صفحه 1 از 1

چرا یک جسم همیشه حول مرکز جرم خود می چرخد؟جدید

ارسال شده: جمعه ۱۴۰۲/۸/۲۶ - ۲۳:۵۵
توسط rohamavation
فرض کنید من جسمی دارم که آزادهستش همیشه حول مرکز جرمش (COM) میچرخه. چرا اینطوره
اگر یک جسم صلب را در مرکز جرمش فشار بدم آن جسم همیشه طوری حرکت میکنه که انگار یک جرم نقطه ایه . بدون توجه به شکل واقعی آن حول هیچ محوری نمیچرخه. اگر جسم در نقطه ای دیگر تحت یک نیروی نامتعادل قرار بگیره آنگاه شروع به چرخش حول مرکز جرمش میکنه
این نمونه ای از اصل به نام تکانه زاویه ایه تکانه زاویه ای برداریه که در جهت خاصی اشاره میکنه. خوب . این نتیجه یک جمع برداریه. هنگامی که دو بردار با هم ترکیب میشن نتیجه یک بردار با نیروی قوی تره.
دو قضیه در مکانیک کلاسیک شامل حرکت جسم صلب (انتقال و چرخش) وجود داره. مجموع نیروهای خارجی وارد بر جسم صلب (صرف نظر از اینکه این نیروها دقیقاً کجا اعمال بشن و مماسی باشند یا نه) برابر است با جرم جسم صلب ضربدر شتاب (انتقالی) مرکز جرمش. فرمولش$\sum \vec{F_{ext}}=m\vec{a_{CM}}
/$ مجموع گشتاورهای خارجی (در اطراف هر نقطه مرجع) که بر روی یک جسم صلب اثر میکنه برابره با ممان اینرسی (در اطراف همان نقطه مرجع) جسم صلب ضربدر شتاب زاویه ای آن در اینجا گشتاورها به این بستگی دارد که نیروها دقیقاً کجا اعمال بشن و آیا آنها مماس هستند). از نظر فرمول ریاضی $\sum \vec{T_{ext}}=I\vec{\alpha}
/$ این دو قضیه این نتیجه را میدهد که وقتی یک نیروی خارجی در جسم صلب اعمال بشه در حالت کلی هر دو اثر انتقالی (حرکت شتاب یافته CM جسم خواهند داشت. و یک اثر چرخشی (شتاب زاویه ای) زیرا در حالت کلی نیروی اعمال شده دارای گشتاوریه که صفر نیست نه در اطراف همه نقاط مرجع ممکن. قضیه اول همچنین به این نکته اشاره میکنه که چرخش یک جسم همیشه حول CM آن خواهد بود وقتی که هیچ نیروی خارجی اعمال نشه زیرا در این حالت$0=\sum F=ma_{CM}\Rightarrow a_{CM}=0
/$خواهد بود. اگر چرخش حول نقطه دیگری بود CM نیز حول آن نقطه میچرخید که به این معنی است که $a_{CM}\neq 0
/$، در تضاد با $a_{CM}=0
/$
پاسخ قانع‌کننده‌ای که من دارم اینه که در اکثر موارد ممان اینرسی در مورد مرکز جرم کمتر است و به همین دلیل است که جسم حول مرکز جرم میچرخه
smile055 من فکر میکردم که حرکت در مورد COM پایدارترین حرکته و چرخش در مورد نقاط دیگر منحط میشه به نظر من درست نیست.
. پاسخ به این سوال اینه که یک جسم آزاد هرگز حول مرکز جرم خود نمیچرخه (محور چرخش آنی هرگز از مرکز جرم نمیگذره). در واقع مم نقطه ای را انتخاب میکنم که میخوام حرکت را در مورد آن به چرخش و تبدیل تجزیه کنم و به خوبی می تونستم هر نقطه ای غیر از مرکز جرم را انتخاب کنم و چرخش را در مورد آن تحلیل کنم. علاوه بر این محور چرخش آنی برای یک جسم آزاد هرگز از مرکز جرم عبور نمیکنه
احتمالاً میدونید که در غیاب نیروهای خارجی مرکز جرم هر مجموعه ای از ذرات با سرعت ثابتی حرکت میکنه. این درسته چه آنها در یک جسم واحد به هم چسبیده باشند و چه فقط دسته ای از اجسام جداگانه با یا بدون تعامل بین آنها باشند. اکنون به یک فریم مرجع نگاه میکنم که با آن سرعت حرکت میکنه. در آن قاب CofM ثابته
حال فرض کنک که ذرات واقعاً به هم چسبیده اند تا یک ریجد بادی را تشکیل بدن خوب من. میبینیم که جسم در حال حرکته به طوری که: 1) CofM ثابت میمونه 2) تمام فواصل بین ذرات ثابته (این شرط دوم به معنای صلبه حرکتی با این دو ویژگی (1) و (2) دقیقاً همون چیزیهکه از عبارت "چرخش در مورد CofM" استفاده میشه
دو سنگ را تصور میکنم که با یک میله بدون جرم به هم وصل شدن و میزارم یک سنگ به دور سنگ دوم بچرخه و ثابت شه.
در این صورت باید نیرویی وجود داشته باشه که سنگ اول را عمود بر سرعت آن شتاب بده و باعث شه که حول سنگ دوم بچرخه بنابراین هیچ نیروی متقابلی برای برابر کردن وجود نداره و این قوانین نیوتن را نقض میکنه وای حالا چی شد
اگر بخوام این بدنه سنگ-میله-سنگ را با رعایت قوانین نیوتن بچرخونم باید نقطه دلخواه را اضافه کنم و به دور آن بچرخه. در این حالت هر دو سنگ به دور این نقطه میچرخند نیروی شعاعی به هر دوی آنها وارد میشه و جهت مخالف دارند. نیروها باید کاملاً خنثی شوند و فقط در صورتی خنثی میشن که نقطه دلخواه دقیقاً در مرکز جرم قرار بگیره
دلیل اینکه جسم تحت چرخش آزاد حول مرکز جرم خود میچرخه اینه که ممان تانسور اینرسی در مرکز جرم حداقل است. وقتی حول هر نقطه ای میچرخم که مرکز جرم نیست باید قضیه محور موازی را اعمال کنن
$I' = I_\mathrm{CM} + m\vec{r}_\mathrm{CM}^2$
حداقل این معادله زمانی که شعاع مرکز جرم تا محور چرخش صفر باشه. بنابراین مرکز جرم نقطه چرخشیه که کمترین مقاومت را در برابر چرخش ایجاد میکنه.
در واقع،هنگامی که نیروهای خارجی بر روی جسم متوقف میشن مرکز آنی چرخش فوراً به مرکز جرم جسم تغییر نمیکنه. خوب الان تصور میکنم یک کاسه داریم و یک توپ را در آن میندازم تا نقطه تماس اولیه آن به لبه آن نزدیک شه. توپ به سمت پایین کاسه متمایل میشود زیرا این مکان با کمترین پتانسیل گرانشیه. با این حال قبل از رسیدن به اونجا قبل از اینکه ساکن بشه کمی نوسان میکنه. کف کاسه یک نقطه ثابته.
این مشابه چرخش ممه. نقطه ای که جسم به دور آن میچرخه در ابتدا از مرکز جرم منحرف میشه. با این حال با گذشت زمان به سمت مرکز جرم میل میکنه زیرا سعی میکند مسیر کمترین مقاومت را پیدا کنه. چرخش حول مرکز جرم این کمترین مقاومت را ایجاد میکنه.
یک جسم میتونه حول هر محوری بچرخه. با این حال در موردی که محور از مرکز ثقل عبور نمیکنه من معمولاً این حرکت را به حرکت مرکز ثقل جسم همراه با حرکت حول مرکز ثقل تجزیه میکنم. شما هم همیشه میتونید ت این کار را انجام بدین. فقط بپرسید "مرکز گرانش چگونه حرکت کرد؟" و آن حرکت را از حرکت هر قطعه کم کنید. طبق تعریف حرکت باقیمانده یک چرخش حول مرکز ثقل ثابته
میدونم که چگونه با تکانه و تکانه زاویه ای به طور جداگانه برخورد کنم. تجزیه های مختلف ممکنه. اما تقریباً مطمئناً آنها پیچیده تر هستند. برای مثال فرض میکنم که تکانه زاویه ای همیشه منجر به یک «نیروی خطی» اضافی میشه که جهت دار بوده و به رابطه بین توزیع جرم و محور بستگی داره. خوب همه ما وقتی مسائل نیوتنی گشتاور را حل میکنیم معمولاً باید با احتیاط نقطه ای را برای حل گشتاورهای اطراف انتخاب میکنیم. راه حل یکی هست اما اگر نقطه مناسب را انتخاب کنید روشتون خیلی اسونتر میشه