چرخاندن یک سیلندر پر از سیال و محاسبه معادله سطح آزاد آن یک مسئله اساسی در مکانیک سیالات است.
با این حال می خواستم بدانم که اگر همان استوانه را با محوری موازی با محور اصلی بچرخانیم و از نقطه ای در محیط آن عبور کنم معادله سطح آزاد در این حالت چگونه خواهد بود و به چه صورت خواهد بود؟
هنوز سهمی معادله دیفرانسیل برای محاسبه سطح مایع هیچ اطلاعاتی از ظرف به جز چرخش حول یک محور خاص در نظر نمیگیره تصویری که همه ما از این سوال داریم استوانه ای که به دور مرکزش می چرخه فقط تخیلی است. در واقع، نتیجه سهمی را می توان برای هر محوری اعمال کردچرخش. اگر مایعی در یک ظرف استوانه ای قرار داشته باشه و حول محور عمودی منطبق با محور استوانه در حال چرخش باشه سطح آزاد یک سطح سهموی چرخشی به خودش میگیره که به آن پارابولوئید میگیم.یک مایع در یک میدان گرانشی اگه از بالا محدود نشه یک سطح آزاد تشکیل میده.در حالت تعادل مکانیکی این سطح آزاد باید عمود بر نیروهای وارد بر مایع باشه. در غیر این صورت نیرویی در امتداد سطح وجود خواهد داشت و مایع در آن جهت جریان مییاببه پسبنابراین در سطح زمین تمام سطوح آزاد مایعات افقی هستند، مگر اینکه مختل شوند (به جز در نزدیک مواد جامد که در آنها فرو می روند جایی که کشش سطحی سطح را در ناحیه ای به نام مینیسک منحرف میکنهاگر مایعی در یک ظرف استوانه ای قرار داشته باشد و حول محور عمودی منطبق با محور استوانه در حال چرخش باشد، سطح آزاد یک سطح سهموی چرخشی به خود می گیرد که به آن پارابولوئید میگیم. سطح آزاد در هر نقطه با نیروی وارد بر آن زاویه قائمه داره که حاصل نیروی گرانش و نیروی گریز از مرکز از حرکت هر نقطه در یک دایره است یک ظرف استوانه ای پر از مایع را در نظر بگیرید که در جهت z در مختصات استوانه ای می چرخه معادلات حرکتش${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=\rho r\omega ^{2},\quad {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=-\rho g,}$
جایی که P فشاره $\rho$ چگالی سیاله
r شعاع سیلندره امگا فرکانس زاویه ای است وg شتاب گرانشیه گرفتن سطحی با فشار ثابت${\displaystyle (dP=0)}$ دیفرانسیل کل میشه ${\displaystyle dP=\rho r\omega ^{2}dr-\rho gdz\to {\frac {dz_{\text{isobar}}}{dr}}={\frac {r\omega ^{2}}{g}}.}$با یکپارچه سازی معادله سطح آزاد تبدیل میشه ${\displaystyle z_{s}={\frac {\omega ^{2}}{2g}}r^{2}+h_{c},}$
جایی که$h_{c}$ فاصله سطح آزاد از کف ظرف در امتداد محور چرخش است. اگر حجم پارابولوئید تشکیل شده توسط سطح آزاد را یکپارچه کنیم و سپس ارتفاع اصلی را حل کنم میتونم ارتفاع سیال را در امتداد خط مرکزی ظرف استوانه ای پیدا کنم${\displaystyle h_{c}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}.}$ معادله سطح آزاد در هر فاصله r از مرکز میشه${\displaystyle z_{s}=h_{0}-{\frac {\omega ^{2}}{4g}}(R^{2}-2r^{2}).}$اگر مایع آزاد حول محوری در حال چرخش باشه سطح آزاد به شکل کروی مایل به خود میگیره شکل تقریبی زمین به دلیل برآمدگی استوایی آن
در هیدرودینامیک هم سطح آزاد به صورت ریاضی یعنی مشتق ماده بر روی فشار صفره${\displaystyle {\frac {Dp}{Dt}}=0.}$
