بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

سلام به همگی.
می خواستم بدونم کسی در مورد شاخه جدید هندسه که به بررسی اشکال برخالی می پردازه خبر دارین؟گفته میشه که یه شاخه جدید از ریاضیات و هندسه هستش که خیلی عجیبه.لطفا هرکس اطلاعاتی داره بزاره نیاز دارم ممنون البته من خودم مثال هایی از اشکال فرکتالی می زارم.
تصویر

تصویر

meaning

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۰/۱۱/۹ - ۱۳:۵۴


پست: 898

سپاس: 223


تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط meaning »

فك نكنم چندان جديد باشه آخه من اين تصاوير
رو روي جلد كتاب هندسه سال سوم نظام آموزشي
محمد رضا پهلوي فقيد مشاهده كرده ام!
تصاوير فوق العاده زيباست
“ Two things awe me most, the starry sky above me and the moral law within me“.
Immanuel Kant
Critique of Practical Reason, 1788

Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

خیر احتمالا نقاشی بیش نبوده و مفهوممی نداشته.این شاخه به همراه توپولوژِی از شاخه های جدید هندسه هستن واکثرا محاسبات در اون ها بسیار پیچیده تر از اون هست که حتی بشه در دبیرستان توضیح داد.حتی ببعید بدونم در مقطع لیسانس هم تدریس بشه

Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

احتمالا اون ها اشکالی بی معنی بوده که برای زیبایی کشیده شده بودن این شاخه به همراه توپولوژی کاملا جدید هستش.و عمزا در سطح دبیرستان نیست بعید بدونم در سطح لیسانس باشه چه برسه به دبیرستان

نمایه کاربر
anTi-ИeuTЯin0

عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۱/۷ - ۱۵:۱۵


پست: 774

سپاس: 239

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط anTi-ИeuTЯin0 »

توپولوژی یکی از دُروس گِرایشی مَقطع کارشناسی رشتهء ریاضی مَحضه..

Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

بله درسته ولی همون طور که گفتم فرکتال در مقطع کارشناسی تدریس نمیشه.البته در رشته ای که شما گفتین یعنی ریاضیات محض اشاراتی بهش میشه ولی به طور کامل در کارشناسی گفته نمیشه به طور کامل در مقطع فوق تدریس میشه.

نمایه کاربر
anTi-ИeuTЯin0

عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۱/۷ - ۱۵:۱۵


پست: 774

سپاس: 239

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط anTi-ИeuTЯin0 »

دُنبال چی هَستید از فراکتال،آشنایی؟مُطالعه عِلمی؟تحقیق؟زَمینه ای مدِّ نظره(مُهندسی-جُغرافی-...؟)؟
---
صرفاً در باب آشنایی for all مطالب زیر چَند قسمت بوده مـ ـن یکیش کردم!یکی از سایتها را یادم نیست کُجا بوده از آن کپی کرده بودم(شرمَندهء آن سایت)..باقیش هم از سایت رُشده که در دو قِسمت شَرح داده بود..


============================
هندسه ساختار های خود متشابه

فراکتال ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد. تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط « بندیت مندلبورت» پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین Fractus به معنی «شکسته» است. پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. فراکتال ها را عموما موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسی» است اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.

فراکتال های هندسی

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس( Scale ) تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه Self-similar می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط «هلگ فون کخ» در سال 1904 طراحی شد، در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که «دانه برف کخ » نام دارد. فراکتال سر پینسکی یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال سر پینسکی به دست خواهد آمد. در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراکتال را خود الحاقی ( Self-Affine ) می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شود. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA ( DNA Walk ) می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی گل کلم است.

هندسه فراکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. پیش از اینکه مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
تصویر

تصویر

ابعاد فراکتال ها

یکی از نکات بسیار جالب در بررسی فراکتال ها، بعد آنهاست. مثلا می دانیم که مربع یک شی ریاضی دو بعدی است. این بعد دوم را می توان اینگونه به دست آورد که از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوی و وصل کردن نقاط رو به رو به هم، N2 مربع به دست می آید که اندازه هرکدام N2 / 1 برابر مساحت مربع اولی است. این شکل، یک ساختار فراکتالی دارد که هر ضلع مربع های کوچک با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلی تبدیل می شود. بنابراین بعد هر جسم را می توان اینگونه تعریف کرد: نسبت لگاریتم تعداد اشکال خود متشابه به لگاریتم عامل بزرگنمایی log N2/log N=2=D

حال اگر همین کار را با مجموعه کانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه کانتور به طول 3 برابر مجموعه های اولی ساخت داریم:

D = log 2 / log 3 = 0/631

یعنی یک مجموعه کانتور،موجودی 0.631 بعدی است.

تصویر

حال اگر به شکل مجموعه کانتور نگاه کنیم ما می بینیم که این مجموعه نه یک خط کامل است که بعد یک داشته باشد و نه یک نقطه که بعد صفر داشته باشد بلکه موجودی بین آن دو است.

برای فراکتال کخ که بیشتر از خط (بعد1) و کمتر از صفحه (بعد2) است،داریم: D = log 4/log 3=1/262

یا برای فراکتال سرپینسکی که فضای بیشتری را نسبت به فراکتال کخ می پوشاند، اما به یک صفحه کامل نمی رسد، داریم:

D = log3 / log2 = 1/58

در فراکتال ها این بعد فراکتالی است که مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه ای، این بعد فراکتالی حفظ می شود و بیانگر خاصیت اصلی فراکتال است. همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است. در کیهان شناسی، ساختار یک کهکشان با یک خوشه کهکشانی (مجموعه ای از هزاران کهکشان) و یک خوشه نیز با یک ابر خوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی) قابل قیاس است. رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت و یا نحوه کارکردهای پلیمرهای صنعتی (مثل لاستیک ها) و پلیمرهای حیاتی (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردی هستند که دانش فراکتال ها را می توان در آنها به کار برد.

ایجاد فراکتال

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از:

فراکتالهای زمان گریز: این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند (مانند صفحه مختلط). مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.

سیستم توابع تکراری: این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند. مجموعه کانتور، فرش سیر پینسکی، منحنی پینو، برفدانه کخ، مربع T، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.

فراکتالهای تصادفی: به جای فراینهای قطعی، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.

طبقه بندی فراکتال ها

فراکتالها می توانند بر حسب خود تشابهیشان نیز طبقه بندی شوند. سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود:


خود تشابهی های دقیق (کامل): قویترین نوع خود تشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود. فراکتال های تعریف شده به وسیله سیستم توابع تکراری، اغلب خود تشابهی دقیق را نشان می دهند.

شبه خود تشابهی ( نیمه خود تشابهی): یک حالت ناکامل از خودتشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف، تقریبا (نه دقیقا) یکسان ظاهر می شود. فراکتالهای تعریف شده به وسیله روابط بازگشتی، معمولا شبه خودتشابهند ولی خود تشابه کامل نیستند.

خود تشابهی آماری: ضعیفترین نوع خود تشابهی است، فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند. بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال، بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند.

تصویر

فراکتالهای تصادفی نمونه ای از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند، اما خودمشابه کامل یا شبه خود مشابه نیستند.
فراکتال یک شکل یا الگوی هندسی ساخته شده از قسمت های یکسان است که در برگشت به داخل جزئیات نشان دهنده الگوی کلی است.
به عبارت دیگر به هر جز از شی که نگاه کنیم تصوری از کل شی در ذهن ما ایجاد می شود. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بنویت مندلبرات برای توصیف اشیا هندسی پیچیده که درجه بالایی از خودتشابه دارد تشکیل شده است.
واحد اساسی برفدانه کخ که توسط هلگ ون کخ ریاضیدان (1870-1824) رسم شده مثلث متساوی الاضلاعی است که می تواند وسعت پیدا کند اما در عین حال هنوز شبیه الگوی اولیه است. هر قسمت از برفدانه در هر مقیاس از آن که دیده می شود به طور یکنواخت در کنارهم واقع شده اند. بعضی از فراکتالهای فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه های جولیا است که توسط ریاضیدان فرانسوی گالتون جولیلا اختراع شد. مجموعه جولیا با کاربرد قانون غیر خطی مکرر تولید می شود که براساس یک تابع قانون مربغی خیلی ساده است.
F(C) = 2Z + CZ
که در آن Z یک نقطه روی صفحه Xoy است و C یک نقطه ثابت با هر دو مولفه X و Y است. CX و CY نتایج خیلی جالب و شگفت انگیز بودند. هیچکس گمان نمی کرد که چنین تابع ساده ای بتواند به شکل گیری تصاویر پیچیده ای که تحلیل و تفسیر آن کار آسانی نیست منجر شود.
نظریه ریاضی مدرن که به طور ریشه ای از هندسه اقلیدسی باستانی جدا می شود، هندسه فراکتالی است که به توصیف اشیائی می پردازد که خود متشابه یا متقارن اند. این بدان معناست که وقتی این اشیا بزرگنمایی شوند به نظر می رسد که بین اجزای آنها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزء به جزء تا بینهایت ادامه می دهند.
اما ماهیت فراکتالها که در واقع در خود کلمه منعکس شده، این واژه توسط مندلبرات ریاضیدان از فعل لاتین شکستن گرفته شده و منسوب به صفت فراکتوس به معنی سنگی که به طور نامنظم شکسته و خرد شده است می باشد.
فراکتالها شکلهایی هستند که برعکس شکهای هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکلها اولا سراسر نامنظم اند، ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.

تصویر

END

meaning

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۰/۱۱/۹ - ۱۳:۵۴


پست: 898

سپاس: 223


تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط meaning »

Hooman khodayari نوشته شده:خیر احتمالا نقاشی بیش نبوده و مفهوممی نداشته.این شاخه به همراه توپولوژِی از شاخه های جدید هندسه هستن واکثرا محاسبات در اون ها بسیار پیچیده تر از اون هست که حتی بشه در دبیرستان توضیح داد.حتی ببعید بدونم در مقطع لیسانس هم تدریس بشه
درود
از سياست هاي ابتدايي هر نظام آموزشيست كه فكر و ذهن دانش آموز
و دانشجو را با عكس ها و طرح هاي ضميمه در صفحات كتب درسي
به سمت و سوي گام هاي فراتراز كتب درسي سوق دهد تا شخص
به يادگيري ترغيب شود و به كنكاش بپردازدطرح جلد هندسه (2)
نظام آموزشي جمهوري اسلامي ايران هندسه فراكتالي بود
البته نمي دونم هنوزم هست يا نه اما همين طرح جلد يك
دانش پژوه خلاق را وادار به تحقيق و مطالعه درباره علاقه اش مي كند!
سپاس smile072
تصویر
“ Two things awe me most, the starry sky above me and the moral law within me“.
Immanuel Kant
Critique of Practical Reason, 1788

Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

پاد نوترينو نوشته شده:دُنبال چی هَستید از فراکتال،آشنایی؟مُطالعه عِلمی؟تحقیق؟زَمینه ای مدِّ نظره(مُهندسی-جُغرافی-...؟)؟
---
صرفاً در باب آشنایی for all مطالب زیر چَند قسمت بوده مـ ـن یکیش کردم!یکی از سایتها را یادم نیست کُجا بوده از آن کپی کرده بودم(شرمَندهء آن سایت)..باقیش هم از سایت رُشده که در دو قِسمت شَرح داده بود..


============================
هندسه ساختار های خود متشابه

فراکتال ها مفاهیم ریاضی هندسی هستند که در چند سال اخیر و به خصوص پس از کار های بندیت مندلبورت، ریاضیدان لهستانی بر روی آنها بسیار مورد توجه دانشمندان سایر علوم قرار گرفته است. مفاهیمی که خواص آنها به اندازه شان بستگی ندارد، در فیزیک، شیمی، زیست شناسی، زمین شناسی و پزشکی بسیار دیده شده اند و از خواص آنها می توان برای درک بهتر پدیده های مورد نظر استفاده کرد. تاکنون تعریف دقیقی از ماهیت فراکتال ها نشده است اما از یک دیدگاه کلی می توان گفت که فراکتال موجودی هندسی است که قوانین کلی حاکم بر آن وابسته به مقیاسی که در آن کار می کنیم نیست. یعنی جزئیات آن شبیه کل هستند. فراکتال ها جزئیات نامحدودی دارند که دارای ساختاری خود متشابه در مقادیر مختلف بزرگنمایی، هستند. در اکثر موارد یک قانون و قاعده خاصی به میزان نامحدودی تکرار می شود تا یک طرح فراکتالی پدید آید. واژه فراکتال در سال 1975 توسط « بندیت مندلبورت» پدر فراکتال، ابداع شد. ریشه این لغت، عبارت لاتین Fractus به معنی «شکسته» است. پیش از این که مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. فراکتال ها را عموما موجوداتی ریاضی می پندارند و این به علت مشهور بودن ساختار «فراکتال هندسی» است اما نشان داده شده است که بسیاری از وضعیت هایی که هندسه کلاسیک ( اقلیدسی ) از توضیح آن ها عاجز است، توسط فراکتال ها، به راحتی بیان می شود. به همین دلیل فراکتال ها کاربرد های بسیاری در علوم پیدا کرده اند، از فیزیک و شیمی و هواشناسی گرفته تا بیولوژی ملکولی و پزشکی، از قوانین حاکم بر فراکتال ها استفاده می شود.

فراکتال های هندسی

ساده ترین نوع فراکتال، فراکتال کانتور است. پاره خطی به طول یک واحد در نظر بگیرید و طول آن را به سه قسمت تقسیم کرده و قسمت وسطی را حذف کنید. حالا دو خط داریم که طول آن ها یک سوم طول اولیه است. همین عمل را با هر کدام از این پاره خط ها انجام می دهیم. یعنی طول هر کدام را ثلث می کنیم و قسمت وسطی را حذف می کنیم. می توان با کامپیوتر برنامه ای نوشت که این عملیات را چندین بار پیاپی انجام دهد. اگر این عملیات را بی شمار بار انجام دهیم ( کاری که از عهده کامپیوتر خارج است ) شکلی به دست می آید که مجموعه کانتور نام دارد. اگر به کل شکل نگاه کنیم، ساختاری می بینیم که تا بی نهایت ادامه دارد. اگر به سمت راست یا چپ خط دوم شکل نگاه کنیم، ساختاری میبینیم که باز هم تا بی نهایت ادامه یافته و در عین حال، کاملا شبیه شکل کلی است. چنین ساختار هایی که هر جز آن با کل مجموعه یکی است و فقط در مقیاس( Scale ) تفاوت دارند را ساختار های خود متشابه Self-similar می گویند.

یکی از مشهورترین انواع فراکتال ها توسط «هلگ فون کخ» در سال 1904 طراحی شد، در این نوع فراکتال، ابتدا یک پاره خط به طول یک واحد در نظر می گیریم و آن را به سه قسمت تقسیم می کنیم. سپس به جای ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوی الاضلاع را قرار می دهیم و این کار را همین طور ادامه می دهیم. فراکتال کخ نیز یک نوع فراکتال خود متشابه است. اگر این عمل را روی اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع انجام دهیم، شکل بسیار زیبایی پدید می آید که «دانه برف کخ » نام دارد. فراکتال سر پینسکی یک فراکتال هندسی است. اگر مثلث وسطی یک مثلث متساوی الاضلاع را حذف کنیم و برای همه مثلث های باقی مانده هم این عمل را تا بی نهایت انجام دهیم، مجموعه زیبایی از مثلث های پر و خالی به وجود می آید که فراکتال سر پینسکی به دست خواهد آمد. در همه انواع فراکتال های خود متشابه برای تبدیل هر جز به کل یا اجزای کوچکتر، باید همه ابعاد به یک مقیاس بزرگ شوند. اما نوع دیگر فراکتال را خود الحاقی ( Self-Affine ) می گویند. در این نوع فراکتال ها برای تبدیل شدن به مقیاس بزرگتر باید شکل در هر راستا به ضرایب مختلفی بزرگ نمایی شود. DNA زنجیر طویلی از اسید های نوکلوئیک است که اطلاعات ژنتیکی را در خود ذخیره کرده است. اسید های نوکلوئیک دو دسته اند، پریدین و پریمیدین. اگر در طول یک زنجیره DNA برای هر پریدین یک واحد بالا برویم و برای هر پریمیدین یک واحد به پایین، نموداری به دست می آید که داده های زیادی به ما می دهد. به این نمودار ولگشت DNA ( DNA Walk ) می گویند. ولگشت های DNA نمونه های خوبی برای فراکتال های خود الحاقی هستند. اکثر ساختار های فراکتالی در طبیعت مثل ریشه های گیاهان یا شاخه های درخت ها، ساختار های خوشه ها و کهکشان های کیهان، رشد یک سطح، سوختگی های روی کاغذ، شکستگی های DVD ها و ساختار های زمین شناسی به خصوص اشکال زیبایی که در غار ها مشاهده می شود، خواص فراکتالی خود الحاقی دارند. یکی از زیباترین نمونه های فراکتالی گل کلم است.

هندسه فراکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت. پیش از اینکه مندلبورت این واژه را ابداع کند، برای چنین اشکالی، از واژه «منحنی های هیولایی» استفاده می شد. واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نامنظم شکسته و خرد شده. که در سال 1976 توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
[ تصویر ]

[ تصویر ]

ابعاد فراکتال ها

یکی از نکات بسیار جالب در بررسی فراکتال ها، بعد آنهاست. مثلا می دانیم که مربع یک شی ریاضی دو بعدی است. این بعد دوم را می توان اینگونه به دست آورد که از تقسیم هر ضلع مربع به N قسمت مساوی و وصل کردن نقاط رو به رو به هم، N2 مربع به دست می آید که اندازه هرکدام N2 / 1 برابر مساحت مربع اولی است. این شکل، یک ساختار فراکتالی دارد که هر ضلع مربع های کوچک با ضریب N به اندازه ضلع مربع اصلی تبدیل می شود. بنابراین بعد هر جسم را می توان اینگونه تعریف کرد: نسبت لگاریتم تعداد اشکال خود متشابه به لگاریتم عامل بزرگنمایی log N2/log N=2=D

حال اگر همین کار را با مجموعه کانتور انجام دهیم چون با دو مجموعه کانتور به طول 3 برابر مجموعه های اولی ساخت داریم:

D = log 2 / log 3 = 0/631

یعنی یک مجموعه کانتور،موجودی 0.631 بعدی است.

[ تصویر ]

حال اگر به شکل مجموعه کانتور نگاه کنیم ما می بینیم که این مجموعه نه یک خط کامل است که بعد یک داشته باشد و نه یک نقطه که بعد صفر داشته باشد بلکه موجودی بین آن دو است.

برای فراکتال کخ که بیشتر از خط (بعد1) و کمتر از صفحه (بعد2) است،داریم: D = log 4/log 3=1/262

یا برای فراکتال سرپینسکی که فضای بیشتری را نسبت به فراکتال کخ می پوشاند، اما به یک صفحه کامل نمی رسد، داریم:

D = log3 / log2 = 1/58

در فراکتال ها این بعد فراکتالی است که مهم است و نه مقیاس. زیرا در هر اندازه ای، این بعد فراکتالی حفظ می شود و بیانگر خاصیت اصلی فراکتال است. همین امر کاربرد فراکتال ها را در علم امروزی زیاد کرده است. در کیهان شناسی، ساختار یک کهکشان با یک خوشه کهکشانی (مجموعه ای از هزاران کهکشان) و یک خوشه نیز با یک ابر خوشه (مجموعه ای از هزاران خوشه کهکشانی) قابل قیاس است. رشد نمونه های میکروبیولوژیکی در محیط های کشت و یا نحوه کارکردهای پلیمرهای صنعتی (مثل لاستیک ها) و پلیمرهای حیاتی (مثل DNA و پروتئین ها) از مواردی هستند که دانش فراکتال ها را می توان در آنها به کار برد.

ایجاد فراکتال

سه تکنیک معمول برای ساخت فراکتال عبارتند از:

فراکتالهای زمان گریز: این فراکتالها با یک رابطه بازگشتی در هر نقطه در فضا تعریف می شوند (مانند صفحه مختلط). مثالهایی از این نوع عبارتند از مجموعه مندلبرات، مجموعه جولیا و فراکتال کشتی شعله ور و فراکتال لیاپونوف.

سیستم توابع تکراری: این فراکتالها یک قاعده جایگزینی هندسی ثابت دارند. مجموعه کانتور، فرش سیر پینسکی، منحنی پینو، برفدانه کخ، مربع T، اسفنج منگر برخی از مثالهای این نوع فراکتال هستند.

فراکتالهای تصادفی: به جای فراینهای قطعی، با فرایندهای تصادفی ساخته می شوند.

طبقه بندی فراکتال ها

فراکتالها می توانند بر حسب خود تشابهیشان نیز طبقه بندی شوند. سه نوع خود تشابهی در فراکتالها یافته می شود:


خود تشابهی های دقیق (کامل): قویترین نوع خود تشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف یکسان ظاهر می شود. فراکتال های تعریف شده به وسیله سیستم توابع تکراری، اغلب خود تشابهی دقیق را نشان می دهند.

شبه خود تشابهی ( نیمه خود تشابهی): یک حالت ناکامل از خودتشابهی است، فراکتال در مقیاسهای مختلف، تقریبا (نه دقیقا) یکسان ظاهر می شود. فراکتالهای تعریف شده به وسیله روابط بازگشتی، معمولا شبه خودتشابهند ولی خود تشابه کامل نیستند.

خود تشابهی آماری: ضعیفترین نوع خود تشابهی است، فراکتال اندازه های عددی یا آماری دارد که در سرتاسر مقیاسها حفظ می شوند. بیشتر تعاریف عوامانه متعارف فراکتال، بر شکلی از خودتشابهی آماری دلالت می کند.

[ تصویر ]

فراکتالهای تصادفی نمونه ای از فراکتالهایی هستند که به شکل آماری خودمشابه هستند، اما خودمشابه کامل یا شبه خود مشابه نیستند.
فراکتال یک شکل یا الگوی هندسی ساخته شده از قسمت های یکسان است که در برگشت به داخل جزئیات نشان دهنده الگوی کلی است.
به عبارت دیگر به هر جز از شی که نگاه کنیم تصوری از کل شی در ذهن ما ایجاد می شود. واژه فراکتال در سال 1975 توسط بنویت مندلبرات برای توصیف اشیا هندسی پیچیده که درجه بالایی از خودتشابه دارد تشکیل شده است.
واحد اساسی برفدانه کخ که توسط هلگ ون کخ ریاضیدان (1870-1824) رسم شده مثلث متساوی الاضلاعی است که می تواند وسعت پیدا کند اما در عین حال هنوز شبیه الگوی اولیه است. هر قسمت از برفدانه در هر مقیاس از آن که دیده می شود به طور یکنواخت در کنارهم واقع شده اند. بعضی از فراکتالهای فوق العاده قابل ملاحظه مجموعه های جولیا است که توسط ریاضیدان فرانسوی گالتون جولیلا اختراع شد. مجموعه جولیا با کاربرد قانون غیر خطی مکرر تولید می شود که براساس یک تابع قانون مربغی خیلی ساده است.
F(C) = 2Z + CZ
که در آن Z یک نقطه روی صفحه Xoy است و C یک نقطه ثابت با هر دو مولفه X و Y است. CX و CY نتایج خیلی جالب و شگفت انگیز بودند. هیچکس گمان نمی کرد که چنین تابع ساده ای بتواند به شکل گیری تصاویر پیچیده ای که تحلیل و تفسیر آن کار آسانی نیست منجر شود.
نظریه ریاضی مدرن که به طور ریشه ای از هندسه اقلیدسی باستانی جدا می شود، هندسه فراکتالی است که به توصیف اشیائی می پردازد که خود متشابه یا متقارن اند. این بدان معناست که وقتی این اشیا بزرگنمایی شوند به نظر می رسد که بین اجزای آنها تشابه دقیقی برقرار است و این شباهت جزء به جزء تا بینهایت ادامه می دهند.
اما ماهیت فراکتالها که در واقع در خود کلمه منعکس شده، این واژه توسط مندلبرات ریاضیدان از فعل لاتین شکستن گرفته شده و منسوب به صفت فراکتوس به معنی سنگی که به طور نامنظم شکسته و خرد شده است می باشد.
فراکتالها شکلهایی هستند که برعکس شکهای هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکلها اولا سراسر نامنظم اند، ثانیا میزان بی نظمی آنها در همه مقیاس ها یکسان است.

[ تصویر ]

END
اوه خیلی ممنون پستتون خیلی مفید واقع شد من قصدم تحقیقاتی هستش راستش دارم در مورد روابط هندسه و فیزیک کار می کنم

Hooman kh

نام: هومن خدایاری

محل اقامت: تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۱/۲/۱۹ - ۲۱:۰۳


پست: 322

سپاس: 62

جنسیت:

تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط Hooman kh »

erfan-93 نوشته شده:
Hooman khodayari نوشته شده:خیر احتمالا نقاشی بیش نبوده و مفهوممی نداشته.این شاخه به همراه توپولوژِی از شاخه های جدید هندسه هستن واکثرا محاسبات در اون ها بسیار پیچیده تر از اون هست که حتی بشه در دبیرستان توضیح داد.حتی ببعید بدونم در مقطع لیسانس هم تدریس بشه
درود
از سياست هاي ابتدايي هر نظام آموزشيست كه فكر و ذهن دانش آموز
و دانشجو را با عكس ها و طرح هاي ضميمه در صفحات كتب درسي
به سمت و سوي گام هاي فراتراز كتب درسي سوق دهد تا شخص
به يادگيري ترغيب شود و به كنكاش بپردازدطرح جلد هندسه (2)
نظام آموزشي جمهوري اسلامي ايران هندسه فراكتالي بود
البته نمي دونم هنوزم هست يا نه اما همين طرح جلد يك
دانش پژوه خلاق را وادار به تحقيق و مطالعه درباره علاقه اش مي كند!
سپاس smile072
تصویر
اوه خیلی جالبه.البته بعید بدونم در موردش چیزی در کلاس بگن منطورم روابط هستش یعنی به صورت تئوریک بررسی نمیشه درسته؟

نمایه کاربر
reyhan2

محل اقامت: دماوند

عضویت : یک‌شنبه ۱۳۹۰/۱۰/۱۱ - ۰۹:۲۴


پست: 120

سپاس: 8

جنسیت:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط reyhan2 »

Hooman khodayari نوشته شده:خیر احتمالا نقاشی بیش نبوده و مفهوممی نداشته.این شاخه به همراه توپولوژِی از شاخه های جدید هندسه هستن واکثرا محاسبات در اون ها بسیار پیچیده تر از اون هست که حتی بشه در دبیرستان توضیح داد.حتی ببعید بدونم در مقطع لیسانس هم تدریس بشه
فرکتال تو مقطع لیسانس رشته های مهندسی وقالبسازی تدریس میشه
و در ضمن یکی از زیباترین قسمت هندسه ست که تازه گی ها رونق پیدا کرده smile036
گاهی وقتها آنقدر از زندگی خسته می شوم
که دلم میخواهد قبل از خواب
ساعت را روی "هیچوقت" کوک کنم..!!!"""http://351girls.blogfa.com/""""

نمایه کاربر
pulsar

محل اقامت: تبریز

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۸۶/۲/۲۰ - ۲۰:۳۸


پست: 380

سپاس: 197


تماس:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط pulsar »

در شماره ی دوم گاهنامه ریاضی شمار به این موضوع پرداخته شده :
http://hupaa.com/Data/pdf/shomar/Hupaa_Shomar_02.pdf
http://fractus.ir
Beauty is truth, truth beauty
That is all ye know on earth
and all ye need to know

mhm.mostafaee

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۶ - ۱۴:۰۶


پست: 1



جنسیت:

Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط mhm.mostafaee »

Hooman kh نوشته شده:
جمعه ۱۳۹۱/۴/۳۰ - ۰۳:۲۹
سلام به همگی.
می خواستم بدونم کسی در مورد شاخه جدید هندسه که به بررسی اشکال برخالی می پردازه خبر دارین؟گفته میشه که یه شاخه جدید از ریاضیات و هندسه هستش که خیلی عجیبه.لطفا هرکس اطلاعاتی داره بزاره نیاز دارم ممنون البته من خودم مثال هایی از اشکال فرکتالی می زارم.
تصویر

تصویر
سلام...من یک مدت طولانی درباره فرکتالها تحقیق و مطالبی جمع اوری کردم. اگر دوست داشتید در کانال و گروهم در تلگرام عضو بشید.
fractalq ,
@fractaall

yosof

نام: yosof

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۲/۱/۶ - ۲۲:۲۹


پست: 1



Re: بَرخال، فرکتال، یا فراکتال (Fractal)

پست توسط yosof »

فراکتال (Fractal) یا بَرخال یا فرکتال شاخه جدیدی از ریاضیات و هنر است. اغلب مردم فراکتال‌ها را فقط به عنوان تصاویر زیبایی می‌شناسند که برای پس‌زمینه صفحه نمایش رایانه یا کارت پستال به کار می‌برند.
پیشنهاد می کنم برای کسب اطلاعات بیشتر در این موضوع به لینک زیر مراجعه کنید:

https://oke.io/9FFG

ارسال پست