سقوط زمین!!

[user26496]

خیلی ببخشید جناب Cartouche اما cosh^2 برابر sinh^2+1 هست نه sinh^2-1 .پس فکر کنم جواب انتگرال رو اشتباه حساب کردید.اگه ممکنه درستش کنید و جواب آخر رو بگید

آره قبول دارم! همون چیزی که اول گفتم به تر بود. ضریب i هم داخل ln صفر میشد وقتی کران های انتگرال رو میزاشتین.
اما همین حالا هم مخرج توش (1+x^2) به توان دو داره. که با تغییر متغیر ِ x برابر با تانژانت به سادگی قابل حل ِ.
من یک امتحان ِ 9ساعته داشتم، فکرم امشب اصلا خوب کار نمیکنه! بهتره برم کنار دوستان ِ دیگر پاسخ بدن.
ولی ادوراد هم فکر کنم درست گرفتن من اون تانژانت رو گذاشتم به همون رسیدم تقریبا!(داخل آرک تانژانت یکه مال من سینوس هیپربولیک بود! و یک دوم در آرک تانژانت هم ضرب میشد!)(ولی ممکنه من دوباره اشتباه کرده باشم ولی ادوارد یک بار دیگه چک کن!)
فکر کنم راه حلی که thephysics هم گذاشتن، دوباره یک اشکال داشت! توی مخرج هست سینوس به توان ِ 2 منهی یک و زیر رادیکال کلن منفی میشه. و میشه منهی کسینوس 2 ، نه خود ِ کسینوس به توان ِ 2. هر جوری حساب میکنم باز سرو کارتون با اعداد مختلط هست.
.

یک بار دیگر تغییر متغیر را ببینید.

[Stupendous]

از همه ممنون.اصلن فکر نمیکردم اینقدر پیچیده بشه.اما لطفا مدت زمان سقوط رو بر حسب روز بگید تا من مطمئن شم چون جواب آخر رو دارم.بعدش اون راه حل کوتاه رو میذارم تا همه انگشت به دهان بمانید!
در ضمن جناب thephysics اشکالی که جناب Cartouche وارد کردند کاملا درسته زیر رادیکال منفی میشه.

[user26496]

از همه ممنون.اصلن فکر نمیکردم اینقدر پیچیده بشه.اما لطفا مدت زمان سقوط رو بر حسب روز بگید تا من مطمئن شم چون جواب آخر رو دارم.بعدش اون راه حل کوتاه رو میذارم تا همه انگشت به دهان بمانید!
در ضمن جناب thephysics اشکالی که جناب Cartouche وارد کردند کاملا درسته زیر رادیکال منفی میشه.

CodeCogsEqn (2).gif

[lebesgue]

همون طور که دوستان گفتند اشتباه شد. خیلی ساده است تغییر متغیر.

CodeCogsEqn.gif

CodeCogsEqn (1).gif

زمان از عبارت بالا محاسبه می‌شود.

این پاسخ درست است، اگر از حرکت خورشید صرف نظر شود. با در نظر گرفتن حرکت خورشید، M (جرم خورشید) با مجموع جرم زمین و خورشید جایگزین خواهد شد.

همچنین در بخش انتگرال گیری، یک علامت منفی جا افتاده که باعث شده در انتها، زمان منفی بدست آید.

[user8604]

همون طور که دوستان گفتند اشتباه شد. خیلی ساده است تغییر متغیر.

CodeCogsEqn.gif

CodeCogsEqn (1).gif

زمان از عبارت بالا محاسبه می‌شود.

این پاسخ درست است، اگر از حرکت خورشید صرف نظر شود. با در نظر گرفتن حرکت خورشید، M (جرم خورشید) با مجموع جرم زمین و خورشید جایگزین خواهد شد.

همچنین در بخش انتگرال گیری، یک علامت منفی جا افتاده که باعث شده در انتها، زمان منفی بدست آید.

یعنی پاسخ من غلطه؟

[Cartouche]

همون طور که دوستان گفتند اشتباه شد. خیلی ساده است تغییر متغیر.

CodeCogsEqn.gif

CodeCogsEqn (1).gif

زمان از عبارت بالا محاسبه می‌شود.

این پاسخ درست است، اگر از حرکت خورشید صرف نظر شود. با در نظر گرفتن حرکت خورشید، M (جرم خورشید) با مجموع جرم زمین و خورشید جایگزین خواهد شد.

همچنین در بخش انتگرال گیری، یک علامت منفی جا افتاده که باعث شده در انتها، زمان منفی بدست آید.

متوجه ِاین جمله نشدم. بلاخره از حرکت ِ خورشید صرف نظر شود یا حرکت خورشید در نظر گرفته شود؟!
(اگر منظورتون این هست که صرف نظر نشود، خب اونوقت مرکز جرم ثابت و هر دو به سمت مرکز جرم میرن و ما باید در دستگاه مرکز جرم بنویسیم نه در دستگاه ِ خورشید مرکزی! در اون صورت ِ معادله دیفرانسیل به یک معادله دیفرانسیل جفت شده تبدیل میشه.)

*به نظر راه حلی که داده شد برای سوال اصلی درست میاد و بنده اشتباه کردم.

[Stupendous]

باز هم از همه ممنونم.حالا میرسیم به لحظه موعود یعنی راه حل خیلی ساده:
فرض کنید مدار زمین یک بیضی بسیار کشیده باشد که یک کانون آن مرکز خورشید و دیگری مرکز زمین باشد یعنی دو سر بیضی تقریبا منطبق بر کانون هاش باشه حالا با استفاده از قوانین کپلر داریم:

Fall of the Earth.png

توضیح:در قانون کپلر شعاع ها ،شعاع میانگین هستند یعنی جمع نزدیکترین فاصله با دور ترین فاصله از خورشید تقسیم بر دو.اگر مدار زمین دایره باشد شعاع میانگین همان شعاع زمین است و برای مدار فرضی داریم:R1+0)/2=R1/2)
زمان سقوط نصف دوره مدار فرضی است.
این راهی است که Donald Simanek استاد دانشگاه Lock Haven پنسیلوانیا در صفحه اینترنتی خود ارائه کرده است.

[Stupendous]

البته همون اولین جوابی که جناب Cartouche دادند کاملا درست بود:

Calculation.PNG

[lebesgue]

یعنی پاسخ من غلطه؟

متمتیکا دستور Simplify و FullSimplify را برای ساده کردن خروجی دارد. میپل دستور مشابهی ندارد؟ البته خروجی متمتیکا از ابتدا هم ساده تر است:

متوجه ِاین جمله نشدم. بلاخره از حرکت ِ خورشید صرف نظر شود یا حرکت خورشید در نظر گرفته شود؟!
(اگر منظورتون این هست که صرف نظر نشود، خب اونوقت مرکز جرم ثابت و هر دو به سمت مرکز جرم میرن و ما باید در دستگاه مرکز جرم بنویسیم نه در دستگاه ِ خورشید مرکزی! در اون صورت ِ معادله دیفرانسیل به یک معادله دیفرانسیل جفت شده تبدیل میشه.)

*به نظر راه حلی که داده شد برای سوال اصلی درست میاد و بنده اشتباه کردم.

با در نظر گرفتن حرکت خورشید، تغییر کوچکی در معادله دیفرانسیل اولیه -که در زیر می بینید- ایجاد می شود.

(اندیس e برای زمین و s برای خورشید به کار رفته است. همچنین تمام روابط برای اندازه بردارهاست.)

از قانون پایستگی تکانه داریم

و متعاقبا

. حال اگر r فاصله میان زمین و خورشید باشد، خواهیم داشت:

پس میتوان نوشت:

این همان معادله دیفرانسیل اولیه است، با این تفاوت که

با

جایگزین شده است. پاسخ نهایی نیز تنها همین تفاوت را خواهد داشت. البته از آنجا که جرم خورشید، بیش از سیصد هزار برابر جرم زمین است، نتیجه از نظر عددی چندان تغییر نخواهد کرد.

همچنین به نظر می آید که تابع فاصله بر حسب زمان، به فرم بسته قابل بیان نیست. (http://en.wikipedia.org/wiki/Free_fall# ... onal_field)

[هفت]

سلام ببخشید این فورمول برای محاسبه ی زمان اشتباهه ؟چرا؟
t^2=2r^3/G(Ms+Me

[هفت]

چرا کسی جواب منو نمیده؟

[هفت]

چرا کسی جواب منو نمیده؟

واقعا کسی جواب سوال منو نمی دونه؟شما که انتگرال های خوفناک حل می کردید!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[user8604]

چرا کسی جواب منو نمیده؟

برای اینکه بدونی غلطه یا نه کافیه مقدار زمانت رو به روز تبدیل کنی و با پاسخ مقایسه کنی!
مال من که درست بود
اسمایل زبون درازی.

[هفت]

چرا کسی جواب منو نمیده؟

برای اینکه بدونی غلطه یا نه کافیه مقدار زمانت رو به روز تبدیل کنی و با پاسخ مقایسه کنی!
مال من که درست بود
اسمایل زبون درازی.

واقعا از کجا معلوم که پاسخ شما درست باشه؟
من جوابم 82 روز شد!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[user8604]

چرا کسی جواب منو نمیده؟

برای اینکه بدونی غلطه یا نه کافیه مقدار زمانت رو به روز تبدیل کنی و با پاسخ مقایسه کنی!
مال من که درست بود
اسمایل زبون درازی.

واقعا از کجا معلوم که پاسخ شما درست باشه؟
من جوابم 82 روز شد!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

پس به هشدار آواتارم دقت کن!
چون همه ی ما از راه های مختلف صحیح به یک پاسخ مشترک رسیدی. lebesque هم تایید کرده پس احتمال اینکه پاسخ تو غلط و نادرست و اشتباه باشه خیلی خیلی زیادتره تا پاسخ ما!