خواندن جرم جسمی که روی ترازو سقوط میکنه

[rohamavation]

من و رویا میخواستیم ارسا رو وزن کنیم دیدم یهو وزن بیشتری نشون داد بعد روی حدود 16.62 پوند ایستاد با خودم گفتم چرا چنینه تو فضا چی تو فضا وزن نداریم درسته جرم داریم .حالت سقوط هم وزن نداریم هنگام سقوط آزاد تنها نیرویی که به شما وارد میشه نیروی گرانشه که به سمت پایین وارد میشه. از آنجایی که هیچ Normal force نیروی عکس‌العمل عمودی سطه تو مکانیک مولفهیه عمود بر سطح تماسی که نیروی مماس بر یک جسم اعمال میکنه به سمت بالا عمل نمیکنه احساس بی وزنی میکنی .چیزی که هنگام ایستادن روی زمین به عنوان وزن احساس میکنی به دلیل جاذبه نیست به دلیل نیروی تماس طبیعی است که زمین به شما وارد میکنه. وقتی اون حذف بشه وزن خودتونو را احساس نمیکنین
اگر در فضا آویزان هستی و چیزی برای اعمال نیرو بر روی شما نیست وزن خودتونو را احساس نمیکنید.
و هنگامی که تحت نیروی گرانش قرار میگیرید و چیزی برای مقابله با سقوط شما نیست یا میگین نیروی تماس را اعمال کنین وزنتونو را نیز احساس نخواهید کرد و به همین دلیله که هر دو حالت را سقوط آزاد میگیم.گفتم بیارم
{اگه من یک جسم m را از ارتفاع h بر روی یک ترازوی فنری رها کنم روش خوبی برای تخمین خواندن حداکثر وزن وجود داره؟
{در این موضوع بحثی درباره استفاده از رویکرد مبتنی بر انرژی بوده اما من فکر می‌کنم که این رویکرد بستگی به فرضیات ایده‌آل داره (برای مثال فرض اینکه برخورد بین جرم سقوطی و ترازو الاستیک باشه استدلالم
حالت اولیه شامل قرار دادن جرم m به آرامی روی ترازوهستش
با رد کردن اصطکاک حفظ انرژی نشون می‌ده که حداکثر جابجایی باید $x_0=2mg/k$ باشه. اگه من ترازو به درستی تنظیم شده باشه - به این معنی که وزن m را در موقعیت تعادل جدیدش بخونم - هنگامی که جرم تو نقطه پایینی ارتعاش خودش قرار می‌گیره باید $R_0=2m$ را نشون بده
دوباره با استفاده از حفظ انرژی اما با m تو ارتفاع ابتدایی h بالای ترازو:
{حداکثر جابجایی جدید $x = \frac{mg + \sqrt{mg\left(mg + 2hk\right)}}{k}$ است که متناظر با یک خواندن حداکثر از $R = \frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}\right)R_0 = m\left(1 + \sqrt{1 + \frac{2hk}{mg}}\right)$
{در ابتدا این نتیجه قابل قبول به نظر می‌رسه اما پس از وصل کردن مقادیر نتایج عجیب هستند. من می‌دانم که هر مدلی که فقط بر اساس مفاهیم ابتدایی باشه احتمالاً به فرضیات ضعیف بستگی داره اما من تقریباً مطمئن هستم که نمی‌تونم اونو را برای یک جرم نقطه‌ای سقوطی اعمال کنمش.}نیروی آنی بین جرم و ترازو وجود داره و سپس خواندن ترازو وجود داره. عوامل مؤثر بر هر دوی اینها به عوامل ناشناخته زیادی بستگی داره - ابتدا اگه من جرم M را رها کنم از ارتفاع h روی اندازه هایی با جرم m و سپس این دو به عنوان یکی حرکت می کنند برخورد غیر کشسان و سرعت v در نظر گرفته بشه
درست بعد از برخورد می توانن از سرعت $v'$ استخراج کنم درست قبل از قرار دادن$v = \sqrt{2gh}\\
v'=\frac{M}{M+m}v$زمانی که طول می کشه تا جرم شتاب بگیره با کشش تماس مشخص بشه و به طور کلی مشخص نیست. هر چه زمان کوتاه‌تر باشه نیرو بزرگتره - با میانگین نیروی داده شده توسط
$\int F\;dt = m v'\\
F_av=\frac{mv'}{\Delta t}$اگه من نیروی میانگین زمان را در نظر بگیریم.
با این حال این نیرو احتمالاً در ترازو مون ثبت نمیشه. من می تونم به سه نوع "اصلی" از اندازه فکر کنم: ترازوی اندازه فنری و اندازه بازگشت به صفر. هیچ یک از آنها نیروی ضربه اولیه را ثبت نمی کنند.
برای تعادل جرم جسم با مقایسه آن با جرم مرجع در بازوی دیگر تعیین بشه. این چیزی نیست که من در اینجا به دنبالش هستم
برای ترازو فنری انحراف فنر در زیر بار معیاری برای وزنه: این موردی است که در اینجا قابل تجزیه و تحلیله
برای اندازه بازگشت به صفر مکانیسم مورد استفاده جریانی را در آهن‌ربای الکتریکی ایجاد میکنم تا اندازه را به همان موقعیتی که قبل از اضافه شدن جرم بود بازگردانه. اینها معمولاً پاسخ آهسته دارند اما دقیق‌ترین هستند - از آنجایی که نیرو دقیقاً متناسب با جریان است که اندازه در همان موقعیت قرار داره هیچ تأثیری از میرایی فنر ودما و غیره وجود نداره.
من معتقدم که سوالم فقط برای اندازه بهار قابل پاسخگویی منطقی است. توجه کنین هوپایی ها که چنین اندازه‌هایی معمولاً "به طور بحرانی میراشونده هستند (اگه منچه این فقط تقریباً درست است زیرا درجه میرایی به جرم بستگی داره - بنابراین فقط می‌توان آن را برای یک جرم به طور بحرانی میرا کرد). اما اجازه بدین در ابتدا آن را کنار بگذارم.
اگه من جسمی با جرم M داشته باشم سقوط از ارتفاع h روی یک اندازه فنری با جرم m<<M و ثابت فنر k انحراف d را می تونم از پایستگی انرژی محاسبه کنمش
افت کل جرم = h+dانرژی ناشی از افت E=Mg(h+d)این باید برابر با انرژی الاستیک ذخیره شده در حداکثر انحراف باشه:
$\frac12 k d^2 = Mg(h+d)$می تونم برای d مرتب کنم و حل کنم :$\frac12 k d^2 - Mgd - Mgh = 0\\
d = \frac{Mg ± \sqrt{M^2g^2 + 2 Mghk}}{k}$این دو ریشه با حداکثر حرکت (هارمونیک ساده) که جرم انجام می ده مطابقت داره: برای سوالم به ریشه مثبت نیاز دارم. میدونم که اگه h=0 باشه
موارد فوق نشون می دهد که حداکثر انحراف اندازه دو برابر فاصله مورد انتظار خواهد بود.
$d = \frac{2Mg}{k}$
و با کاهش جرم از ارتفاع بیشتر حداکثر انحراف به سرعت افزایش میاد. دقیقاً چقدر بیشتر به مقدار k بستگی داره
- هر چه فنر سفت تر باشه مقدار k بیشتر است
و هر چه مقداری که روی ترازو می خونم بزرگتر باشه زیرا جسم از ارتفاع بیشتری رها می بشه. همه اینها با تحلیل خود شما همخوانی داره.
البته این جایی است که میرایی وارد عمل بشه: یک اندازه شدید میرا تمام انرژی نوسانی را از بین می بره و به ارومی به مقدار تعادل می رسه بدون اینکه هرگز بیش از حد افزایش یابه. یک اندازه کم میرا نوسان می کنه - در حد میرایی بسیار سبک مقدار محاسبه شده در بالا را می خونه. اما یک اندازه بحرانی میرا فقط یک بار بیش از حد خواهد شد و من می تونم مقدار بیش از حد را محاسبه کنم.
راه حل برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده با میرایی بحرانی توسط داده شده$x(t) = (A + Bt)\;e^{-\omega_0t}$
A و B را از شرایط اولیه پیدا می کنم
$A = x(0)\\
B = \dot{x}(0) + \omega_0 x(0)$
اگه من $x(0) = d = \frac{Mg}{k}$ را قرار دهیم
بیش از حد با سرعت اولیه ای که در بالا محاسبه کردم به دست میاد. برای اندازه این سرعت اولیه سرعت v است
جرم پس از سقوط ارتفاع h
(من می خواهم ارتفاع اضافی d را نادیده بگیرم
که به نظر من کوچیکه. وگرنه معادلات خیلی سختر میشن) و معادله حرکت
$x(t) = (d + (-v + \omega_0 d)t)e^{-\omega_0 t}$
(علامت منفی وجود داره زیرا سرعت به سمت موقعیت تعادل است). گرفتن مشتق با توجه به t من می‌تونم زمانی را محاسبه کنم که بیش‌ازحد حداکثره و دوباره آن را وصل کنم تا بیش از حد را به دست بیارم
$-\omega_0 (d + (-v + \omega_0 d)t)e^{-\omega_0 t} + (-v + \omega_0 d)e^{-\omega_0 t}=0\\
-\omega_0 (d + (-v + \omega_0 d)t)+ (-v + \omega_0 d) = 0\\
\omega_0 vt- \omega_0^2 dt + v = 0\\
t = \frac{v}{\omega_0(v-\omega_0 d)}$برای v به اندازه کافی بزرگ ($v (v>\omega_0 d)$)
این منجر به افراط (بیش از حد) بشه.
جایگزینی t بازگشت به عبارت x اندازه مازاد را نشون می ده که از آن جرم ثبت شده در ترازویی به دست میاد.
اه حل واضح این است که یک "میری دمپرDashpot damper دمپر ترمز سیال به معادله حرکت سطح اضافه بشه به طوری که معادله حرکت سطح اینطوره
\[
y''(t)+2\lambda y'(t)+\omega^2y(t)=-\alpha w_0.
\]
مانند همیشه در این حالت تعادل به ارتفاع \(y_0=-\frac{\alpha w_0}{\omega^2}\)
میاد که در ترازو به عنوان وزن \(w_0\)نشون داده میشه. جایگزین کردن \(y=y_0+\eta\)یک تابع \(\eta(t)\)
می‌دهد که به شکل زیر تعریف میشه:
\[\eta''(t)+2\lambda \eta'(t)+\omega^2\eta(t)=0
\]راه حل کلی شامل فرض کردن \(\eta(t)=Ae^{kt}\)
است که این کار معادله ساده میشه
\[
k^2+2\lambda k+\omega^2=0, \quad (k+\lambda)^2=-(\omega^2-\lambda^2), \quad k=-\lambda \pm i\sqrt{\omega^2-\lambda^2}.
\]
بنابراین با تعریف \(\omega_{\bar{}}^2=\omega^2-\lambda^2\)
راه حل کلی من
\[
y(t)=y_0+e^{-\lambda t}(A\cos(\omega_{\bar{}}t)+B\sin(\omega_{\bar{}}t))
\]
شرط مرزی برای \(A\)
رسیدنی است \(A=-y_0\)
تا از \(y(0)=0\)
شروع بشه. سپس \(B\)
توسط سرعت برخورد جرم با ترازو‌ی فنری تنظیم میشه \(y'(0)=-\lambda A+B\omega_{\bar{}}=-v_0\)
بنابراین \(B=-(v_0+\lambda y_0)/\omega_{\bar{}}\)است. این نشون می‌ده که ما همه چیز را بر \(y_0\)تقسیم می‌کنم و \(u(t)=y(t)/y_0\)
را تعریف می‌کنم. بنابراین راه حلم باینطور اوردم نمیدونم شما هوپاییها چطور میارین
\[
u(t)=1-e^{-\lambda t}(\cos\omega_{\bar{}}t+\lambda+\frac{v_0}{y_0\omega_{\bar{}}}\sin\omega_{\bar{}}t).
\]

[rohamavation]

ممکنه بتونم اینو تحلیلش کنم و به پاسخ‌های منطقی برای سوالاتم در مورد خواندن حداکثر پس از رها کردن یک جرم بر روی ترازو برسم.
وقتی که یک جرم به مانند یک ترازو برخورد میکنه خواندن روی ترازو موقتاً از وزن واقعی جرم بیشتره. این پدیده را می‌تونم با استفاده از قانون دوم نیوتن که بیان میکنم نیروی عملکرد بر روی یک جسم برابر با نرخ تغییر میانگین میزان حرکت آن است توضیح داد.
در لحظه‌ای که جرم با ترازو تماس می‌گیره یک نیروی تکانه بر روی ترازو اعمال میشه. این نیروی تکانه ناشی از تغییر سریع میانگین حرکت جرم است که هنگامی که با ترازو برخورد میکنم کند میشه. طبق قانون سوم نیوتن حرکت برای هر عملی عکس آن عمل نیز وجود داره. بنابراین ترازو نیز یک نیروی معادل و مخالف بر روی جرم اعمال میکنم که باعث افزایش موقت خواندن روی ترازو میشه.
به طریق مشابه وقتی که یک فرد روی ترازو ایستاده و یک توپ را به هوا پرتاب میکنم و سپس آن را گرفته ترازو نیز یک مقدار بیشتر از وزن ترکیبی فرد و توپ را میخونم. این به این دلیله که در لحظه گرفتن توپ یک نیروی تکانه به ترازو اعمال میشه به دلیل تغییر ناگهانی در میانگین حرکت فرد و توپ. بنابراین ترازو مقداری موقتاً افزایش می‌یابد.
به طور خلاصه توضیح برای افزایش موقت خواندن روی ترازو در هر دو حالت واقعاً نیروی تکانه اعمال شده در لحظه تماس یا گرفتن است همانطور که توسط قوانین حرکت نیوتن مشخص میشه.
یک شخص درون یک ترازوی وزن‌گیر در آسانسوری با شتاب به سمت بالا ایستاده فرض کنید N نیروی واکنش عمودی توسط ترازو به شخص (به سمت بالا) باشه.
معلوم است که شخص نیروی واکنش عادی (N) بیشتر از وزن خود (باعث خواندن بزرگتر روی ترازو) را تجربه میکنم. در حالی که N برابر با اندازه اما در جهت مخالف نیرویی است که شخص به ترازو اعمال میکنم به دلیل جفت عمل و واکنش بین شخص و ترازو. این بدان معناست که علاوه بر وزن شخص باید نیروی اضافی‌ای به سمت پایین به ترازو اعمال بشه (A).بنابراین معادله نیروها در جهت عمودی به اینطوره$−N=mg+A$
که در آن:N نیروی واکنش عمودی توسط ترازو به شخصه (به سمت بالا)mg وزن شخص است (به سمت پایینه)
A نیروی اضافی‌ای است که به ترازو به دلیل شتاب بالای شخص (به سمت پایین) اعمال میشه.
نیروی اضافی A ناشی از شتاب بالای شخص درون آسانسوره که باعث میشه ترازو خواندنی را نشون بده که بیشتر از وزن واقعی شخصه.
در این حالت آسانسور به سمت بالا شتاب می‌یابد که باعث میشه فردی که روی ترازو ایستاده‌است وزن متقارنی اضافی تجربه کند. این افزایش به علت نیروی اضافی است که سطح کف آسانسور بر فرد اعمال میکنم.بیایید نیروهای متعلقه را مورد بررسی قرار بدم
۱. وزن فرد (mg): این نیرو نیروی گرانشی است که به سمت پایین بر روی فرد اعمال میشه جایی که m جرم فرد و g شتاب گرانشی است.
۲. نیروی واکنش عمودی که توسط ترازو به فرد اعمال میشه (N): این نیرو نیروی واکنشی است که توسط ترازو به فرد اعمال میشه عمود بر سطح ترازو. از آنجایی که فرد به سمت بالا شتاب داره این نیروی عمودی بیشتر از وزن واقعی فرد هستش دیگه
۳. نیروی اضافی که به ترازو به علت شتاب فرد اعمال میشه (A): این نیرو که با A نمایش دادمش نیروی اضافیه که فرد به سمت پایین بر روی ترازو اعمال میکنه به دلیل شتابی که فرد در جهت بالا داره. در واقع این نیرو نیازمندی به تسریع فرد به سمت بالا به همراه آسانسوره.
حالا بیایید نیروها را با استفاده از قانون دوم نیوتن تجزیه و تحلیل کنم:نیروی خالصی که در جهت عمودی بر روی فرد اعمال میشه برابر است با:نیروی خالص=وزن+نیروی عمودی+نیروی اضافی
نیروی خالص=وزن+نیروی عمودی+نیروی اضافی$ΣF=mg+N+A$
از آنجایی که فرد در جهت عمودی شتاب نداره (او به سمت بالا یا پایین نمی‌رود نسبت به آسانسور) نیروی خالص در جهت عمودی باید صفر باشه (به دلیل قانون اول نیوتن). بنابراین من دارم:
ΣF=0$$وmg+N+A=0$$ پس اینطور مینویسمش$−N=mg+A$
پس نیروی اضافی A ناشی از نیاز به محاسبه برای شتاب فرد به سمت بالا نسبت به آسانسوره.
اکنون . قانون نیوتن
$\sum \vec{F_{ext}}=\frac{dp}{dt}=ma(for\ constant \ mass)$ (برای جرم ثابت)
بنابراین
$N-mg=\sum \vec{F_{ext}}=ma$
جایی که سیستم پسر در فریم زمینه.
در اینجا نیروی خارجی خالص را با شتاب جسم برابر می‌دونم. $ma$
یک نیرو نیست بلکه معیار نیروی خالص است که باعث می بشه جسم شتاب بگیره
2) در یک قاب شتاب دهنده (غیر اینرسی)
در اینجا باید یک نیروی ساختگی $-m\vec{a}$ اضافه کنم
جایی که $\vec a$ شتاب فریمه اینجا هم
$N-mg-ma=\sum \vec{F_{ext}}=0(as \ in \ frame \ of \ elevator \ roham \ is \ at \ rest)$ (همانطور که در کادر آسانسور روهام در حال استراحت است)
باز هم می گیری
$N-mg=ma$