فرض کنید می توانید یک سوراخ در زمین ایجاد کنید و سپس داخل آن بیفتید. چقدر طول می کشد تا در آن سوی زمین سر دراورین
خوب حرکت رو به جلوی جسم رها شده نسبت به مرکز جرم زمین به این معنیه که تقریباً بلافاصله با دیواره رو به جلوی سوراخ برخورد میکنه جسم رها شده باید به صورت کشسانی از دیواره های جلویی و عقبی جهش کنه و با نزدیک شدن به مرکز زمین به سرعت به سمت جلو و عقب در نوسان باشه.
اگر چند چیز را فرض کنم: زمین کرویه و چگالی یکنواخت داره اصطکاک کشش نیروی کورولیس (این را می تونم با قرار دادن سوراخ از طریق قطب ها نادیده بگیرم) . من میدونم: $a = \frac{GM}{r^2}/$ اگرچه من آن را ثابت نمیکنم برای یک r معین فقط باید جرم کره را با شعاع r در نظر بگیرم من یک زمین کروی با چگالی یکنواخت فرض کرده ام. :$M = \frac{4}{3}\pi r^2 \rho/$ اگر آن را به معادله اول جایگزین کنم به دست می آید: $a = \frac{4}{3} \pi \rho Gr/$ از آنجایی که سایر عبارت ها ثابت هستند معلومه که شتاب با جابجایی از نسبت مستقیم داره. مرکز زمین به این معنی که من باید فوراً تشخیص بدم که جسمی که از سوراخ رها شده حرکت هارمونیک ساده ای داره که شتاب و سرعت آن با معادلات اینجا نوشتم دامنه یا منکزیمم جابجاییه که در این حالت برابر با شعاع زمین است و می‌توانیم ببینیم که فرکانس زاویه‌ای الان معادله سرعت:$v = \omega \sqrt{r_0^2-r^2}/$,$a = -\omega^2 r/$ به عنوان نکته پایانی می گویم که آشکارا کشش و اصطکاک را نمیتونم نادیده بگیرم و در واقع این را به یک میرایی تبدیل می کند نوسان ساز هارمونیک ساده عامل دیگری که نمی توان نادیده گرفت این واقعیت است که زمین چگالی یکنواخت نداره و تقریب بهتر این است که جرم را به طور یکنواخت در داخل گوشته پایینی و هسته در نظر بگیرم و در حین حرکت از گرانش متفاوت چشم پوشی کنم. گوشته و پوسته بالایی فرمول‌های شمن پیچیده‌تر از آن چیزی است که نیازه. فرمول نهایی برای سرعت$v = -\sqrt{(\frac{4}{3} \pi \rho Gr)(r_0^2 - r^2)}$ است.
مسافر به سمت مرکز زمین شتاب میگیره و هنگام عبور از مرکز هندسی با سرعت حدود 7900 متر بر ثانیه یا تقریباً 17700 مایل در ساعت به طور لحظه ای بی وزن میشه. مسافر پس از کمی بیش از 42 دقیقه در سمت مخالف زمین ظاهر میشه. امن تا زمننی که چیزی برای نگه داشتنش نگیرد برای یک سفر برگشت به عقب برمی گردند و رفت و برگشت 84.5 دقیقه به نوسان ادامه میدن که تونلی که یک جفت نقطه روی سطح زمین را به هم متصل می کنه می تواند به عنوان یک قطار گرانشی در نظر بگیرم - جایی که نیروی گرانش در طول تونل به یک جسم اجازه می دهد. از میان آن بیفتد و از آن طرف بیرون بیاید. هر نیروی عمود بر تونل (در صورتی که تونل از مرکز زمین عبور نکند) نادیده گرفته میشه.
معادله$a = -\frac{4}{3}\pi\rho G d$ است جایی کهd فاصله از مرکز تونل و ρ چگالی زمین است.
واضح است که هارمونیک ساده است و به همین دلیل دوره ثابت است و هیچ وابستگی به آن نداره که از دو نقطه برای ساخت تونل استفاده شده است.من تصور می‌کنم که برخی از نوع استدلال قانون گاوس باید در اینجا کار کند من نمیتونم اونو ببینم
این واقعیت که دوره قطار گرانشی که از مرکز زمین می گذرد برابره با دوره گردشی که از سطح زمین می گذره تصادفی نیست. یک مدار قطبی به دور زمین را در نظر بگیرین (یعنی مداری که مستقیمن از قطب شمال و جنوب می گذره). مدارهای دایره ای دارای سرعت ثابتی هستند بنابراین حرکت یک بعدی باید سینوسی باشه. قطار گرانشی فقط یک مدار دایره ای است که در آن حرکت خارج از محور زمین محدود شده
حال قطارهای گرانشی که از مرکز زمین عبور نمی کنند چطور؟ ببینین برای شتاب قطار به فاصله از مرکز زمین بستگی نداره. تا زمانی که مسیر نسبت به شعاع زمین متقارن باشه بدون توجه به عمق مسیر همان حرکت قطار را خواهید داشت. انتهای مسیر نیازی به اتصال به سطح نیست. همچنین می‌توانید با شروع با مسیری که از هر دو طرف به سطح متصل میشه و سپس اضافه کردن پوسته‌ای در اطراف کل سیاره برای افزایش شعاعش عمق مسیر قطار گرانشی اهمیتی نداره. در داخل یک پوسته کروی نیروی گرانش صفره
برای شروع نشان دادن این موضوع اجازه دهید یک واقعیت مشابه را در مورد مدارهای دایره ای ثابت کنم: دوره چرخشی که از سطح یک سیاره عبور می کند فقط به چگالی سیاره بستگی داره نه اندازه آن.
$F = m\frac{v^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$جایی که F نیروی گرانش است m جرم منهواره است M جرم سیاره است v سرعت مدار است R شعاع سیاره است و G ثابت گرانشی است.
$v^2 = \frac{GM}{R}$و$\left(\frac{2\pi{}R}{T}\right)^2 = \frac{GM}{R}$
جایی که T دوره مدار است.$T = \sqrt{\frac{4\pi{}^2R^3}{GM}}$
$T = \sqrt{\frac{4\pi{}^2R^3}{G\rho\frac{4}{3}\pi{}R^3}}$
$T = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$جایی که ρ چگالی سیاره است.برای شتاب قطار شروع کنید:$a = -\frac{4}{3}\pi\rho{}Gd$
من میتونم یک سیستم جرم-فشار معادل (*) با ثابت فنری k استخراج کنم داده شده توسط
$k = \frac{F}{d} = \frac{ma}{d} = \frac{4}{3}\rho{}Gm.$دوره این سیستمجرم و فنر و در نتیجه قطاره$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{4\pi^2m}{\frac{4}{3}\pi\rho{}G}} = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho{}G}}$توجه داشته باشین که این همنن دوره با ماهواره است. قطار گرانشی یک طرح ریزی یک بعدی از مدار دایره ای دوبعدیه که در آن طول مسیر قطار با قطر مدار یکسانه. زمان عبور از مسیر بدون توجه به طول یا عمق یکسانه زیرا دوره چرخش سطحی به دور یک سیاره با چگالی ثابت مستقل از اندازه سیاره هستش.با فرض اینکه زمین یک کره یکنواخت به جرم M و شعاع R باشد. اکنون تونلی می‌سازیم که هر دو نقطه را در سطح آن به هم متصل میکنه. فرض کنین ذره در یک لحظه در فاصله شعاعی r از مرکز زمین قرار داره O. از آنجایی که ذره محدود به حرکت در طول تونله خوب موقعیت آن را به عنوان فاصله x از C تعریف کنم. بنابراین معادله حرکت ذره است. است
$ma_{x}=F_{x}$نیروی گرانشی روی جرم m در فاصله r برابر است با$T = \sqrt{3\pi / G \rho}$
$F=\frac{GMmr}{R^3}$(به سمت O مرکز زمین)از این رو$F_{x}=-Fsin\theta$و$=\frac{-GMmr}{R^3}\frac{x}{r}$و$=\frac{-GMmx}{R^3}$از آنجا که $F_{x}\alpha-x$
حرکت آن در طبیعت هارمونیک ساده است. به علاوه$ma_{x}=\frac{GMmx}{R^3}$و$a_{x}=\frac{GMx}{R^3}$وبنابراین دوره زمننی نوسان$T=2\pi\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a_{x}}}$و$T=2\pi\frac{\sqrt{R^{3}}}{\sqrt{GM}}$بنابراین زمنن لازم برای رفتن یک ذره از یک سر به سر دیگر
$t=\frac{T}{2}=\pi\frac{\sqrt{R^{3}}}{\sqrt{GM}}= 2530.496126seconds=42.17mins$
یک جسم کروی بدون هوا را تصور کنید. به اندازه کافی کوچک است که فشار مرکزی اجازه می دهد تا یک تونل از قطب شمال به قطب جنوب ساخته بشه. در تونل قطب شمال می پرم و به سمت قطب جنوب می افتم. چقدر طول می کشد؟ آنچه من فکر می کنم پاسخ صحیح است دوره یک مدار دایره ای با شعاع سیاره، r است.بردار شتاب جسم در حال گردش را به اجزای متعامد بشکنید. بردار شتاب جسم در حال گردش همان مولفه شمالی/جنوبی را دارد که جسمی که در موهول بالا و پایین می‌پرد. بنابراین دوره شیء $2\pi \sqrt{r^3/\mu }$فرض کنید یک جسم از یک طرف زمین به داخل تونل رها شده و مستقیماً به طرف دیگر سقوط می کند. یک معادله دیفرانسیل برای محاسبه موقعیت جسم (نسبت به مرکز زمین) تنظیم کنید. فرض کنید هیچ نیروی محرکه یا اصطکاک وجود ندارد و تنها نیروی گرانش است.
از آنجایی که روی سطح نمیمونین گرانش ثابت نیستش فاصله بین شما و مرکز در حال تغییره. همچنین از آنجایی که شما در داخل سیاره هستین تنها تحت تأثیر گرانش قسمتی از سیارهقرار میگیرینپس اگر در نیمه راه به سمت مرکز باشین جرمی که شما را میکشه جرم سیاره ای به همان چگالی هستش . زمین اما نیمی از شعاع (بنابراین یک هشتم جرم.) من میدونم که در نهایت با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی و همگن روبرو شدم قانون گرانش نیوتن من در فاصله ای x نیروی گرانش
$F(x) = -\frac{GMm}{x^2}$این را برابر با شتاب تجربه شده توسط جسم با جرم m دارم$mg(x) = -\frac{GM(x)m}{x^2}$و$g(x) = -\frac{GM(x)}{x^2}$
من فرض کردم که زمین چگالی ثابته جرم آن محدود به شعاع x است$M(x) = \rho V(x) = \rho \frac{\frac{4\pi x^3}{3}}{\frac{4\pi R^3}{3}} = \rho \frac{x^3}{R^3}$
جایی که R شعاع زمینه $g(x) = -\frac{\rho G}{R^3}x$و$\ddot{x}(t) = -\frac{\rho G}{R^3}x(t) = -kx(t)$
این یک معادله حرکت تناوبی کلاسیکه$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$جایی که $\omega = \sqrt{\frac{\rho G}{R^3}}$. دو شرط $x(0) = R$ و $\dot{x}(0) = 0$ دارم $x(t) = R\cos\omega t$
