تتربال

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3282

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

تتربال

پست توسط rohamavation »

Tetherball problem
حرکت یک توپ تتربال توسط دو نیرو انجام میشه. این دو نیرو با هم ترکیب میشن تا نیروی خالص یعنی نیروی مرکزگرا را ایجاد کنن خوب اگه توپ با سرعت بیشتری حرکت کنه به نیروی مرکزگرای بیشتری نیاز داره که معلومه به نیروی کششی بیشتری نیاز داره توپ در یک حرکت دایره‌ای حرکت میکنه که به دلیل نیروی مرکزگرا و سیم اتصاله که توپ را به قطب متصل نگه می‌داره و به مرکز میکشه. برای نیروی مرکزگرا سیم اتصال ممکنه یک جسم واقعی باشه مانند یک زنجیره یا ممکنه نیرویی مثل گرانش که مانند یک سیم اتصال عمل می کنه.نیرویی که باعث حرکت مرکزگرا در تتربال میشه کشش طنابه همانطور که توپ در اطراف قطب حرکت میکنه کشش در طناب دائماً آن را به سمت مرکز دایره میکشه.
یک تتربال را در نظر بگیرین (قطعه چسبیده به زمین با نخی که بین آن و یک توپ آزادانه در حال حرکته) بدون گرانش. یعنی رشته عمود بر قطب کشیده شده و توپ در انتهای آن قرار داره مثلاً در فاصله اولیه $R_0$ از مرکز قطب و حالا به توپ یک سرعت مماسی اولیه $v_0$بدم
به طوری که شروع به چرخیدن در اطراف قطب میکنه(بدون هیچ z حرکت محور چون گرانش وجود نداره الان همانطور که توپ در اطراف قطب میچرخه رشته به دور قطب میپیچه پس فاصله توپ از مرکز کاهش میادش - اگر قطر قطب d باشه به راحتی می تونم$R(\theta)<R_0$ را حدس بزنم پس از اینکه توپ در یک زاویه کلی $θ $چرخید بینین جزئیاتش مهم نیست مهم چیزیه که من سعی کردم بفهمم) سرعت مماسی بعدی توپ v هستش به عنوان تابعی از θچون$I=mR(\theta)^2$است
کاهش میاد در حالی که $Iω $ احتمالا حفظ شده است. اما این داشت نتایج اشتباهی میداد. چیزی که من در نهایت حدس زدم اینه که به عنوان $R(θ)$
کاهش میابه مقداری $\frac{mv^2}{R(\theta)}\Delta R$ وجود داره کار روی توپ انجام شده دیگه و این باید از$\frac12I\omega_0^2=\frac12mv_0^2$ اولیه توپ باشه
، که من حساب نکرده بودم.درسته برای من کمی مبهمه زیرا هر دو $\frac{mv^2}{R(\theta)}$ و $ΔR$ در جهت شعاعی هستند هر چندکار=نقطه_محصول آنها یک اسکالره پس حرکت مماسی مسلماً مستقله. اما پس ازش اون کار شعاعی از کجا میادش پس کدومه و اگر کار از انرژی توپ میاد پس چگونه نیروی شعاعی از حرکت مماسی بدست میاد و اگر از انرژی توپ نمیاد پس از کجا اومده
به توپ سرعت مماسی اولیه $v_0$ بدم در فاصله اولیه $R_0$ از مرکز قطب خوب اولش ممان اینرسی توپ فقط$I_0=mR_0^2$ هستش و سرعت زاویه ای $\omega_0=v_0/R_0$. الانه با حفظ تکانه زاویه ای حدس میزنم $I\omega=I_0\omega_0$ در هر نقطه پس از اینکه توپ به اندازه کافی به اطراف چرخید تا فاصله آن از قطب $R<R_0$ باشه
، من باید داشته باشم$\omega = I_0\omega_0/I = (mR_0^2\frac{v_0}{R_0})/(mR^2)=\frac{v_0R_0}{R^2}$و این فقط به من$$
،$\omega =\frac vR = \frac{v_0R_0}{R^2}\hspace{10pt}\mbox{whereby}
\hspace{10pt} v=v_0\frac{R_0}{R}>v_0
$ میده اما $v>v_0$ معنیش به معنای دریافت انرژی جنبشی (مماسی) توپ در حال چرخشه که احتمالاً نمیتونه باشه حدس من اینه که به $\frac{mv^2}R\Delta R$ میره
من میتونم هر زمان که بخوام رشته را قطع کنم و توپ به صورت مماس به پرواز در بیاد. بنابراین اگر بر حفظ انرژی جنبشی توپ پافشاری کنم سرعت مماسی مقدار $v=v_0
$هستش. $\omega=\frac vR=\frac{v_0}R$ باید درست باشه دیگه $\omega=\frac{v_0R_0}{R^2}$ خوب
جواب صحیح را در $\frac{R_0}R>1$ضرب میکنم میدونم ω در واقع با افزایش R کاهش میده. امانظر بعدیم حفظ حرکت زاویه ای به ω منتهی میشه
وقتی من اصرار دارم$I\omega=I_0\omega_0$ خیلی زیاد میشه همانطور که در بالا گفتم
تصویر
من اونچه گفتم-- اگه انرژی جنبشی توپ در حال افزایش بود -- یک ماشین حرکت دائمیه. پس نمیشه -- یعنی من میتونم انرژی اضافی را پس از هر تعویض تخلیه کنم و منبع بی پایانی از انرژی داشته باشم
اگر انرژی جنبشی توپ با R افزایش بیاد کاهش یافته باید که روی قطب دوم با طول ریسمان کشیده $R_0$ "چفت بشه
همانطور که گفتم در مقدار $R_0$ طول قطب اول سپس شرایط اولیه برای آن قطب دوم اکنون $v>v_0$ هستش
من در ابتدا برای قطب اول عرضه کردم. و الانه فقط به مبادله ه، رفت و برگشت ادامه میدم و تمام انرژی مجانی را که ممیخوام میگیرم اشتباهه اشتباهم کجاست من تصمیم گرفتم به این مشکل با مکانیک لاگرانژی نگاه کنم
اولین چیزی بهش توجه دارم که جرم m واقعاً فقط یک درجه آزادی داره $θ.$ همانطور که گفتم موقعیت شعاعی آن به $θ$ بستگی داره
زیرا اتصال به طول L به اطراف می پیچه. فرض میکنم به دور یک قطب کوچک به شعاع a می پیچه جایی که a<<L بنابراین لازم نیستش به قطب در سیستم مختصاتم اهمیت بدم.
طول شعاعی اتصالم برای هر θ باید توسط$r = L - a\theta,$جایی که من تعریف کرده ام که r=L در θ(t)=0. سپس سرعت شعاعی جرم برابره $\dot r \hat r = \frac{dr}{dt}\hat r = -a\dot \theta \hat r.$میدونم که سرعت در مختصات قطبی $\dot{\vec{r}} = \dot{r}\hat{r} + r\dot\theta\hat\theta,$ هستش
بنابراین بردار سرعت جرم برابره $\vec{v} = -a\dot \theta \hat r + \left[(L-a\theta)\dot\theta \right]\hat\theta.$با محاسبه $\vec{v} \cdot \vec{v}$
، می تونم عبارت مورد نیاز برای محاسبه انرژی جنبشی را محاسبه کنم که در این مورد، لاگرانژیه (بدون پتانسیل) $\mathcal{L} = T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2\left(a^2 + L^2 + a^2\theta^2 - 2La\theta \right).$من میدونم که با عبور سرعت آن افزایش میابه بنابراین $\dot\theta$
ثابت نیستش و بنابراین لاگرانژ حفظ نمیشه. مهنیش میشه انرژی جنبشی در حال تغییره. من به راحتی می تونم نشون بدم که نیروی تعمیم یافته $\tau_\theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\theta} = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2 \left(2a^2\theta - 2La\right).$در اینجا نیروی تعمیم یافته یک گشتاوره .بنابراین بر این اساس استدلالم من اینه که$ Iω$
کمیت حفظ نشده زیرا یک گشتاور خارجی بر روی سیستم اثر میزاره. گشتاور خارجی اجازه میده تا انرژی جنبشی افزایش یابه منبع این گشتاور من مطمئن نیستم. این یک سیستم نسبتاً ابتداییه بنابراین بهترین ایده ای که به ذهنن رسید گشتاور نیروی عادی در تماس با میله هستش -- من معتقدم که این یک نیروی محدوده به دلیله این واقعیت که r به صراحت به θ بستگی داره که چون قطب مقداری شعاع a داره رشته دقیقاً به صورت شعاعی از آن خارج نمیشه. میشه نیروی کشش روی این جسم را به صورت تعمیم داد $F_{T} = F_{||} + F_{\perp},$جایی که$F_{||}$ و $F_{\perp}$ اجزاء موازی و عمود بر تکانه $\vec p$ هستن . نیروی مرکز به طوریهش
$F_{\perp} = \frac{mv^2}{r}.$سپس $F_{||} = F_T - \frac{mv^2}{r}$
.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3282

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

Re: Tetherball problemتتربال

پست توسط rohamavation »

در حرکت تتربال توپ به عنوان یک سیستم چرخشی حفظ مقدار گشتاور (تعبیه شده در متغیر‌های مانند Iω و حفظ انرژی مکانیکی (که می‌تواند به شکل حرکت مماسی $\(m v^2 R(\theta)\)$ و انرژی گرانشی باشه) اهمیت داره.حرکت توپ دورانی در اطراف قطب با توجه به تغییرات در فاصله R(θ)، به نیروهای مختلفی منجر میشه. تغییرات در فاصله R(θ) به دلیل تغییرات در سرعت مماسی توپ ایجاد میشه که باعث ایجاد نیروهای مختلفی می‌شه.نکته مهم دیگری هم که گفتم اینه که تحلیل انرژی نیز میتونه نقش مهمی در درک حرکت توپ ایفا کنه. تغییرات انرژی مکانیکی و نحوه تبدیل آن در طول حرکت می‌تونه فهم بیشتری درباره نیروها و جزئیات حرکت فراهم کنه.ChatGPT
از آنجا که شما به مکانیک لاگرانژی اشاره کردم و قصد دارم از این دیدگاه به مشکل خود نگاه کنم من با یک مدل لاگرانژی برای این سیستم کمیت‌ها و معادلات حاکم را بررسی میکنم
معادله لاگرانژ سیستم اینطورهL=T−Uکه T انرژی جنبشی (کینتیک) و U انرژی ذخیره‌شده پتانسیله برای توپ تتربال با قطب چرخشی می‌تونم این معادله را بنویسم:
$L = (1/2) * I1 * ω1^2 + (1/2) * I2 * ω2^2 - U(θ1, θ2) $در اینجا$I 1$ و $I 2$ مومنت‌های چرخشی قطب اول و دوم به ترتیب هستن و ω 1 و ω 2 سرعت‌های زاویه‌ای متناظر با قطب اول و دوم.
حالا به دنبال معادلات حاکم بر حرکت هستیم. از معادلات اویلر لاگرانژ می‌توانیم برای هر قطب چرخشی اینطور میارم$\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \omega_1}{\partial L} \right) - \frac{\partial \theta_1}{\partial L} = 0\)$و $\(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \omega_2}{\partial L} \right) - \frac{\partial \theta_2}{\partial L} = 0\)$
از این معادلات می‌تونم معادلات حاکم بر حرکت را به دست بیارم. سپس مسائل مربوط به انرژی و انتقال آن را نیز میتونم بررسی کنم. از این روش با بررسی مدل لاگرانژی می‌تونم بهترین توصیفی از حرکت و انتقال انرژی در سیستم خود داشته باشم و مشکلات خودمو را متوجه بشم
میخوام معادله لاگرانژ برای سیستم خود را بنویسم. در اینجا I 1 و I 2 به ترتیب مومنت‌های چرخشی قطب اول و دوم هستن و ω1 و ω2 سرعت‌های زاویه‌ای متناظر با قطب اول و دوم. تابع پتانسیل $U(\theta_1, \theta_2)$و
$L = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 - U(\theta_1, \theta_2)$
نیز به اندازه‌ای که میخوام از توپ تتربال برمیادحالا معادلات حاکم بر حرکت را با استفاده از معادلات اویلر لاگرانژ میارم
برای قطب اول:$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \omega_1}{\partial L}\right) - \frac{\partial \theta_1}{\partial L} = 0$
$\frac{d}{dt}(I_1 \omega_1) - \frac{\partial \theta_1}{\partial U} = 0$
$I_1 \frac{dt}{d\omega_1} = \frac{\partial \theta_1}{\partial U}$
برای قطب دوم
$\frac{dt}{d\left(\frac{\partial \omega_2}{\partial L}\right)} - \frac{\partial \theta_2}{\partial L} = 0$
$\frac{dt}{d(I_2 \omega_2)} - \frac{\partial \theta_2}{\partial U} = 0$
$I_2 \frac{dt}{d\omega_2} = \frac{\partial \theta_2}{\partial U}$
این معادلات حاکم بر حرکت قطب‌های چرخشی سیستم شما هستند. حالا می‌توانید با توجه به تابع پتانسیل $U(\theta_1, \theta_2)$
خودمو مسائل مرتبط با انرژی و انتقال آن را بررسی کنم
مطالبی که دادم مرتبط به تحلیل حرکت یک توپ تتربال به عنوان یک سیستم چرخشی با استفاده از مکانیک لاگرانژیه. دیدگاه لاگرانژ به ما این امکان رو میده که به جای استفاده از معادلات نیوتن برای حل مسائل مکانیکی، از معادلات لاگرانژ استفاده کنیم که بهترین گزینه برای مسائل با درجه‌های آزادی پیچیده‌تره.
تو مدل لاگرانژ، انرژی جنبشی (کینتیک) و انرژی ذخیره‌شده (پتانسیل) با یک تابع کلی (لاگرانژ) در نظر گرفته می‌شوند. تو معادله لاگرانژ، T نشون‌دهنده انرژی جنبشی (کینتیک)، U نشون‌دهنده انرژی ذخیره‌شده (پتانسیل) و L (لاگرانژ) تفاضل این دو است.
بعد با استفاده از معادلات اویلر لاگرانژ، که از مشتقات جزئی و تغییرات زمانی برای حل مسائل مکانیکی استفاده می‌کنه، معادلات حاکم بر حرکت سیستم به دست میادش این معادلات حاکم شامل تغییرات زمانی در سرعت‌های زاویه‌ای و تغییرات در زاویه‌ها هستن.
بعد با توجه به تابع پتانسیل $U(\theta_1, \theta_2)$ خودتون، می‌تونید جزئیات حرکت، نیروها، و انتقال انرژی در سیستم خودتون رو بررسی کنید.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3282

سپاس: 5494

جنسیت:

تماس:

تتربال

پست توسط rohamavation »

حالا که دارم درباره مدل‌سازی مکانیک لاگرانژی میگم معمولاً از اصول بقای انرژی استفاده میکنم. اگر انرژی به صورت بی‌پایان زیاد بشه ممکنه به دلیل یکی از این موارد باشه
مشکل در معادلات حرکت: ممکنه معادلات حرکت نادرست تعریف شده باشن یا اشتباهی در اونها اتفاق افتاده باشه. این اشتباهات میتونن باعث نتایج نادرست در مدل بشن.
شروط اولیه نادرست: شروط اولیه مثل موقعیت اولیه و سرعت اولیه باید دقیقاً تعیین بشن. اگه این شروط با اشتباه مشخص بشن نتایج ممکنه به طور نادرست تحت تأثیر قرار بگیرن.
نقض اصول فیزیکی: ممکنه مدل به یک حالت ناپایدار تنظیم شده باشه که اصول حفظ انرژی رو نقض می‌کنه. این احتمال وجود داره اگه شروط اولیه یا پارامترهای مدل به نحوی تنظیم بشن که باعث افزایش بی‌پایان انرژی بشه.با بررسی دقیق‌تر معادلات حرکت، شروط اولیه و پارامترهای مدل و همچنین استفاده از اصول حفظ انرژی می‌تونم ببینم مشکل از کجاست.
تصویر

ارسال پست