وزن و سرعت حرکت

[rohamavation]

فکر می‌کنم بهترین توضیح برای این موضوع اینه که وقتی یه جسم 100 گرمی رو به جسم 5 کیلویی اضافه می‌کنیم در واقع یه مقدار اضافی از جرم رو به سمت راست ترازو اضافه می‌کنیم که باعث میشه سمت راستی که از این مقدار بیشتری جرم داره سنگین‌تر از سمت چپ باشه. بنابراین نیروها نابرابر میشن و ترازو حرکت می‌کنه.
حالا وقتی 20 کیلو جرم به جای 100 گرم اضافه می‌کنیم مقدار بیشتری جرم به سمت راست اضافه می‌شه. اون جرم بیشتر بیشترین مقدار اثر خودش رو داره. وقتی این اضافه‌ی جرم بیشتره ترازو سریعتر حرکت می‌کنه.
توی دنیای فیزیک وقتی اجسام به یه نیروی مشخصی (مثلاً جرم) تحت تأثیر قرار می‌گیرن تا حدودی مثل اینه که یه گردش روی چرخ دارن. جرم اضافه شده اینجا مثل یه اضافه‌ی سرعت به چرخش ترازو هست. وقتی سرعت چرخش بیشتره ترازو سریعتر حرکت می‌کنه.
بله توی شرایط عادی قوانین فیزیکی نشون می‌ده که تمام اجسام با همون سرعت شتاب می‌گیرن اما وقتی داریم در مورد چرخش یه سیستم صحبت می‌کنیم معادلات شده یه کم پیچیده‌تر میشن. یعنی نه تنها وابسته به جرم جسم نیست بلکه به شکل و توزیع جرم هم بستگی داره.
وقتی جرم رو به سمت چرخش اضافه می‌کنیم در واقع به شکل و توزیع جرم تغییری ایجاد می‌دیم. این تغییر اثر بیشتری روی شتاب زاویه‌ای داره که باعث میشه ترازو سریع‌تر حرکت کنه.
من از میانبر فرض می‌کنم که جرمهاآویزان نیستند بلکه به میله‌ای که به محور متصل می‌شود چسبیده‌اند. فاصله در هر دو جرم r خواهد بودب
. اجازه دهید M جرم سمت راست و m باشد
سمت چپ یک گشتاور خارج از جهت صفحه:$\tau = mgr - Mgr.$
ممان اینرسی (با فرض ذرات نقطه و محور چرخش خارج از صفحه از طریق محور):$I = (m+M)r^2$
با استفاده از $\tau=I\alpha$
:$gr(m-M) = (m+M)r^2\alpha$ّ
$g\frac{m-M}{r(m+M)}=\alpha$ّّ
اگر m−M=0
همونطور که انتظار دارم شتاب زاویه ای ندارم.
همانطور که M
برای m<M ثابت بزرگتر می شود
$|\alpha|$
افزایش می‌یابد بنابراین همانطور که انتظار دارم شتاب زاویه‌ای در جهت عقربه‌های ساعت بیشتر می‌شه.در فیزیک نیوتنی جرم یک جسم دو نقش داره دو برابر شدن جرم (a) کشش زمین را بر جسم دو برابر می کنه (نقش گرانشی جرم) اما همچنین (نقش گرانشی جرم) ب) شتابی را که جسم برای نیروی اعمالی معین داره (نقش اینرسی جرم) نصف می کنه. به همین دلیله که اجسام با جرم های مختلف با شتاب یکسان سقوط می کنند - اگر هیچ نیروی دیگری عمل نکنه.گشتاورها
$Mgr-mgr=(Mr^2+mr^2)\alpha$
تنظیم مجدد
$\alpha=\frac {g}{r}\frac{(M-m)}{(M+m)}$
مشتق wrt M را در نظر بگیرید تا ببینید که چگونه با M متفاوت است
$\frac {d\alpha}{dM}=\frac {g}{r}\frac{2m}{(M+m)^2}$
این مثبت است بنابراین افزایش M باعث افزایش $\alpha$ می شود

[rohamavation]

دیگه وقتی جرم به سیستم اضافه می‌شه موقعیت جرم‌ها تغییر می‌کنه و این تغییرات بر روی شتاب زاویه‌ای تأثیر می‌ذاره. این تغییرات می‌تونن به دو شکل تأثیر بذارن:
۱. تغییر در مقدار گشتاور: وقتی جرم اضافه می‌شه مقدار گشتاور هم تغییر می‌کنه. گشتاور مستقیماً به فاصله و نیرو وابسته‌ست. وقتی جرم اضافه میشه فاصله مرکز جرم‌ها تغییر می‌کنه و این باعث تغییر در مقدار گشتاور میشه.
۲. تغییر در ممان اینرسی: با افزودن جرم ممان اینرسی هم تغییر می‌کنه. ممان اینرسی به جرم و توزیع جرم بستگی داره. با اضافه کردن جرم ممان اینرسی بیشتر میشه و این باعث میشه که شتاب زاویه‌ای هم بیشتر بشه.
بنابراین با اضافه کردن جرم به سیستم هر دو عامل تغییر می‌کنن و معمولاً با افزایش مقدار جرم اضافه شده شتاب زاویه‌ای (سرعت چرخش) سیستم هم بیشتر می‌شه
بله دیگه فرض کنید یه ترازو داریم یه جورایی مدل سنتی که دو تکه آهنربا بهش وصله. حالا هر دو آهنربا هم جرم یکسانی دارن و به یه فاصله خاص از محور چرخش ترازو هستن. تو این حالت ترازو به حالت تعادل می‌رسه و سرعت چرخشش ثابته.
حالا فرض کنید یه تکه آهنربای جدید به یکی از سرانجام‌های ترازو اضافه شه. این تکه آهنربا هم جرم خاصی داره و به یه فاصله خاصی از محور چرخش ترازو وصل می‌شه.
حالا با اینکه تکه آهنربای جدید رو اضافه کردیم توزیع جرم ترازو تغییر می‌کنه. این تغییر توزیع جرم باعث می‌شه که ممان اینرسی ترازو بیشتر بشه چون ممان اینرسی به جمع جرم و توزیعشون وابسته‌ست.
با اضافه کردن جرم فاصله میان محور چرخش و جرم‌ها هم تغییر می‌کنه که باعث تغییر در مقدار گشتاور می‌شه. اگه جرم اضافه شده کمتر باشه مقدار گشتاور کمتر می‌شه و در نتیجه سرعت چرخش کمتر می‌شه. اما اگه جرم اضافه شده بیشتر باشه مقدار گشتاور بیشتر می‌شه و سرعت چرخش بیشتر می‌شه.
پس با اضافه کردن جرم به سیستم هر دو عامل تغییر می‌کنن و این تغییرات باعث افزایش سرعت چرخش (شتاب زاویه‌ای) ترازو می‌شه خصوصاً وقتی که جرم اضافه شده بیشتر باشه.
۱. تغییر در مقدار گشتاور:
گشتاور (τ) به صورت زیر تعریف می‌شه:τ=rFدر این‌جا r فاصله از محور چرخش و F نیروییه که به جسم اعمال میشه. وقتی جسم اضافه میشه فاصله r تغییر می‌کنه که باعث تغییر در مقدار گشتاور میشه.
ممان اینرسی I تابعی از جرم و توزیع اون هستش :$I = \sum m_i r_i^2 $
با اضافه کردن جرم ممان اینرسی تغییر می‌کنه و این تغییرات مستقیماً بر روی شتاب زاویه‌ای (α) تأثیر می‌گذاره.
بر اساس این دو فرمول با اضافه کردن جرم هر دو عامل (مقدار گشتاور و ممان اینرسی) تغییر می‌کنن و این تغییرات باعث افزایش سرعت چرخش (شتاب زاویه‌ای) سیستم میشه.