به بالای سیلندر پر از هوا چسبانده شده است. در داخل سیلندر یک مقاومت الکتریکی R دارم که میتونم از آن برای گرم کردن هوای داخل سیلندر استفاده کنم. از آنجایی که سیستم ایزوله نیستش میتونم تبادل حرارتی و مکانیکی بین سیستم و محیط داشته باشم(که به عنوان مرزهای ضخیم سیلندر در نظر گرفته میشه). به طور خاص برای گرما، ما تابش $P_r$ را داریم
و (برای سادگی) فقط همرفت اجباری. ما فقط جابجایی اجباری را در نظر میگیرم زیرا یک فن در داخل سیلندر داریم که سرعت زاویه ای آن تابع x˙ است.
و من می خواهم سیستم را در حالی که جرم در حال حرکت است مطالعه کنم. دمای هوای داخل سیلندر $P_c$ و دمای قاب سیلندر$T_f$. از نقطه نظر ترمودینامیکی میتونم معادله تعادل زیر را بنویسم (از کار صرف نظر میکنم زیرا با استفاده از لاگرانژ درج خواهد شد):
$C_v \frac{dT}{dt} = P_{in} - P_c - P_r$جایی که $C_v$ ظرفیت گرماییه و $P_{in} = R i^2$ توان ورودی با i است جریانی است که از مقاومت عبور می کنه فرض 1: با توجه به اینکه سرعت v هوای داخل سیلندر تابعی غیر خطی از سرعت جرم x˙ است (به دلیل وجود فن) میتونم ضریب انتقال حرارت $\alpha$ را توصیف کنم به عنوان یک بسط تیلور تابعی از دماهای $T_f$
و $T_c$، و سرعت جرم x˙ (با توجه به اینکه عدد ناسلت تابعی از اعداد پراندتل و رینولدز است که عدد دوم شامل سرعت سیال $v$ است.
) به لطف این فرض توان همرفتی همچنین تابعی از سرعت جرمه فرض 2: اگر محصول $C_v \frac{dT}{dt}$ را یکپارچه کنم من یک "انرژی پتانسیل حرارتی" ET بدست میارم
.اکنون میتونم لاگرانژ را با فرض مختصات تعمیم یافته موقعیت جرم x معرفی کنم . از جمله انرژی پتانسیل حرارتی که باید داشته باشم: $L = E_K - (E_P + E_T)$
جایی که $E_K$ انرژی جنبشی جرمه در حالی که EP انرژی پتانسیل آن به عنوان مجموع انرژی پتانسیل گرانشی و انرژی پتانسیل الاستیک فنر k است
. بنابراین میتونم معادله حرکت لاگرانژ زیر را بنویسم:$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right) = \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\partial E_D}{\partial \dot x}$
جایی که $E_D = E_r + E_c$
اصطلاح اتلاف حرارتی است که Er است انتگرال Pr و Ec انتگرال . دومی تابعی از x˙ است
مدل کامل نیست، اما من در موردروش (به ویژه دو فرض) مطمئن نیستم. هدف بدست آوردن مدلی از جابجایی جرم است که شامل دمای هوا می شود، متعاقباً مدل دیگری برای محاسبه دمای هوا می تواند توسط تعادل ترمودینامیکی به دست آید. .
