ممنون از جوابتون .اره درسته به این قضیه نگاه نکردم .اخه یکی از همکلاسی هایم تو دانشگاه بهم گفت و منم اینو بهش گفتم و اصلا به حرف شما فکر نکردم .من فکر می کنم من ممکن است به مثال زیگزاگ خود به روش اشتباه خودم نگاه کنم . به جای نگاه کردن به طول زیگزاگ، بیایید به ناحیه زیر آن نگاه کنیم:
بگویید زیگزاگ از n تشکیل شده است
مستطیل مساحت کادر k ام از سمت راست به صورت زیر خواهد بود:
$\frac{k-1}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{k-1}{n^2}$
بنابراین، مساحت زیر زیگزاگ را می توان به صورت زیر نوشت:
$\sum_{k=1}^{n}\frac{k-1}{n^2}=\frac{n(n-1)}{2n^2}$
توجه کنید وقتی n چه اتفاقی می افتد
واقعاً بزرگ می شود؟ -1 ناچیز می شود، بنابراین منطقه به صورت زیر می شود:
$\frac{n^2}{2n^2}=\frac{1}{2}$
این مساحت مثلث است. حالا، شرط می بندم که فکر می کنید این اشتباه است، زیرا «نمی توانید 1- را نادیده بگیرید.
اینجاست که مفهوم محدودیت وارد می شود. کاری که می خواهیم انجام دهیم محاسبه موارد زیر است:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)}{2n^2}$
بیایید این مقدار را M بنامیم ما M را تعریف می کنیم مقداری باشد که موارد زیر برای آن درست است:
برای هر ϵ ، یک N وجود دارد به طوری که n>N دلالت بر $\displaystyle \left|\frac{n(n-1)}{2n^2}-M\right|<\epsilon$دارد
مکث کنید و فکر کنید که چرا این حد را به این شکل تعریف می کنیم.
می خواهیم نشان دهیم که $\displaystyle M=\frac{1}{2}$
. ما می توانیم این کار را با تنظیم N برابر با $\displaystyle \frac{1}{2 \epsilon}$ انجام دهیم:
$\left|\frac{n(n-1)}{2n^2}-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2\epsilon}}=\epsilon$
بنابراین، ما می گوییم که یک n به بی نهایت نزدیک می شود، مساحت زیر زیگزاگ به مساحت مثلث نزدیک می شود.
اگر طول زیگزاگ شما را آزار می دهد، اجازه دهید سعی کنم توضیح دهم: هیچکس طول قطر را به این صورت تقریبی نمی کند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال از چیز دیگری استفاده می کنیم:
$\int_a^b \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}dx$در این حالت a=0
، b=1 و f(x)=−x+1. اگر این را محاسبه کنید، 2–√ دریافت می کنید
فرض کنید من به دنبال تابعی هستم که کوتاه ترین فاصله بین نقاط x و y را نشان می دهد و نمی دانستم پاسخ $\sqrt{x^2+y^2} $ است.
(همیشه از مبدا فاصله بگیرید (0,0) )این یک فرمول فاصله است و به همین ترتیب دارای ویژگی هایی است که D(x,y)≥0
$D(x,y)=0⟹x=y$
$D(x,y)≤D(x,z)+D(z,y)$
"پله" نیز یک فرمول فاصله است، یعنی |x|+|y|
این یک مشکل در حساب تغییرات است: یعنی من یک کلاس از توابع C دارم و می‌خواهم حداقل آن کلاس را پیدا کنم. جزئیات زیادی وجود دارد که در اینجا به نحوه کارکرد آن پرداخته می شود، اما حساب تغییرات مقدمه خوبی است برای اینکه چرا کوتاهترین فاصله بین دو نقطه یک خط مستقیم است، ما می‌توانیم بحث خود را در اینجا ساده کنیم، فقط با در نظر گرفتن کلاس فرمول فاصله $ \leq (|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p} $وشرط $p≥1,x>0,y>0$
که در آن p=1 راه پله و p=2 است.فیثاغورث است.مقدار p چقدر است
که این را به حداقل می رساند؟ مشتق را بگیرید.بعنی $ \frac{d}{dx}[ (|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p}]$
وقتی سمت راست صفر باشد، این یک صفر است. بدون از دست دادن کلیت، x=y=e را تنظیم می کنیم
$ (((y^p+x^p)^(1/p))(y^pln(y)+x^pln(x)))/(y^p+x^p)p−(ln(y^p+x^p))/(p^2)
$
و بسیاری از بهم ریختگی ها را پاک کنیدو $1/p−2/p^2=0$
بنابراین p=2 ، و فیثاغورث یک بار دیگر نشان داده می شود که کوتاه ترین فاصله است.
اما اگر یک قید را اضافه کنیم که برای هر نقطه در امتداد منحنی f
بین مبدا و x,y، یا $∂f/∂x=0$ یا $∂f/∂y=0$؟ حل تحلیلی این غیر ممکن است،.I hope I help you understand the question. Roham Hesami
رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
.
