اثبات قانون دوم نیوتن

مدیران انجمن: javad123javad, parse

Paradoxy

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2211

سپاس: 989

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط Paradoxy »

ببینید همه چیز تا خط یکی مونده روابط به آخر درسته. در خط یکی مونده به آخر اومدید جای مشتق زمانی سای و سای استار، مقادیری که معادله شرودینگر پیشنهاد میده رو جای گذاری کردید که مشکلی نیست. جمله اول، سوم و چهارم خط یکی مونده به آخری، در واقع حاصل جای گذاری مشتق زمانی سای هست، که بعد از روش یک مشتق مکانی هم گرفته شده و این جملات ساخته شده. جمله دوم و پنجم هم قراره حاصل جایگذاری مشتق زمانی سای استار، با چیزی باشه که معادله شرودینگرش میده اما، گرچه جمله پنجم درسته، جمله دوم رو من متوجه نمیشم که چطوری نوشتید! جمله دوم درواقع (حالا با فراموش کردن ضرایب و اینا) باید میبوده مشتق دوم مکانی سای استار، در مشتق اول مکانی سای، نه چیزی که شما نوشتید (مشتق سوم مکانی سای). تکنیک خاصی زدید روش که مشتق مکانی رو از روی سای استار برداشتید، تازه انداختید روی سای، بعد جوری این مشتق رو انتقال دادید که شده مشتق سوم، نه ضرب مشتق دوم در مشتق اول؟ یا من جا به جا متوجه جملات شما شدم؟ بهرصورت باید اثری از مشتق مکانی سای استار باشه تو معادلتون که نیست.

اما اینا به کنار نتیجه گیریتون درست و قابل تقدیر هست، اما چیز غافل گیر کننده ای نیست. اولا به این چیزی که (تقریبا) بهش رسیدید میگن معادلات اهرنفست https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem که نتایج کاملا طبیعی در کوانتوم محسوب میشه. اونش بخش General example رو ببینید، دقیقا همون چیزیه که شما تلاش کردید اثباتش کنید رو نوشته! اما از دیدن چنین نتیجه ای در کوانتوم نباید غافل گیر بشیم، چون هرچی نباشه معادله شرودینگر چیزی نیست بجز همون معادله پایستگی انرژی ای که من اون بالاتر نوشتم و ازش مشتق زمانی گرفتم! بله معادله شرودینگر هرچند به شکل عملگری درومده و ظاهر معمول همیلتونی رو درش نمیبینیم، اما زمانی که یک معادله ویژه مقداری مینویسیم طبق معادله های همیلتون، 100% باید خیالمون راحت باشه که این با معادله نیوتون سازگاری داره. آخه هرچی نباشه معادلات همیلتون از روی لاگرانژی (اگر اشتباه نکنم با تبدیل لژاندر اون) ساخته شدن، و اصلا در واقع از خود معادلات نیوتون ساخته شدن، پس واضحه باید باهاش سازگار باشند. پس نمیشه با معادله شرودینگر معادله نیوتون رو ثابت کرد، دستکم از جنبه منطقی شما داری دور میزنی.

پ.ن: اوه و نکته دیگه این که علت صفر بودن مشتق زمانی x، بی معنی بودنش نیست. دلیلش این هست که ما پیشاپیش فرض کردیم تحول زمانی بسته موج، در خود سای وارد شده و ایکس رو مستقل از زمان فرض کردیم.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 730

سپاس: 433

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط rohamjpl »

راه های زیادی جهت اثبات هست .اتصال با فرمالیسم همیلتون فراهم می شود ، اگر$F = -dV/dx$ نیروی خالصی است که بر ذره ای از جرم m وارد می شود ، پس مقدار
$H(x,p) = \frac{p^2}{2m} + V(x) = E$
اصطلاح براورده میکنه $\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\frac{dV}{dx} = F$
شما همچنین برای لاگرانژی نیاز به تعبیری دارید که در مکانیک کلاسیک چنین است
$L = T - U$جایی که T انرژی جنبشی است و U انرژی پتانسیل است.
به شرطی که بتوانید یک U پتانسیل را به نیروی $\vec{F}$ مرتبط کنید به طوری که $\vec{F} = - \vec{\nabla} U$ (چنین نیرویی محافظه کار گفته می شود) ، اصل کمترین اقدام و قانون نیوتن دوم برابر است.بقا در انرژی چگونه از قانون دوم نیوتن پیروی می کند؟
سوال: در حالت یک بعدی نشان دهید ، چگونه برای نیروهای پتانسیل$F(x) = \dfrac{−dV (x)}{dx}$ ، بقا در انرژی از قانون دوم نیوتن دنبال می شود
از قانون دوم نیوتن می دانیم
$F=ma=m\ddot{x}$چگونه بقادر معادله انرژی را از این طریق بدست می آوریم؟
تاکنون$F=ma$
$\implies \dfrac{−dV (x)}{dx}=m\ddot{x}$
حالا من نمی دانم چه کاری باید انجام دهم. من می خواهم ادغام شوم ، اما هر دو مشتق متغیرهای مختلف هستند.
$m \ddot x = -\dfrac{dV(x)}{dx}, \tag{1}$
ما داریم$m \ddot x + \dfrac{dV(x)}{dx} = 0; \tag{2}$
ضرب در بازده $\dot x$
$m \ddot x \dot x + \dfrac{dV(x)}{dx} \dot x = 0, \tag{3}$
که با استفاده از قانون زنجیره ای ممکن است دوباره به صورت زیر نوشته شود
$\dfrac{1}{2} \dfrac{d(m\dot x^2)}{dt} + \dfrac{dV(x)}{dt} = 0, \tag{4}$یا$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}( m \dot x^2) + V(x)) = 0. \tag{5}$
اکنون ادغام هر دو طرف با توجه به t نشان می دهد که$\dfrac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) = E, \tag{6}$
مکانیک لاگرانژی چگونه با مکانیک نیوتنی برابر است؟معادله اولر-لاگرانژ:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}$˙
معادل قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید:
$\mathbf{ F}=m\vec a.$
من به روش ریاضی خالص نمی پردازم زیرا فقط روشهایی را ارائه می دهم که نشان می دهد معادله اول ما معادل قانون دوم نیوتن است.
لاگرانژی (نشانگر $\mathcal L$) به سادگی انرژی جنبشی بدن منهای انرژی پتانسیل آن است که می تواند به صورت زیر نوشته شود ، $\mathcal L=1/2mv^2-\mathrm V(x)$. حالا اگر مشتق این لاگرانژی w.r.t x را بگیرید ، مشتق انرژی پتانسیل $\mathrm{V}(x)$ w.r.t x را به دست خواهید آورد که یک نیرو است. بنابراین LHS معادله اول معادل LHS معادله دوم است.
$\dot{x}$ فقط به معنای مشتق x w.r.t است ، بنابراین اگر لاگرانژی را با توجه به$\dot{x}$که سرعت است متفاوت کنید ، $m\dot{x}$ بدست خواهید آورد از
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 mv^2-\mathrm{V}(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 m\dot{x}^2=m\dot{x}.$
و مشتق دومی w.r.t زمان$m\ddot{x}$ خواهد بود که البته $m\vec{a}$ است. بنابراین RHS معادله اول معادل RHS معادله دوم است. از این رو:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}\iff \mathbf{ F}=m\vec a.$
استخراج بقا در مصرف انرژی از قانون دوم نیوتن
با توجه به قانون دوم نیوتون:
$\frac {d}{dt} (m \boldsymbol{\dot r}) = \mathbf F$
چگونه می توان بقا در معادله انرژی را با جرم ثابت بدست آورد؟
به این ترتیب چگونه می توان $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ را استخراج کرد که در آن V (r) به عنوان انرژی پتانسیل نشان داده می شود وقتی نیرو محافظه کار است؟
اثبات تلاش:بگذارید $KE = T = \frac {1}{2} m\boldsymbol{\dot r} \cdot \boldsymbol{\dot r}$˙ باشد
یا$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{2}m[\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt} + \boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}] = m \boldsymbol {\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}$ و $\nabla V = \frac {\partial V} {\partial{\mathbf r}}$
همچنین ، یک نیروی محافظه کار می گوید $\frac{dE}{dt} = 0$
قانون دوم نیوتن را می توان به صورت زیر نوشت:
$m\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac{d\boldsymbol{\dot r}}{dt} = \mathbf F \cdot \boldsymbol{\dot r}$
سوال من این است که چگونه $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ به قانون دوم نیوتن به درستی معرفی شده و سپس برای دستیابی به انرژی یکپارچه می شود
چون من به راحتی می توانم ثابت کنم که $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ اگر $E = T + V(\mathbf r)$ باشد اما سعی می کنم نتیجه بگیرم که V (r) انرژی پتانسیل است ، نه اینکه آن را فرض کنیم
توضیح A نیروی محافظه کار نیرویی با خاصیت است که کل کار انجام شده در انتقال ذره بین دو نقطه مستقل از مسیر طی شده است. به طور معادل ، اگر ذره ای در یک حلقه بسته حرکت کند ، کل کار انجام شده (مجموع نیرویی که در امتداد مسیر ضرب می شود در جابجایی) با یک نیروی محافظه کار صفر است.
در فیزیک ، مهم است که تفاوت بین نیروهای محافظه کار و غیر محافظه کار را بدانید. کار الف نیروی محافظه کار انجام بر روی یک شی مستقل از مسیر است. مسیر واقعی طی شده توسط شی تفاوتی ندارد. پنجاه متر در هوا همان انرژی بالقوه گرانشی را دارد ، چه با قدم برداشتن به آنجا برسید و چه با چرخیدن چرخ و فلک. این متفاوت از نیروی اصطکاک است که انرژی جنبشی را به عنوان گرما پراکنده می کند. وقتی اصطکاک درگیر باشد ، مسیری که طی می کنید مهم است - یک مسیر طولانی تر ، انرژی جنبشی بیشتری را از یک مسیر کوتاه پراکنده می کند. به همین دلیل اصطکاک یک است نیروی محافظه کار
با تعریف$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ و $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt},$ ، ما باید:
$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m\vert \vec{v} \vert^2+V \right)=m\vec{v} \cdot \vec{a}+\dfrac{dV}{dt}.$
توجه بعدی که به دلیل قانون زنجیره ای ما:
$\dfrac{dV}{dt}=\nabla V \cdot \vec{v},$
به طوری که ما داریم:
$\dfrac{dE}{dt}= m\vec{v} \cdot \vec{a}+\nabla V \cdot \vec{v}$
بعد ما از قانون دوم نیوتن استفاده می کنیم ، که عبارت $m\vec{a}=\vec{F}.$ است. اگر فرض کنیم که میدان نیرو محافظه کار باشد ، این بدان معنی است که نیرو گرادیان یک میدان اسکالر (انرژی پتانسیل) است ، ما بیشتر $F=\nabla V,$ خواهیم داشت که در نهایت بازده دارد:
$\dfrac{dE}{dt}=-\vec{v}\cdot \nabla V+\nabla V \cdot \vec{v} = 0$
ما می دانیم که کار انجام شده توسط نیرو ،$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$. حال ، اگر نیرو محافظه کار باشد ، با تعریف این بدان معنی است که کار انجام شده مستقل از مسیر طی شده است و فقط به وضعیت نهایی بستگی دارد. از این رو$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$ باید دقیق باشد ، یعنی به صورت$V(\vec r_f) - V(\vec r_o)$ قابل نوشتن باشد.
این به معنی $\vec{F}\cdot d\vec{r}$ برابر با مشتق کل برخی از تابع $V(\vec r)$ است که فقط به موقعیت بستگی دارد.
از این رو ،
$\vec{F}\cdot d\vec{r} = dV(\vec r)$
$\vec{F} = \frac{dV(r)}{d\vec{r}} = \nabla{V(\vec r)}$
اکنون ، می بینیم که کار انجام شده توسط نیروی محافظه کار F با V (r) بیان می شود ، که ما آن را به عنوان انرژی پتانسیل تعریف می کنیم اکنون ، در اصطلاح دیگر ، پتانسیل به سرعت بستگی ندارد. از این رو:$\frac{\partial L}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} - \frac{\partial V}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} \quad\Longrightarrow\quad
\frac{\partial L}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} = p
{"roham2}$
آخرین ویرایش توسط rohamjpl جمعه ۱۴۰۰/۵/۱ - ۱۰:۳۷, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
ماشین زمان

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۸ - ۲۱:۵۳


پست: 42

سپاس: 5

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط ماشین زمان »

Reyhaneh.M نوشته شده:
چهارشنبه ۱۳۹۸/۱/۱۴ - ۱۸:۰۸
این هم هست: http://s8.picofile.com/file/8356445942/2.png


زودتر پاسخ بدین ممنون میشم smile072
عزیز من! قانون دوم نیوتن یه قانون کلیه! اثبات نداره! قوانین بنیادی فیزیک برای خودشون فرمول ریاضی دارن که به طور تجربی «کشف» می شن. اگه دیدی فرمول یک قانون فیزیکی توسط قوانین دیگه اثبات میشه، بدون که اون قانون نیست بلکه بهش میگن «قضیه فیزیکی»! جالب اینجاست که همچین حالتی وجود داشته. مثلاً آقای کولن به طور تجربی قانونی رو کشف میکنه که به «قانون کولن» مشهوره. اما بعدها قانون گاوس کشف و با استفاده از فرمول قانون گاوس، قانون کولن اثبات میشه. که نتیجه می شه که قانون کولن، اصلاً قانون نیست! بلکه یه قضیه فیزیکه! (در واقع عنوان دادن کلمۀ «قانون» به «قضیه کولن» عادتیه که هنوز هم برطرف نشده). درباره قوانین کپلر هم همینطوره. قبلاً فکر میکردن که قانون هستن اما بعداً آقای نیوتن با استفاده از قانون جاذبه اش، قوانین کپلر رو اثبات کرد.
smile028 برای تمام زمان های آینده فقط می گم «بزودی»!

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 730

سپاس: 433

جنسیت:

تماس:

Re: اثبات قانون دوم نیوتن

پست توسط rohamjpl »

مشتق F = ma - قانون دوم حرکت نیوتن.جرم = m ، حرکت p = mv است. در زمان Δt ، حرکت با Δp تغییر می کند ، سرعت تغییر حرکت به شرح زیر است:$\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta(mv)}{t} = m \frac{\Delta v}{\Delta t}
$شکهای من:
آیا علامت Δ در کسر دوم در کنار t از دست نمی رود ، بنابراین باید $\frac{\Delta(mv)}{\Delta t}
$ باشد
چگونه کسر سوم را از کسر دوم بدست آوردند. من خیلی تلاش کردم اما به نظر نمی رسد که آن را بدست آورم.
کار من:من این سوال را بررسی کردم - چگونه $F = \frac{ \Delta (mv)}{ \Delta t}
$ برابر است $( m \frac { \Delta v}{ \Delta t} ) + ( v \frac { \Delta m}{ \Delta t} )
$ ، اما این یک معادله کاملا متفاوت است.سوال نهایی من:
آیا کسی می تواند شک و تردید من در مورد این معادله رااز بین ببره و به من کمک کند تا درک کنم که چگونه انجام می شود:
$\frac{\Delta(mv)}{t} = m \frac{\Delta v}{\Delta t}
$آره. باید باشد:
$\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}
$من به جای Δ از d استفاده می کنم زیرا به حد محدودی فکر می کنم که تغییرات p و t بسیار اندک باشد. سپس این تغییرات بی نهایت کوچک نامیده می شوند ، و با d نشان داده می شوند.
معمولاً ، وقتی کسی مسائل ساده مکانیک نیوتنی را در نظر می گیرد ، کاری که می کند مطالعه یک جسم معین با جرم ثابت و ثابت است ، m. این بدان معنی است که dm = 0 در هر زمان با تعریف تعریف می شود. ما با استفاده از قانون محصول (که فقط تغییرات بی نهایت حداقل را رعایت می کند):
$\frac{d(mv)}{dt}=v\frac{dm}{dt}+m\frac{dv}{dt}
$آیا می توانید حدس بزنید که اولین اصطلاح در سمت راست علامت برابر چه اتفاقی می افتد؟چگونه می توان از قانون دوم نیوتون برای بدست آوردن حفاظت از حرکت استفاده کرد و چگونه می توان از حفاظت از نیروی حرکت برای استخراج قانون دوم استفاده کرد؟من می دانم که اگر انتگرال F = ma را بدست آورم ، می توانم p = mv بدست آورم. من در حساب ضعیف هستم ، بنابراین من تعجب کردم که چگونه دقیقاً این کار را انجام دهم.
آیا در منطق من مشکلی وجود دارد که در زیر آمده است؟
$\begin{align}\int F\left(t\right)\,{\rm d}t&=\int ma\,{\rm d}t \\
&=m\int a\left(t\right)\,{\rm d}t
\end{align}
{roham1}$
که طبق تعریف ،$\int F\,{\rm d}t=p
$ و $\int a\,{\rm d}t=v
$. اینها را در بالا وصل کنید ، من دریافت می کنم ،
p = mvبه طور برابر ، چگونه می توان از$m_1a_1=m_1a_1
$ به$m_2v_2=m_2v_2$ استنباط کرد؟میتوانم انجامش بدماز آنجا که
$a_1=\frac{{\rm d}v_1}{{\rm d}t_1},\quad a_2=\frac{{\rm d}v_2}{{\rm d}t_2}\tag{1}
$و$m_1a_1=m_2a_2\tag{2}
$
(1) را به (2) وصل کنید ، سپس دریافت کنید
$m_1\frac{{\rm d}v_1}{{\rm d}t_1}=m_2\frac{{\rm d}v_2}{{\rm d}t_2}\tag{3}
$)
که در آن${\rm d}t_1={\rm d}t_2
$. سپس این را به (3) وصل کنید تا بدست آورید ،
$m_1{\rm d}v_1=m_2{\rm d}v_2
$
بنابراین با $v_1={\rm d}v_1
$ و $v_2={\rm d}v_2
$
$m_1v_1=m_2v_2
$بقا در انرژی چگونه از قانون دوم نیوتن پیروی می کند؟سوال: در حالت یک بعدی نشان دهید ، چگونه برای نیروهای بالقوه $F(x) = \dfrac{−dV (x)}{dx}
$ ، بقا در انرژی از قانون دوم نیوتن دنبال می شود.از قانون دوم نیوتن می دانیم
$F=ma=m\ddot{x}
$
چگونه صرفه جویی در معادله انرژی را از این طریق بدست می آوریم؟
تاکنون من:
$F=ma
$
$\implies \dfrac{−dV (x)}{dx}=m\ddot{x}
$
حالا من نمی دانم چه باید بکنم. من می خواهم ادغام شوم ، اما هر دو مشتق متغیرهای مختلف هستند. $m \ddot x = -\dfrac{dV(x)}{dx}, \tag{1}
$و$m \ddot x + \dfrac{dV(x)}{dx} = 0; \tag{2}
$$m \ddot x \dot x + \dfrac{dV(x)}{dx} \dot x = 0, \tag{3}
$$\dfrac{1}{2} \dfrac{d(m\dot x^2)}{dt} + \dfrac{dV(x)}{dt} = 0, \tag{4}
$$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{1}{2}( m \dot x^2) + V(x)) = 0. \tag{5}
$$\dfrac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) = E, \tag{6}
$مکانیک لاگرانژی چگونه با مکانیک نیوتنی برابر است؟معادله اولر-لاگرانژ:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}$˙
معادل قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید:
$\mathbf{ F}=m\vec a.$
من به روش ریاضی خالص نمی پردازم زیرا فقط روشهایی را ارائه می دهم که نشان می دهد معادله اول ما معادل قانون دوم نیوتن است.
لاگرانژی (نشانگر $\mathcal L$) به سادگی انرژی جنبشی بدن منهای انرژی پتانسیل آن است که می تواند به صورت زیر نوشته شود ، $\mathcal L=1/2mv^2-\mathrm V(x)$. حالا اگر مشتق این لاگرانژی w.r.t x را بگیرید ، مشتق انرژی پتانسیل $\mathrm{V}(x)$ w.r.t x را به دست خواهید آورد که یک نیرو است. بنابراین LHS معادله اول معادل LHS معادله دوم است.در ریاضیات ، LHS خلاصه ای غیررسمی برای سمت چپ یک معادله است. به همین ترتیب ، RHS سمت راست است. از آنجا که برابری متقارن است ، دو طرف دارای یک ارزش هستند ، متفاوت بیان می شونNاز این رو ، LHS = RHS بیانگر این است که هر دو طرف با یکدیگر برابر هستند زیرا می توان با برخی از عملیات مناسب ریاضی یکی را از طرف دیگر بدست آورد
$\dot{x}$ فقط به معنای مشتق x w.r.t است ، بنابراین اگر لاگرانژی را با توجه به$\dot{x}$که سرعت است متفاوت کنید ، $m\dot{x}$ بدست خواهید آورد از
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 mv^2-\mathrm{V}(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 m\dot{x}^2=m\dot{x}.$
و مشتق دومی w.r.t زمان$m\ddot{x}$ خواهد بود که البته $m\vec{a}$ است. بنابراین RHS معادله اول معادل RHS معادله دوم است. از این رو:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}\iff \mathbf{ F}=m\vec a.$
استخراج بقا در مصرف انرژی از قانون دوم نیوتن
با توجه به قانون دوم نیوتون:
$\frac {d}{dt} (m \boldsymbol{\dot r}) = \mathbf F$
چگونه می توان بقا در معادله انرژی را با جرم ثابت بدست آورد؟
به این ترتیب چگونه می توان $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ را استخراج کرد که در آن V (r) به عنوان انرژی پتانسیل نشان داده می شود وقتی نیرو محافظه کار است؟
اثبات تلاش:بگذارید $KE = T = \frac {1}{2} m\boldsymbol{\dot r} \cdot \boldsymbol{\dot r}$˙ باشد
یا$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{2}m[\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt} + \boldsymbol{\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}] = m \boldsymbol {\dot r} \cdot \frac {d \boldsymbol{\dot r}}{dt}$ و $\nabla V = \frac {\partial V} {\partial{\mathbf r}}$
همچنین ، یک نیروی محافظه کار می گوید $\frac{dE}{dt} = 0$
قانون دوم نیوتن را می توان به صورت زیر نوشت:
$m\boldsymbol{\dot r} \cdot \frac{d\boldsymbol{\dot r}}{dt} = \mathbf F \cdot \boldsymbol{\dot r}$
سوال من این است که چگونه $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ به قانون دوم نیوتن به درستی معرفی شده و سپس برای دستیابی به انرژی یکپارچه می شود
چون من به راحتی می توانم ثابت کنم که $\mathbf F = - \nabla V(\mathbf r)$ اگر $E = T + V(\mathbf r)$ باشد اما سعی می کنم نتیجه بگیرم که V (r) انرژی پتانسیل است ، نه اینکه آن را فرض کنیم
توضیح A نیروی محافظه کار نیرویی با خاصیت است که کل کار انجام شده در انتقال ذره بین دو نقطه مستقل از مسیر طی شده است. به طور معادل ، اگر ذره ای در یک حلقه بسته حرکت کند ، کل کار انجام شده (مجموع نیرویی که در امتداد مسیر ضرب می شود در جابجایی) با یک نیروی محافظه کار صفر است.
در فیزیک ، مهم است که تفاوت بین نیروهای محافظه کار و غیر محافظه کار را بدانید. کار الف نیروی محافظه کار انجام بر روی یک شی مستقل از مسیر است. مسیر واقعی طی شده توسط شی تفاوتی ندارد. پنجاه متر در هوا همان انرژی بالقوه گرانشی را دارد ، چه با قدم برداشتن به آنجا برسید و چه با چرخیدن چرخ و فلک. این متفاوت از نیروی اصطکاک است که انرژی جنبشی را به عنوان گرما پراکنده می کند. وقتی اصطکاک درگیر باشد ، مسیری که طی می کنید مهم است - یک مسیر طولانی تر ، انرژی جنبشی بیشتری را از یک مسیر کوتاه پراکنده می کند. به همین دلیل اصطکاک یک است نیروی محافظه کار
با تعریف$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}$ و $\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt},$ ، ما باید:
$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{d}{dt} \left(\frac{1}{2}m\vert \vec{v} \vert^2+V \right)=m\vec{v} \cdot \vec{a}+\dfrac{dV}{dt}.$
توجه بعدی که به دلیل قانون زنجیره ای ما:
$\dfrac{dV}{dt}=\nabla V \cdot \vec{v},$
به طوری که ما داریم:
$\dfrac{dE}{dt}= m\vec{v} \cdot \vec{a}+\nabla V \cdot \vec{v}$
بعد ما از قانون دوم نیوتن استفاده می کنیم ، که عبارت $m\vec{a}=\vec{F}.$ است. اگر فرض کنیم که میدان نیرو محافظه کار باشد ، این بدان معنی است که نیرو گرادیان یک میدان اسکالر (انرژی پتانسیل) است ، ما بیشتر $F=\nabla V,$ خواهیم داشت که در نهایت بازده دارد:
$\dfrac{dE}{dt}=-\vec{v}\cdot \nabla V+\nabla V \cdot \vec{v} = 0$
ما می دانیم که کار انجام شده توسط نیرو ،$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$. حال ، اگر نیرو محافظه کار باشد ، با تعریف این بدان معنی است که کار انجام شده مستقل از مسیر طی شده است و فقط به وضعیت نهایی بستگی دارد. از این رو$dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$ باید دقیق باشد ، یعنی به صورت$V(\vec r_f) - V(\vec r_o)$ قابل نوشتن باشد.
این به معنی $\vec{F}\cdot d\vec{r}$ برابر با مشتق کل برخی از تابع $V(\vec r)$ است که فقط به موقعیت بستگی دارد.
از این رو ،
$\vec{F}\cdot d\vec{r} = dV(\vec r)$
$\vec{F} = \frac{dV(r)}{d\vec{r}} = \nabla{V(\vec r)}$
اکنون ، می بینیم که کار انجام شده توسط نیروی محافظه کار F با V (r) بیان می شود ، که ما آن را به عنوان انرژی پتانسیل تعریف می کنیم
معادلات لاگرانژ چگونه معادله نیوتن را نشان می دهداین را می توانیم در کتاب لاندائو یا ویکی پدیا ببینیم که وقتی معادله لاگرانژی را در معادله اولر-لاگرانژ تزریق می کنیم ، اصطلاح $\frac{\partial v²}{\partial q}
$ز بین می رود. بنابراین ما دریافت می کنیم
$\frac{\partial L}{\partial q}= - \frac{\partial U}{\partial q}
$در اینجا جزئیات بیشتر:
ما می خواهیم اثبات کنیم که معادله اولر-لاگرانژ حاکی از قانون دوم نیوتن است:معادله اولر-لاگرانژ بیان می کند که
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}
$و ما تنظیم کردیم که ، برای زمینه های بالقوه محافظه کار $L= T-V(q)= \frac{1}{2}mv² - V(q)
$اما اگر L را در معادله اولر-لاگرانژ تزریق کنیم ، بدست خواهیم آورد
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m\frac{dv}{dt} - \frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}
$$\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}
$و$\frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q}
$این کاملاً ساده است. برای تجسم بهتر قانون نیوتن ، از مختصات کلی استفاده نکنیم ، در عوض ، از مختصات دکارتی استفاده کنیم. معادلات اویلر-لاگرانژ از این رو برقرار هستش است:$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0
$و$\frac{\partial L}{\partial x} =
\frac{\partial T}{\partial x} - \frac{\partial V}{\partial x} =
-\frac{\partial V}{\partial x} \quad\Longrightarrow\quad
\frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\partial V}{\partial x} = F
{roham1}$
$\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q} + F
$
در کتاب لاندائو اصطلاحات$\frac{\partial V}{\partial \dot{q}}
$˙ و $\frac{1}{2}m\frac{\partial v²}{\partial q}
$بدون هیچ توضیحی از بین می رود! سپس من می پرسم:
چرا این اصطلاحات از بین می روند؟, و حذف شونداین کاملاً ساده است. برای تجسم بهتر قانون نیوتن ، از مختصات کلی استفاده نکنیم ، در عوض ، از مختصات دکارتی استفاده کنیم. معادلات اویلر-لاگرانژ از این رو ایستاده است:
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0
$
از آنجا که L = T − V ، روشن است که بدانید:
$\frac{\partial L}{\partial x} =
\frac{\partial T}{\partial x} - \frac{\partial V}{\partial x} =
-\frac{\partial V}{\partial x} \quad\Longrightarrow\quad
\frac{\partial L}{\partial x} = -\frac{\partial V}{\partial x} = F
{roham1}$
اکنون ، در اصطلاح دیگر ، پتانسیل به سرعت بستگی ندارد. از این رو:
$\frac{\partial L}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} - \frac{\partial V}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} \quad\Longrightarrow\quad
\frac{\partial L}{\partial \dot x} =
\frac{\partial T}{\partial \dot x} = p
{"roham2}$
این را به راحتی می توان مشاهده کرد:
$T = \frac{1}{2}m\dot x^2 \Longrightarrow
\frac{\partial T}{\partial \dot x} = m\dot x = p
{"roham}$
با در نظر گرفتن این نتایج و اتصال به معادلات اویلر-لاگرانژ ، ما دارای موارد زیر هستیم:
$\frac{dp}{dt} - F = 0
$
مکانیک لاگرانژی چگونه با مکانیک نیوتنی برابر است؟مکانیک تحلیلی (که شامل مکانیک لاگرانژی است) و این معادله ها معادل قوانین نیوتن است اما اساسی تر هستندمعادله اولر-لاگرانژ:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}
$معادل قانون دوم حرکت نیوتن است که می گوید:
$\mathbf{ F}=m\vec a.$من به روش ریاضی خالص نمی پردازم زیرا فقط روشهایی را ارائه می دهم که نشان می دهد معادله اول ما معادل قانون دوم نیوتن است.
لاگرانژی (نشانگر L) به سادگی انرژی جنبشی بدن منهای انرژی بالقوه آن است که می تواند به صورت زیر نوشته شود ، $\mathcal L=1/2mv^2-\mathrm V(x)
$
. حالا اگر مشتق این لاگرانژی w.r.t x را بگیرید ، مشتق انرژی پتانسیل V (x) w.r.t x را به دست خواهید آورد که یک نیرو است. بنابراین LHS معادله اول معادل LHS معادله دوم است.
x˙ فقط به معنای مشتق x w.r.t است ، بنابراین اگر لاگرانژی را با توجه به x˙ که سرعت است متفاوت کنید ، mx m بدست خواهید آورد از$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 mv^2-\mathrm{V}(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\dot{x}}\frac12 m\dot{x}^2=m\dot{x}.
$

و مشتق دومی w.r.t زمان$m\ddot{x}
$خواهد بود که البته $m\vec{a}
$ است. بنابراین RHS معادله اول معادل RHS معادله دوم است. از این رو:
$\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d\mathcal{L}}{\mathrm d\dot{x}}\iff \mathbf{ F}=m\vec a.$
تصویر

ارسال پست