چگالی نیروی ناشی از ویسکوزیته در یک سیال تراکم ناپذیر$-\mu \nabla^2 \mathbf{u}$ است.
کجا $\mathbf{u}$ سرعت و $\mu$ است ویسکوزیته دینامیکیه
من فرض میکنم یک قطعه کوچک خاص از سیال دارای حجم dV هستش
. سپس $f_x = -\mu dV \left( \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2}\right)$
خوب من می تونم سیالی داشته باشم که اثر تانسور تنش برای آن ناپدید بشه اما نه سیالی که اجزای مورب آن همه صفر باشن این شکل از تانسور تنش نیز در نظریه جنبشی بوجود میاد جایی کهء نیرویی $f_x = -\mu dV \left( \frac{\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u_x}{\partial z^2}\right)$
برای درک اصطلاح$\partial^2 u_x/\partial y^2$، تصور میکنم که کل سیال در x حرکت میکنه
فقط جهت و آن $u_x$ تابعی از y است فقط. سپس $\partial u_x/\partial y$ شار حرکت در y را توصیف میکنه جهت و مشتق آن تکانه خالصه که در یک نقطه ایجاد میشه و بنابراین این یک نیروی خالصه..x- ببینیدتکانه از بالای این تصویر به پایین جریان داره.
همین مورد برای$\partial^2 u_x/\partial z^2$ نیز درسته خوب فقط محورها را دوباره برچسب میزنم.چگونه باید $\partial^2 u_x/\partial x^2$ را بفهمم
من نمی توانم جریان صرفاً در x داشته باشم جهت که در آن $u_x$ فقط به x بستگی داره
(و با x متفاوت است) که تراکم ناپذیری را نقض میکنه. آیا تصویر ساده ای وجود دارد که نشون بده این جیه بر اساس درک ویسکوزیته که از تصویر بالا دریافت میکنم نشون میده که این درسته و باید وجود داشته باشه؟
نکته اساسی اینه جریان بسیار خاص را نشون میده یک جریان آرام بریده شده، اما ویسکوزیته همچنین در موقعیت های پیچیده تر عمل میکنه. ویسکوزیته از انتشار تکانه ناشی میشه که برای یکسان کردن سرعت سیال در عناصر سیال مجاور صرف نظر از هندسه جریان، عمل میکنه صرفاً بر اساس تقارن چرخشی و عدم تغییر گالیله، تانسور تنش باید شکلی داشته باشه.
$\tau_{ij} = -\mu (\nabla_iu_j+\nabla_j u_i) -\nu \delta_{ij} \nabla\cdot u$
سپس دارم$\tau_{ij} = -\mu \left(\nabla_iu_j+\nabla_j u_i-\frac{2}{3}\delta_{ij} \nabla\cdot u\right) -\zeta\delta_{ij} \nabla\cdot u.$
می بینی که می تونیم سیالی داشته باشیم که اثر تانسور تنش برای آن ناپدید بشه اما نه سیالی که اجزای موربش همه صفر باشند
$\tau_{ij} \sim \int d^3p \, p_i p_j \, \delta f(x,p)$
جایی که $\delta f$ انحراف جزئی تابع توزیع از تعادل حرارته. برای یک جریان ناهمگن $\delta f\sim f_0(p_a p_b\nabla_a u_b)$
، که از عبارت جریان در معادله بولتزمن که بر روی تابع توزیع$f_0$ عمل میکنه میاد . تانسور تنش میتونه بدون ردیابی باشه اما اجزای مورب ناپدید نمیشن
همه اینها برای سیالات تراکم پذیر و غیر قابل تراکم درسته اما معلومه که برای جریانی به شکل$u_x=u_x(x,t)$
، گرادیان $\nabla_xu_x$ فقط میتونه غیر صفر باشه زیرا سیال تراکم پذیره
: یک مشکل کلی در مورد ویسکوزیته اینه که من بیشتر دنبال استدالهای اشتباهی برای نحوه عملکرد ویسکوزیته هستم . من تمایل دارم فرض کنم که ویسکوزیته اصطکاک بین لایه‌های سیاله که به نوعی ناشی از «چسبندگی» مولکول‌های سیاله اما نحوه عملکرد سیالات نیوتنی اینطوری نیستش هیچ چسبندگی بین مولکول های مایع یا گاز وجود نداره مثال خوبی با برخورد توپ های بیلیارد وجود داره. در سیستم برخورد توپ های بیلیارد، ویسکوزیته به دلیل انتشار تکانه هستش. این ممکنه بین لایه‌هایی که با سرعت‌های متفاوتی حرکت میکنن اتفاق بیفته اما در موقعیت‌های پیچیده‌تری نیز اتفاق میافته که شبیه لایه‌های لغزنده نیستن مثالا سیالاتی که تحت انبساط ناهمسانگرد هستن
اگر جریان یک بعدی با$\partial_{x} u_x=0$ داشتید
من همچنین $\partial_{xx} u_x=0$ دارم و آن اصطلاح اشتباه از بین میره. در یک مایع تراکم ناپذیر$\partial_x u_x+\partial_y u_y+\partial_z u_z=0$
بنابراین عبارت چسبناک را می تواننوشت $-\partial_{xy}u_y-\partial_{xz}u_z+\partial_{yy}u_x+\partial_{zz}u_z
=-\partial_{y}(\partial_xu_y-\partial_y{u_x})
-\partial_z(\partial_zu_x-\partial_xu_z)=-\partial_y\omega_z-\partial_z\omega_y$و نیروی موجود در x-جهت به دلیل شیب جانبی گردابه است. من معتقدم که این ممکن است نوعی توهم درک اشتباه ایجاد کنه
