هوپا، انجمن علم ایران

kiarash نوشته شده:.

سلام من می خوام Cp=Cv+R ثابت کنم. راه حله آسونتر نداره؟ یه جوری در حد دوم سوم دبیرستان؟[/quote]
اگه هنوز هم دنبال جوابشي بايد روي نمودار يكبار فرايند هم فشار رو بنويسي يه بار هم هم حجم...
نمودار ها واسه فرايند همدما در نظر بگير...
اگه نتونستي معادلاتش رو بنويسي بگو جوابشو برات بذارم...[/quote]
ممنون تونستم.

سلام
من یه سوال دارم......
چگونه میتوان با استفاده از اصل هم بخشی ، ظرفیت گرمائی در حجم ثابت را برای گاز ها به دست آورد؟

اگرفشار ثابت باشد کار می شود منفی پی دلتا وی که برابر است با مول ضرب در ثابت جهانی گازها ضرب در تغییر دما البته منفی. از اون طرف تغییر انرژی درونی می شود سه دوم مول ضربدر ثابت جهانی ضربدر تغییر دما. حالا می تونی بنویسی تغییر انرژی درونی میشه سه دوم کار البته منفی. ا اون ور گرما هم میشه پنج دوم کار منفی. حالا از فرمول گرما می تونی به ظرفیت گرمایی ویژه مولی برای گاز تک اتمی برسی. که پنج دوم R.اما در حجم ثابت کار صفر هست پس گرما با تغییر انرژی درونی برابر هست. با ساده کردن میتونی به ظرفیت گرمایی مولی در حجم ثابت برسی که که اگر تک اتمی باشد سه دوم R هست . فکر کنم این طور باشه .

این رو از استادم یاد گرفتم

در یافتن تغییر آنتالپی ΔH در طی آدیاباتیک ، برگشت پذیر مخلوط دو گاز ایده آل $n_1$ mol از $C_{\mathrm{m},v}=\frac{3}{2}R$ و $n_2$ mol از$ C_{\mathrm{m},v}=3R$ گرفته شده در یک ظرف و در طول این تغییر دما $T_\mathrm{i}$ است به $T_\mathrm{f} $ سپس مقدار ΔH چقدر باید باشد؟
$\Delta H=\left(n_1\right)\frac{5}{2}R\left(T_\mathrm{f}-T_\mathrm{i}\right)+\left(n_2\right)4R\left(T_\mathrm{f}-T_\mathrm{i}\right) $
مصرف جداگانه برای هر گاز. یا بگذارید بگوییم متوسط ظرفیت حرارتی مولار مخلوط گازی در فشار ثابت $C_{\mathrm{m},p,\mathrm{avg}}$ ، p ، میانگین پس از آن می تواند باشد
$\Delta H=\left(n_1+n_2\right)C_{\mathrm{m},p,\mathrm{avg}}\left(T_\mathrm{f}-T_\mathrm{i}\right)$,و$C_{\mathrm{m},p,\mathrm{avg}}=\frac{\left(n_1\right)\frac{5}{2}R+\left(n_2\right)4R}{n_1+n_2} $توجه کنیددر ترمودینامیک ، ما ظرفیت گرما را بر اساس انرژی داخلی U و آنتالپی H تعریف می کنیم ، نه بر اساس گرما. به این ترتیب ، ظرفیت گرمایی یک ویژگی فیزیکی از مواد در حال پردازش است ، و تابعی از مسیر فرآیند نیست. بنابراین به محض خلاص شدن از شر همه معادلات موجود در پست خود که مربوط به Q است ، مسائل بسیار ساده تر می شوند. برای یک ماده دلخواه (مایع ، جامد یا گاز) ، دو ظرفیت حرارتی به شرح زیر تعریف می شود: $C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \frac{d U}{dT} $و $ C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$ بنابراین لطفا توجه داشته باشید که گرمای منتقل شده در یک فرآیند فشار ثابت برای یک گاز ایده آل برابر با گرمای منتقل شده در یک فرآیند حجم ثابت برای یک گاز ایده آل نیست. در یک فرآیند حجم ثابت (با فرض ظرفیت های حرارتی مستقل از دما) $\Delta H=C_p\Delta T=\Delta U+V\Delta P=C_v\Delta T+V\Delta P=C_v\Delta T+R\Delta T=Q+R\Delta T $ظرفیت حرارتی مولار به عنوان مقدار گرما مورد نیاز برای افزایش دمای یک مول ماده به میزان واحد تعریف می شودبرای بیان دقیق تر این تعریف ، هر دو ظرفیت گرما در تمام فشارها و حجم ها اعمال می شوند.
برای مورد خاص یک گاز ایده آل ،
$ dH=nC_pdT=dU+d(PV)=nC_vdT+nRdT=n(C_v+R)dT$
از این رو،
Cp = Cv + R
بنابراین ، Cv و Cp در این ساده ترین موارد حتی یکسان نیستند. فقط در مورد مایعات غیرقابل انعطاف Cv و Cp برابر هستند یعنی $C_v=\frac{1}{n}\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $و$C_p=\frac{1}{n}\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P $
قانون دوم ترمودینامیک و وجود تغییر گرما برای ساده نگه داشتن مسائل ،فیزیک دانشجوی سال اول فریب میخورد. آنها به ما گفتند که $Q=nC\Delta T $. اما این معادله هنگام کار صحیح نیست. اگر آنها نمی خواستند ما را گیج کنند ،ما باید انرژی داخلی U را وارد می کردیم و ظرفیت گرمایی (حداقل برای گازهای ایده آل و مواد جامد و مایعات غیرقابل تراکم) را با معادله $\Delta U=nC\Delta T $ به درستی U تعریف می کردیم. این معادله هنگامی که هیچ کاری انجام نمی شود ، نتیجه صحیح را برای Q ارائه می دهد. اما برای مواردی که کار در حال انجام است ، ما از قانون 1 نتیجه می گیریم
$\Delta U=nC\Delta T=Q-W$بگذارید ابتدا در مورد گاز ایده آل بگم ظرفیت حرارتی در $ \textrm C_V$ با حجم ثابت به عنوان تعریف شده است$\mathrm C_V ~=~\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $ جایی که U انرژی داخلی سیستم است.برای یک گاز ایده آل ، $U=U(T); $ ؛ بنابراین،$\mathrm C_V~\mathrm dT ~=~ \mathrm dU\,.\tag roham $
جایگزینی (I) در قانون اول ترمودینامیک ،$\mathrm C_V~\mathrm dT +đw~=~ đQ,\tag{roham}$
$đw = p~\mathrm dV; $ ؛ این دلالت می کنه که$ \mathrm C_V~\mathrm dT +p~\mathrm dV~=~ đQ.\tag{roham}$
بنابراین ، تغییر در گاز آنتروپی $\mathrm dS_\textrm{ oham ideal gas}$ برای سیستم گاز ایده آل ما می تواند به صورت زیر نوشته شود:$\mathrm dS_\textrm{ideal gas} =\frac{đQ}T = \frac{\mathrm C_V}{T}~\mathrm dT + \underbrace{\frac{\mathcal R}V}_{pV~ =~\mathcal RT}~\mathrm dV . \tag{roham} $
وقتی ، dT = 0 برای تبدیل همدما ، پس$\mathrm dS_\textrm{ideal gas} = \frac{đQ}T = \frac{\mathcal R }{V}~\mathrm dV\tag{roham} $
فرض کنید ، ما برای تعیین وضعیت یک سیستم کلی ، T ، V را به عنوان متغیر مستقل انتخاب می کنیم.$\mathrm dS = \frac{đQ}T = \frac1T\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V ~\mathrm dT + \frac1T\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + p~\right]~\mathrm dV;\tag{roham}$
بنابراین ، تغییر آنتروپی dS توسط داده می شود$\mathrm dS =\frac{đQ}T =\frac1T\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T + p~\right]~\mathrm dV.\tag{roham}$
در اینجا هیچ چیز متناقضی وجود ندارد. dT = 0 به معنای đQ = 0 نیست .فشرده سازی آدیاباتیک برای یک گاز ایده آل من سعی میکنم من چندینquestions دیده ام که در مورد مخزنی با پارتیشن در وسط و گازهای ایده آل مختلف در هر دو طرف با مقدار متفاوت فشار ، حجم و دما صحبت می کنند و سپس آنها می گویند که وقتی پارتیشن برداشته می شود دمای نهایی مخلوط گازها .... آنچه به من گفته شده این است که ما می توانیم انرژی داخلی را ذخیره کنیم $nCv(T1)$ اولیه گاز 1 $nCv(T2)$ اولیه گاز 2 = $nCv(Tfinal)$ مخلوط. مشکل من با این مسئله این است که اینها انرژی های اساسی داخلی نیستند ... معلوم شد که صریحاً توسط استادهای من ذکر شد که این فرمول فقط نمایانگر تغییر در انرژی داخلی است و مقدار واقعی انرژی داخلی هرگز قابل محاسبه نیست زیرا پارامترهای انرژی زیادی وجود دارد و ما هرگز نمی توانیم همه آنها را به طور دقیق جمع کنیم ... پس چگونه این رویکرد برای حل صحیح است زیرا همیشه جواب درست می دهد ... آیا چیزی شبیه انرژی خالص سیستم نباید تغییر کند بنابراین خالص تغییر می کند در هر طرف باید برابر با کل تغییر باشد؟ آیا رویکرد دیگری برای این مشکل وجود دارد ..در مهندسی ، ما یک گاز ایده آل را ماده ای می دانیم که رفتار محدود کننده یک گاز واقعی را در منطقه با تراکم کم گاز نشان می دهد. به همین ترتیب ، مشخصات اصلی زیر را نمایش می دهد:معادله حالت آن $ Pv=RT$ است ، جایی که v حجم مولی است
انرژی داخلی مولی آن فقط تابعی از دما T است و نه حجم و فشار مولار. این وابستگی به دما به طور معمول خطی نیست ، به طوری که ظرفیت گرمایی مولی آن$c_v=\frac{du}{dT}$ ثابت نباشد. بنابراین ، انرژی داخلی مولار آن را نمی توان به سادگی به عنوان $u=c_vT$ نشان داد. در عوض ، باید با توجه به دما به عنوان یک انتگرال نشان داده شود:$u(T)=u(T_{ref})+\int_{T_{ref}}^T{c_v(T')dT'} $
که در آن$T$'یک متغیر ساختگی ادغام است ، $c_v(T) $ ظرفیت حرارتی مولی در حد رفتار ایده آل گاز است ، و$u(T_{ref})$ انرژی داخلی مولار مطلق در دمای مرجع مشخص$T_{ref}$ است. مقدار انرژی داخلی مولار در این دمای مرجع مشخص شده در واقع نیازی به دانستن نیست زیرا از همه محاسباتی که ما از نظر عملی استفاده می کنیم لغو می شود. در محدوده محدودی از دما در مجاورت $T_{ref}$ ، اغلب می توانیم حدس بزنیم که ظرفیت گرمای مولار تقریباً ثابت است و می توانیم بنویسیم$ u(T)=u(T_{ref})+\int_{T_{ref}}^T{c_v(T')dT'}$
در مخلوطی از گازهای ایده آل ، هر گاز مخلوط طوری رفتار می کند که گویی تنها گاز موجود است از نظر سهم خود در انرژی داخلی مخلوط کلی. بنابراین می توانیم برای مخلوطی از اجزای ایده آل گاز بنویسیم ،
$u(T)\approx u(T_{ref})+\bar{c_v}(T-T_{ref})$
جایی که$n_i$ تعداد مولهای گونه i در مخلوط است و $ u_i(T)$ انرژی داخلی مولار گونه های خالص i در همان دمای T است.
بر اساس این ملاحظات ، صرفه جویی در معادله انرژی داخلی برای مشکل مخزن با تقسیم را می توان به شرح زیر نوشت:
$U=n_1[u_1(T_{ref_1})+\bar{c}_{v1}(T_1-T_{ref_1})]+n_2[u_1(T_{ref_2})+\bar{c}_{v_2}(T_2-T_{ref_2})]=n_1[u_1(T_{ref_1})+\bar{c}_{v1}(T_f-T_{ref_1})]+n_2[u_1(T_{ref_2})+\bar{c}_{v2}(T_f-T_{ref_2})]$که در آن $T_f$ دمای تعادل نهایی است. وقتی این مسئله را برای دمای نهایی حل می کنید ، چه چیزی بدست می آورید و آیا این شامل انرژی درونی دو گونه در دمای مرجع آنها است؟لذا $ \Delta U=nC_{v}\Delta T=nC_{v}(T_{2}-T_{1})=nC_{v}T_{2}-nC_{v}T_{1}=U_{2}-U_{1}$و $U_2=nC_{v}T_{2} $ انرژی داخلی گاز در دمای T2 است $U_1=nC_{v}T_{1}$ انرژی داخلی گاز در دمای T1 است.مخلوط چند گاز وقتی گازها با هم مخلوط شدند و در یک دما قرار گرفتند ،$(n_1 + n_2) \overline{C_v} T = n_1 C_{v_1} T + n_2 C_{v_2} T$و $(n_1+n_2)\bar{C_v}=n_1C_{v1}+n_2C_{v2}$و$\bar{C_v}=x_1C_{v1}+x_2C_{v2}$و$\bar{C_p}=x_1C_{v1}+x_2C_{v2}+R $و$\gamma=\frac{\bar{C_p}}{\bar{C_v}}=1+\frac{R}{x_1C_{v1}+x_2C_{v2}} $یا $\gamma=1+\frac{1}{\frac{x_1}{(\gamma_1-1)}+\frac{x_2}{(\gamma_2-1)}} $
.

سلام ببخشید ، ظرفیت گرمای مولی گاز آرمانی زمانی فشار و حجم ثابت نباشد تعریف نمی شود؟ ممنون میشم کسی جواب بده

فرآیند پلی تروپیک $dU=\bigg(\frac{\partial U}{\partial V}\bigg)_TdV+\bigg(\frac{\partial U}{\partial T}\bigg)_VdT $, و$ n(C_V-C)dT=-pdV$و$n(C_V-C)dT=-\frac{nRT}{V}dV $توجه کنید $\mathrm{d}U=\mathrm{d}\left(\frac{f}{2}pV\right)=\frac{f}{2}p\mathrm{d}V+\frac{f}{2}V\mathrm{d}p $توجه کنید $dU=C_vdT+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_TdV$و $dH=C_pdT+\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_TdP $داریم $C_p\Delta T = C_v\Delta T + P\Delta V $اختلاف بین ظرفیت ثابت و ظرفیت گرمایی فشار ثابت برای یک گاز کامل$C_p - C_v = \overbrace{\left (\frac{\partial H}{\partial T} \right)_p}^{\text{definition of} \ C_p} - \overbrace{\left (\frac{\partial U}{\partial T} \right)_v}^{\text{definition of} \ C_v} \tag{roham} $داریم $C_p - C_v = \left (\frac{\partial (U+nRT)}{\partial T} \right )_p - \left (\frac{\partial U}{\partial T} \right )_p = nR $حالت کلی $ C_p -C_v = \overbrace{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_p}^{\text{evaluated in} \ (4)}+ \left( \frac{\partial (pV)}{\partial T} \right)_p - C_v \tag{roham}$,$C_p -C_v = \alpha \pi_T V + \alpha pV = \alpha(p+ \pi_T)V \tag{roham}$,$\pi_T = T \left (\frac{\partial p}{\partial T}\right )_v - p$,$\alpha = \frac{1}{V}\left (\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$
Cp-Cv برای یک گاز به دنبال معادله حالت ;$C_p-C_v= R\left(1 + \frac{2a}{RTV}\right)$در حالت کلی شما $ C_P-C_V=VT\frac{\alpha^2}{\beta_T}=VT\left[\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V\right]^2\beta_T, \tag{1}$جایی که $\alpha\equiv\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$و$\beta_T\equiv\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T $و$C_P\equiv\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_P+\alpha P$