در اولی چیزی من دارم یک زوجه. و تقریباً در همه جا گفته میشه که فقط میتونند حرکت چرخشی ایجاد کنند و حرکت انتقالی ندارن زیرا نیروهای مخالف خنثی میشن. اما آیا اگر نیروهای مخالف بر روی یک ذره عمل کنند آن ها را خنثی نمیکنم؟ چه دلیلی وجود داره که وقتی روشم به جسمه بزرگتری تعمیم میدم میتونم نیروهایی مانند این را خنثی کنم؟ بنابراین هنگام انجام F+(-F)=0
خوب ایا اون جسم بزرگتر را به عنوان یک ذره نقطه ای در نظر نمی گیریم؟ فقط می خواستم بداونم چرا میتونیم با جسم بزرگتر به عنوان یک ذره نقطه ای از نظر افزودن نیروها رفتار کرد؟
2) نمودار دوم نیز همینه. معمولاً وقتی میگیم جسم منبسط شده در حالت تعادله ابتدا نیروهای رو به پایین را در -y اضافه میکنم.
محور P2+P3 درست مثل اینکه جسم بزرگتر یک ذره نقطه ایه یعنی هر دو نیروی P2 و P3 در یک جرم نقطه ای عمل میکنن. حال برای تعادل به P1=P2+P3 نیاز دارم. من مشکلی تا اینجاشو ندارم فقط اگر یک ذره نقطه ای به جای جسم گسترده باشه. اما به سختی می توانم هضمش کنم که چرا میتونیم با اضافه کردن نیرو با جسم کشیده مانند یک جرم نقطه ای رفتار کنیم.
بنابراین مشکل اصلیم اینه که دلیلی بیابم که چرا میتونم با اجسام گسترش یافته به گونه ای رفتار کنم که گویی ذرات نقطه ای هستند در حالی که نیروها را اضافه می کنیم و همچنین چه دلیلی وجود داره که کل جسم به دلیل نیرویی که در واقع فقط در آن اعمال میشه اثر خطی یکسانی را تجربه میکنه یک نقطه خاص از جسم اجسام گسترده یا به طور کلی من فکر میکنم هر پیکربندی جرمی از قانون دوم نیوتن پیروی می کنند. لازم نیستش فرض کنم که میتونم با سیستم درست مانند یک جرم نقطه رفتار کنم میتونم به طور رسمی با آن به عنوان مجموعه‌ای از جرم‌های نقطه برخورد کنم و نشان بدم که از همون قانون پیروی میکنن
فرض کردم سیستمی دارم که مجموعه ای از جرم های$m_i$ است $m_i$ یک نیروی داخلی بر $m_j$ اعمال میکنن که با $\vec F^\text{int}_{ij}$ نشون میدم int مخفف داخلیه میدونید که. نمونه دیگه از نیروهای داخلی هم نیروهای کشسانیند که یک جسم صلب را صلب نگه میداره. علاوه بر نیروهای داخلی بر روی هر جرم $m_i$ یک نیروی خارجی $\vec F^\text{ext}_{i}$ است
قانون دوم نیوتن برای جرم $m_i$ اعمال شد میگه $\vec F^\text{ext}_{i}+\sum_{j\ne i}\vec F^\text{int}_{ji}=\frac{d\vec p_i}{dt}.$
اضافه کردن اینها برای همه i
$\vec F^\text{ext}+\sum_{i}\sum_{j\ne i}\vec F^\text{int}_{ji}=\frac{d\vec P}{dt}$جایی که$\vec F^\text{ext}=\sum\limits_i\vec F_i^\text{ext}$
مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم و$\vec P=\sum\limits_i\vec p_i$ است
حرکت کل سیستمه. خوب جمع نیروهای داخلی
$\sum_{i}\sum_{j\ne i}\vec F^\text{int}_{ji}=\sum_{i}\left(\sum_{j< i}\vec F^\text{int}_{ji}+\sum_{j> i}\vec F^\text{int}_{ji}\right)$
$=\sum_{i}\sum_{j< i}\vec F^\text{int}_{ji}+\sum_{i}\sum_{j> i}\vec F^\text{int}_{ji}$
$=\sum_{i}\sum_{j< i}\vec F^\text{int}_{ji}+\sum_{j}\sum_{i< j}\vec F^\text{int}_{ji}$
$=\sum_{i}\sum_{j< i}\vec F^\text{int}_{ji}+\sum_{i}\sum_{j<i}\vec F^\text{int}_{ij}$
$=\sum_{i}\sum_{j< i}\left(\vec F^\text{int}_{ji}+\vec F^\text{int}_{ij}\right).$
این فقط واسه نشون دادن هر $m_i$ هستش
اعمال نیرو بر $m_j$ نیروی $m_j$ وجود داره بر روی $m_i$ اعمال میشن . طبق قانون سوم نیوتن میدونم اینها از نظر مقدارمساوی و در جهت مخالفند یعنی $\vec F^\text{int}_{ij} = -\vec F^\text{int}_{ji}$ پس حاصل جمع دو برابر صفره $\vec F^\text{ext}=\frac{d\vec P}{dt}.$
میتونم مجموع بردار نیروهای خارجی را برای محاسبه نیروی خارجی خالص$\overrightarrow F_{ext}$ انجام بدم
روی هر جسمی نه فقط یک جرم نقطه ای یا یک جسم صلب بلکه هر ذره ای که برهم کنش دارند یا نیستند.$\overrightarrow F = m\overrightarrow a$
خوب یک نیرو شتاب ایجاد میکنه در مورد جرم نقطه ای واضحه که این شتاب از خود جرم نقطه ایه اما در مورد یک جرم غیر نقطه ای چطور؟ شتابش جسم را چگونه تعریف کنم ممکنه در برخی موارد شتاب تمام نقاط جسم مساوی باشه اما در کل ممکنه درست نباشه. به عنوان مثال در اولین نمودارم جسم در حال چرخشه بنابراین نقاط مختلف بسته به فاصله آن از مرکز میله شتاب متفاوتی دارند.برای اجسام جرمی غیر نقطه ای$\overrightarrow F_{net} = M_{total}\overrightarrow a_{com}$
جایی که $a_{com}$ شتاب مرکز جرم جسمه. و بردار موقعیت مرکز جرم جسم B به صورت $\overrightarrow r_{com} = \frac{1}{M_{total}}\iiint_B \rho(\overrightarrow r)\overrightarrow r dV$ تعریف میشه . و $\rho(\overrightarrow r)$
چگالی جرم در موقعیت $\overrightarrow r$ هستش دو بار مشتق نسبت به زمان یک $\overrightarrow a_{com} = \frac{1}{M_{total}}\iiint_B \rho(\overrightarrow r)\frac{d^2\overrightarrow r}{dt^2} dV$ به من میده
میتونم$\frac{d^2\overrightarrow r}{dt^2}$ خوب به عنوان شتاب ناحیه جرم کوچک جسم در$\overrightarrow r$.
اکنون میتونم ثابت کنم که نیروی خارجی خالص وارد بر هر جسمی مجموع بردار تمام نیروهای خارجیه یعنی $\overrightarrow F_{net} = \Sigma \overrightarrow F_{ext}$
اثباتش
عنصر حجم کوچک $dV$ را در نظر میگیرم
از جسم. جرم آن $dm = \rho(\overrightarrow r)dV$ هستش . برای این عنصر $\overrightarrow F_{int} + \overrightarrow F_{ext} = dm\frac{d^2\overrightarrow r}{dt^2}$
جایی که $\overrightarrow F_{int}$
نیروی درونی خالص نیروی وارد بر این عنصر توسط بقیه جسم و$\overrightarrow F_{ext}$ نیروی خالص خارجی نیروهایی غیر از نیروی اعمال شده توسط بقیه جسم بر این عنصره.
با اجرای یک جمع برداری بر روی تمام جسم Bمحاسبه میشه
$\Sigma \overrightarrow F_{ext} +\Sigma_B \overrightarrow F_{int} = M_{total}.\frac{1}{M_{total}}\iiint_B \rho(\overrightarrow r)\frac{d^2\overrightarrow r}{dt^2} dV = M_{total}.\overrightarrow a_{com}$
که$\Sigma_B \overrightarrow F_{int} = 0$
بنابراین $\Sigma \overrightarrow F_{ext} = M_{total}.\overrightarrow a_{com} = \overrightarrow F_{net}$
لذا نیروی خالص وارد بر هر جسمی مجموع برداری تمام نیروهای خارجیه
در زوج نیروی خارجی خالص$=\Sigma \overrightarrow F_{ext} = 0$
یعنی که $a_{com} = 0$ این درسته زیرا مرکز جرم یک میله در مرکز شه و شتاب صفر داره اما نقاط دیگر جسم شتاب غیر صفر دارن.
