شتاب $m_r$$a_r = g(1-\frac{3}{2^n})$در جهت رو به پایین این به این دلیله که کشش رشته ای که روی $P_r$ قرار دارد طبق قانون سوم نیوتن $T_r = 2T_{r+1}$است. بنابراین شتاب$a_r =
g-\frac{T_1}{2^{n-1}m}$
در جهت رو به پایین اما شتاب جرم پایین مجموع شتاب های نسبی رو به پایین قرقره هاست خوب یعنی$-2^{n-1}a_1-2^{n-2}a_2 -
2^{n-3}a_3 - ... 2^0a_n$. این با گرفتن شتاب $p_2$ کم کردن شتاب $m_2$ اضافه کردن شتاب p_2$ $کم کردن شتاب$ m_3 $و غیره محاسبه میکنم. توجه داشته باشید هوپایی ها که فقط$ m_1 $به سمت بالا شتاب میگیره. نوشتن این مجموع به صورت n تمایل به بی نهایت، معادل g و گرفتن حد $1/T$مقدار$T=3/2mg$ را به دست میده.
آیا گسترش این روش برای حل هر حالت محدود ایده خوبیه؟ آیا باید از روش بهتری استفاده کنمبه نظرتون به عنوان مثال. تجزیه و تحلیل کار انجام شده برای یک جابجایی کوچک؟
برای حل چنین مسائلی من میدونم یک ابزار قدرتمند مکانیک تحلیلی، به ویژه مکانیک لاگرانژی است. در اینجا من فرض می کنم که همه جرم هاا $m_i$ جرم یکسان m دارند
. سیم هایی با طول یکسان L غیر قابل گسترش، بدون جرم هستند و تماس کامل با قرقره حاصل میشود. قرقره ها ایده آل و بدون جرم با شعاع R یکسان هستندمن با یک قرقره ایده آل $P_1$ شروع می کنم
، و با دو جرم m1 و m2. به عبارت دیگر من ماشین اتوود را در نظر می گیرم. متغیر$z_i$ موقعیت عمودی جرم $m_i$ را نشون میده
با توجه به مرکز قرقره ای که به آن متصل است و $\theta_1$
زاویه چرخش قرقره P1 را نشان میده. از آنجایی که $z_2 = \pi R - L - z_1$
، انرژی جنبشی است$T_1 = \frac{m}{2} {\dot{z}_1}^2 + \frac{m}{2} {\dot{z}_2}^2
= m {\dot{z}_1}^2 \, .$انرژی پتانسیل توسط$V_1 = m g {z}_1 + m g {z}_2 = m g \left(\pi R - L\right) ,$
جایی که g شتاب ناشی از گرانش است. لاگرانژی $\mathcal{L}_1 = T_1 - V_1$
به معادله حرکتی زیر منجر میشه:$2 m {\ddot{z}_1} = 0 \, .$بنابراین، شتاب عمودی $a_i$ ازجرم$m_i$
$a_1 = a_2 = 0$ را برآورده می کند.حالا بیایید جرم $m_2$ را جایگزین کنم توسط دستگاه اتووود کامل با قرقره $P_2$ و $m_2$ است
و $m_3$. از آنجایی که$z_3 = \pi R - L - z_2$، انرژی ها رامحاسبه میکنم
$\begin{aligned}
T_2 &= \frac{m}{2} {\dot{z}_1}^2 + \frac{m}{2} (-{\dot{z}_1} + {\dot{z}_2})^2 + \frac{m}{2} (-{\dot{z}_1} + {\dot{z}_3})^2 \\
&= \frac{m}{2}\left( {\dot{z}_1}^2 + ({\dot{z}_2} - {\dot{z}_1})^2 + ({\dot{z}_1} + {\dot{z}_2})^2 \right)
\end{aligned}$
و
$\begin{aligned}
V_2 &= m g {z}_1 + m g \left(\pi R - L - z_1 + z_2\right) + m g \left(\pi R - L - z_1 + z_3\right) \\
&= m g \left(3 (\pi R - L) - z_1 \right) .
\end{aligned}$
معادلات اویلر-لاگرانژ استنتاج شده از لاگرانژ $\mathcal{L}_2 = T_2 - V_2$
هستند
$\left\lbrace
\begin{aligned}
&3 m {\ddot{z}_1} = m g \, ,\\
&2 m {\ddot{z}_2} = 0 \, ,
\end{aligned}
\right.$
که از آن شتاب های$a_1 = {\ddot{z}_1} = g/3$ استخراج میشن
و$a_{2,3} = -{\ddot{z}_1} \pm {\ddot{z}_2} = -g/3$
.گام به گام انرژی های پیکربندی را با n محاسبه میکنم
قرقره ها انرژی جنبشی است
$T_n = \frac{m}{2}\left( \left(\sum_{i=1}^{n} \dot{z}_i \right)^2 + \sum_{k=1}^n \left(\dot{z}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \dot{z}_i\right)^2 \right) ,$
و انرژی پتانسیل است
$\begin{aligned}
V_n &= m g \left( n (\pi R - L) - \sum_{i=1}^{n} z_i + \sum_{k=1}^{n} \left( (k-1) (\pi R - L) + z_k - \sum_{i=1}^{k-1} z_i\right) \right) \\
&= m g \left( \frac{n (n+1)}{2} (\pi R - L) - \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k-1} z_i \right) .
\end{aligned}$
باقی مانده است که معادلات اویلر-لاگرانژ را استخراج کنم. سپس شتاب های عمودی توسط داده میشه
$a_{1\leq k\leq n} = \ddot{z}_{k} -\sum_{i=1}^{k-1} \ddot{z}_i
\qquad\text{and}\qquad
a_{n+1} = -\sum_{i=1}^{n} \ddot{z}_i \, .$
به طور خاص$(n+1) m \ddot{z}_1 = (n-1) m g$ محاسبه میشه یعنی
$a_1 = \frac{n-1}{n+1}g \;\underset{(n\to {+\infty})}{\longrightarrow}\; g \, .$
