g ( s ) d s$
در حقیقت تابع گرین، نقش کرنل انتگرال را در حل معادله Ly=g بازی می‌کند.معادلات خطی غیرهمگن
یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن مرتبه اول به‌صورت زیر است.$\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t) + g ( t )$
معادله فوق را می‌توان با استفاده از شرط اولیه $y ( t _ 0 ) = 0$
، به صورت‌ زیر حل کرد.$\large \displaystyle \frac { d } { d t } \left ( y ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^{ t } – f } \right ) = \frac { d y } { d t } e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } – f } – y ( t ) f ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f }$,$\large \displaystyle \frac{d}{dt}\left( y(t) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f } \right ) = g ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } – f }$
تابع گرین در معادلات دیفرانسیل خطی غیرهمگن
تابع گرین مربوط به یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن خطی می‌تواند در رابطه زیر قرار گیرد.
$\large \displaystyle \frac { d } { d t } G ( t , s ) – f ( t ) G ( t , s ) = \delta ( t – s )$
با توجه به پاسخ بدست آمده در بالا، تابع G(t,s) را می‌توان در بازهt0<s<t به‌صورت زیر بدست آورد.
$\large \displaystyle G ( t , s ) = \int _ { t _ 0 } ^ { t } \delta ( \xi – s ) e ^ { \int _ { \xi } ^ { t } f } d \xi$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

تصویر
[/quote]
تصویر

ارسال پست