قیود در مکانیکConstraints in mechanics

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

قیود در مکانیکConstraints in mechanics

پست توسط rohamavation »

تو مکانیک که میخونیم محدودیت در یک سیستم پارامتری است که سیستم باید از آن تبعیت کنه. میتونم بگم مثل یک جعبه ای که از یک شیب به پایین می لغزه باید روی شیب باقی بمونه. دو نوع محدودیت مختلف وجود داره: هولونومیک و غیرهولونومیک
حرکت مقید حرکتی است که به هیچ وجه نممیتونه خودسرانه ادمه پیدا کنه حرکت ذرات را می توان محدود کرد تا (1) همراه با برخی از مسیرهای مشخص شده (2) روی سطح (صفحه یا منحنی) به طور دلخواه در فضا جهت گیری بشه.
اعمال محدودیت بر روی یک سیستم مکانیکی برای ساده کردن توصیف ریاضی سیستم انجام میشه
محدودیت هایی که به صورت معادله بیان میشن$f(x_1,y_1,z_1,……,x_n,y_n,z_n :t)=0$
محدودیت های هولونومیک نامیده میشن محدودیت هایی که به این روش بیان نمیشن محدودیت های غیرهولونومیک نامیده میشن.
محدودیت های اسکلرونومیک مستقل از زمان هستند.قیودی که صراحتاً حاوی زمان هستند rehonomic نامیده میشن.
بنابراین یک محدودیت است Scleronomic که در آن روابط محدودیت ها به زمان بستگی نداره یا rheonomic که در آن روابط محدودیت ها به صراحت به زمان بستگی داره
یا هولونومیک که در آن روابط محدودیت‌ها را می‌توان مستقل از سرعت ساخت یا غیرهولونومیک که این روابط تابع‌های کاهش‌ناپذیر سرعت هستند.
انواع محدودیت های برخی از سیستم های فیزیکی در جدول زیر آورده شده است
محدودیت ها تصویر
بیشتر در مورد محدودیت ها
گاهی اوقات حرکت یک ذره یا سیستمی از ذرات توسط یک یا چند شرط محدود می شود. محدودیت های حرکت سیستم را محدودیت می گویند. تعداد مختصات مورد نیاز برای مشخص کردن سیستم دینامیکی با وجود محدودیت‌ها در سیستم کمتر می‌شود. از این رو درجه آزادی یک سیستم دینامیکی به عنوان حداقل تعداد مختصات مستقل مورد نیاز برای ساده سازی کامل سیستم همراه با محدودیت ها تعریف می شود. بنابراین اگر k تعداد قیود و N تعداد ذرات سیستم دارای حرکت سه بعدی باشه تعداد درجات آزادی را با
$n=3N-k (1)$بنابراین سیستم فوق دارای n درجه آزادی است.
محدودیت ها ممکن است به طرق مختلفی طبقه بندی شوند. اگر شرط محدودیت ها را بتوان به صورت معادلاتی بیان کرد که مختصات ذرات و احتمالاً زمان را به هم متصل میکنه.
$f(r1,r2,……t)=0 (2)$سپس محدودیت ها هولونومیک هستند و ساده ترین مثال از قیود هولونومیک یک جسم صلب است. در صورت حرکت صلب بدن فاصله بین هر دو ذره از بدن ثابت می ماند و با کراوات تغییر نمیکنه. اگر ri و rj بردارهای موقعیت ذرات i'th و j'th باشند فاصله بین آنها با
$|ri-rj|=cij (3)$قیودی که در شکل معادله 2 قابل بیان نیستند غیرهولونومیک نامیده میشن به عنوان مثال حرکت ذره ای که روی سطح کره ای به شعاع a قرار می گیرد به صورت زیر توصیف می شود.|r|≥a یا r-a≥0
یافتن محدودیت شتاب چند قرقره
سیستم قرقره
سلام من سعی می کنم بفهمم قرقره ها چگونه کار می کنند. این سوال از من خواست که محدودیت شتاب را محاسبه کنم که شتاب ها را برای هر یک از جرم های m1,m2,m3 مرتبط میکنه.. دو طناب طناب A و b .
دوبار مشتقگیری میکنم
$L_B = y_A + y_3$
$a_A = -a_3$
حال$L_A = 2y_A - y_1 - y_2$
$2a_A = a_1 + a_2$
جایگزین میکنم$2(-a_3) = a_1 + a_2$
این پاسخ صحیح است من به سادگی از روشی پیروی می کنم که استادم به ما گفته است اما این برای من چندان منطقی نیست. من فقط از طول های ارائه شده توسط نمودار استفاده کردم. من می فهمم که کشش طناب A دو برابر طناب B است اما این اصلا کمک زیادی نکرد.
محدودیت شتاب چگونه تحت تأثیر سیستم قرقره قرار می گیرد؟ اگر کسی بتواند من را در جهت درست راهنمایی کند یا منابعی در اختیار من بگذارد ممنون می شوم.
سیستم قرقره موقعیت توده ها را برای مرتبط شدن محدود میکنه زیرا جرم ها به طناب هایی متصل هستند که نمی توانند طول آنها را تغییر دهند. مثلا m1
و m2 توسط یک طناب به طول LA متصل میشن
بنابراین حرکت آنها به گونه ای محدود می شود که اگر یک جرم به سمت بالا حرکت کند دیگری باید به سمت پایین حرکت کند و بالعکس. به عنوان یک نتیجه مستقیم محدودیتی در شتاب آنها وجود داره که من در کار خود به دست آوردید.
کشش در طناب ها هیچ نقشی در اشتقاق محدودیت نداشت اما این محدودیت حرکت سیستم را نیز به طور کامل تعیین نمیکنه. به طور کلی برای تعیین مقادیر خاص برای شتاب ها به تعداد مجهولات به معادله محدودیت نیاز دارم. در این حالت من 3 شتاب ناشناخته دارم بنابراین به 3 محدودیت نیاز دارم شما تا به حال یک معادله محدودیت را استخراج کردم و 2 معادله دیگر از قانون 2 نیوتن که برای هر یک از 2 طناب اعمال می شود آمده است و اینجاست که کشش در طناب ها و همچنین مقادیر جرم ها وارد مسئله میشه
صفحه شیبدار - محدودیت - معادله حرکت
نقطه جرمی m
بدون اصطکاک در شیب شیبدار تحت تأثیر گرانش حرکت میکنه. با استفاده از معادله لاگرانژ نوع دوم معادلات حرکت را حل کرده و قید را تعیین کنید.
خوب ابتدا سعی کردم این وضعیت را ترسیم کنم:
تصویر
اما حدس می‌زنم معادله لاگرانژ نوع دوم معادلات اویلر-لاگرانژ باشه درست است؟
به هر حال ابتدا سعی کردم L=T−V را دریافت کنم
.$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{z}^2)$
و$ V=mgz$
درست؟
من آزادی را گرفتم و فاصله نقطه جرم تا مبدا را به صورت r تعریف کردم. آیا من مجاز به انجام آن هستم؟
به هر حال این به من می رسد:$x=r\cos{\alpha}$
و $z=r\sin{\alpha}$
و مشتقات زمانی: $\dot{x}=\dot{r}\cos{\alpha}-r\sin{\alpha}$
و $\dot{z}=\dot{r}\sin{\alpha}+r\cos{\alpha}$
.به این معنی که: $L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2)-mgr\sin{\alpha}$
درست؟
من هنوز نمی توانم به این راحتی با روش لاگرانژ کنار بیایم بنابراین احتمالاً اشتباهاتی انجام خواهم داد اما آنچه تا اینجا به دست آوردم این است:
رویکرد این است$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}})=\frac{\partial L}{\partial r}$
درست؟
منجر به:
$m\ddot{r}=mr-mg\sin{\alpha}$
.اکنون من واقعاً مطمئن نیستم که حل معادلات حرکت واقعاً به چه معناست. در حال نوشتن $m\ddot{r}=mr-mg\sin{\alpha}$ است
همانطور که در بالا به اندازه کافی انجام دادم؟ یا من باید این معادله دیفرانسیل را حل کنم؟
به هر حال در مورد محدودیت. تا آنجا که من می توانم از ورودی ویکی برای اویلر-لاگرانژ بگویم راهی برای یافتن محدودیت با آن وجود نداره. یا چیزی را از دست دادم و در واقع وجود داره؟
امیدوارم کسی بتواند به من بگوید که آیا کاری که تاکنون انجام داده ام درست است یا خیر. من واقعاً در مورد این تمرینات مطمئن نیستم.
همانطور که در نظرات اشاره شد بردار سرعت OPs اشتباه است. OP مختصات قطبی را برای پارامتری کردن مسئله انتخاب کرده است که در این شرایط رویکرد خوبی است. بردار موقعیت توسط
$\mathbf r (t) = \begin{pmatrix}x(t) \\z(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}r(t) \cos \alpha\\r(t)\sin\alpha\end{pmatrix},$
جایی که $\alpha$
زاویه ثابت صفحه شیبدار است. از آنجایی که$\alpha$
ثابت است بردار سرعت توسط
$\dot{\mathbf{r}}(t) = \begin{pmatrix}\dot r(t) \cos \alpha\\\dot r(t)\sin\alpha\end{pmatrix} .$
اکنون می بینیم که لاگرانژی توسط داده شده است
$\begin{align}
L &= \frac m 2 \dot{\mathbf{r}}^2 - mg\,\mathbf r\cdot\mathbf{e}_z\\
&= \frac m 2\dot{r}^2 - mg\,r\sin\alpha .
\end{align}$خط سیر سیستم تابع $r: t \mapsto r(t)$ است.
که عملکرد عملکردی را افراط میکنه
$S[r] = \int_{t_i}^{t_f} L(r(t), \dot r (t))\, \text d t .$
این مسیر راه حل معادله اویلر-لاگرانژ است
$\begin{align}
0 &=\frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot r} - \frac{\partial L}{\partial r}\\
&=m\ddot r + mg\,\sin\alpha
\end{align} .$
با تنظیم معادله حرکت (معادله دیفرانسیل) دقیقا معادله حرکتی را که با استفاده از قانون دوم نیوتن بدست می آوریم به دست می آوریم.
$m\ddot r = -mg\,\sin\alpha .$
این EoM به راحتی با ادغام با استفاده از شرایط اولیه داده شده $r_0, \dot r _0$ حل می شود
$r(t) = r_0 + \dot r _0 t- mg\,\sin\alpha\ t^2$
OP سوال تکلیف ارسال شده ضعیف فرموله شده است زیرا همانطور که OP بیان کرد معادلات اویلر-لاگرانژ برای یافتن محدودیت ها استفاده نمی شود. محدودیت باید با دست ایجاد شود. این کار با انتخاب پارامتری سازی مناسب مسئله از این رو مختصات مناسب انتخاب می شود.
https://imgurl.ir/uploads/t024845_Untitled.png
کار انجام شده توسط قیود بر روی اجسام صلب در حال چرخش
من سعی می کنم بفهمم که چرا نیروهای محدودیت روی اجسام کشیده و چرخان کار نمی کنند. به عنوان مثال مشکل افتادن یک میله صلب بر روی یک سطح بدون اصطکاک را در نظر بگیرید (K&K 7.17)
تصویر
هیچ نیروی افقی وجود نداره بنابراین قضیه کار-انرژی این را به من میگه و یاد گرفتم
$\Delta K=\int_{y_0}^{y_1}\mathbf{F}\cdot dR+\int_{\theta_0}^{\theta_1}\tau\cdot d\theta$
اکنون در اجسام غیر دوار واضح است که نیروی نرمال کار نمیکنه اما واضح است که در اینجا نیروی نرمال نیرویی را به سمت بالا وارد میکنه در حالی که مرکز جرم در همان جهت حرکت میکنه و کار منفی انجام میده. در همان زمان نقطه تماس در حال اعمال گشتاور بر روی میله است و انرژی جنبشی زاویه ای را افزایش میده. به نظر می‌رسد که این دو مشارکت یکدیگر را لغو می‌کنند اما من نمی‌دانم چگونه ثابت کنم یا حتی بپذیرم که این به عنوان یک قانون کلی درست است. چرا ما اجازه داریم چنین نیرویی را محافظه کار فرض کنم؟
من فکر می کنم اشتباه کردم .فرمولم برای ΔKکار را دو بار می شمارد
همانطور که CoG جسم با $\frac{\ell}{2}$ کاهش یافته است
کاهش انرژی پتانسیل به سادگی به صورت زیر است:
$W=\Delta K=\Delta U=mg\frac{\ell}{2}$همچنین می توانیم آن را با کار انجام شده توسط گشتاور محاسبه کنم:
$W=\int_{path}\tau \mathrm{d}\theta$
$W=\int_0^{\pi/2}mg\frac{\ell}{2}\sin\theta \mathrm{d}\theta$
$W=mg\frac{\ell}{2}\Big[-\cos\theta\Big]_0^{\pi/2}=mg\frac{\ell}{2}(0-(-1))$ینها روشهای معادل $W=\Delta K=\Delta Ua$ هستند
. اگر جسم هم سقوط آزاد و هم در حال چرخش بود باید این انرژی‌ها را اضافه می‌کردیم اما در اینجا جسم فقط در حال چرخش است نه انتقال.
نیروی عادی (در «نقطه استراحت» دست راست) به این ترتیب هیچ کاری انجام نمیده زیرا نقطه در جهت نیرو حرکت نمیکنه.
تصویر
نمونه کاربرد
یک رابطه محدودیت برای این Q از 3 قرقره و 2 بلوک متصل به ریسمان پیدا کنید
به عنوان مثال: با استفاده از قرقره یک (بالا سمت چپ به عنوان نقطه مرجع:تصویر
x1 فاصله جرم 1 از قرقره 1
x2 فاصله جرم 2 از قرقره 1
P2 فاصله قرقره 2 از قرقره 1
P3 فاصله قرقره 3 از قرقره 1
سپس معادلات به صورت زیر است:
برای طناب پیچیده شده به دور قرقره 1
$L_1 = x_1 + P_2$
برای طناب پیچیده شده به دور قرقره 2
$L_2 = (x_1 - P_2) + (P_3-P_2)$
برای طناب پیچیده شده به دور قرقره 3
$L_3 = (x_1 - P_3) + (X_2 - P_3)$
از این روابط من دمیفهمم
$\begin{cases}
P_2 = L_1 - x_1\\
P_3 = L_2 - x_1 +2 P_2 \\
L_3 = x_1 + x_2 - 2 P_3
\end{cases} \rightarrow
\begin{cases}
P_2 = L_1 - x_1\\
P_3 = L_2 - x_1 +2 (L_1 - x_1) \\
L_3 = x_1 + x_2 - 2 P_3
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
P_2 = L_1 - x_1\\
P_3 = L_2 +2 L_1 - 3 x_1 \\
L_3 = x_1 + x_2 - 2 (L_2 +2 L_1 - 3 x_1)
\end{cases}$معادله نهایی چیزی است که شما می خواهید:
$L_3 = x_1 + x_2 - 2 (L_2 +2 L_1 - 3 x_1)$
$L_3 = x_1 + x_2 - 2 L_2 -4 L_1 + 6 x_1$
$L_3 + 2 L_2 + 4 L_1 = 7x_1 + x_2$
با تمایز نسبت به زمان دو برابر می‌شوید
$0 = 7\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2$
$0 = 7a_1 + a_2$
علاوه بر این باید راهی برای به دست آوردن این انرژی ها وجود داشته باشه احتمالاً با به دست آوردن معادلات حرکت از طریق روش لانگرانژ.تصویر
خواص نیروهای محدودیت چیست؟نیروهای محدودیت نیروهایی هستند که مسئول محدود کردن سیستم به برخی شرایط هندسی یا سینماتیکی هستند. به عنوان مثال، نیروی ناشی از رشته ای که بر روی آونگ وارد می شود، نیروی تماسی که سیم روی یک مهره ایجاد می کند، نیروی طبیعی که زمین به یک بلوک وارد می کنه نیروی میله ای سبک که دو ذره را به صورت صلب وصل می کند. دمبل و غیره.
به طور کلی، مقابله با نیروهای محدودیت در قلمرو مکانیک نیوتنی دشواره زیرا آنها معمولاً مشخص نیستند و به طور ضمنی به شکل نیروهای تحت تأثیر یا مشخص شده بستگی دارند. به عنوان مثال، کشش اعمال شده بر روی آونگ به عنوان یک متغیر بسته به وزن نیروی مشخص شده، وارد قانون دوم نیوتن می شود. اگر دومی را نمی دانستیم اولی را نمی شناختیم. علاوه بر این، در برخی موارد نیروهای محدودیت بسیار زیادی وجود دارد که به معادلات زیادی نیاز دارد و حل معادلات حرکت را دشوارتر یا حتی غیرممکن می کند.
یکی از اهداف مکانیک تحلیلی خلاص شدن از شر این نیروهای قیودی است زیرا آنها هیچ نقش مهمی در دینامیک مسئله ندارند و فقط نیروهای مشخص شده را حفظ می کنند. این را می توان برای یک کلاس بزرگ از سیستم ها انجام داد، یعنی سیستم هایی که اصل کار مجازی را برآورده می کنند، یعنی نیروهای محدودیت به گونه ای هستند که کل کار آنها روی سیستم برای هر جابجایی بی نهایت کوچک با توجه به محدودیت ها ناپدید می شود. ایده این است که به جای نوشتن معادلات دینامیکی یا تعادلی حاوی نیروهای محدودیت، به طور موثر آنها را با معادلات سینماتیک جایگزین کنیم و از آنها برای حذف برخی از متغیرهای مجهول استفاده کنیم. به عنوان مثال به جای نوشتن دو معادله برای حرکت آونگ در یک صفحه ثابت و با در نظر گرفتن کشش در امتداد ریسمان و وزن می توان با فرض حرکت پاندول در امتداد یک دایره ثابت از نیروی محدودیت صرف نظر کرد.
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: قیود در مکانیکConstraints in mechanics

پست توسط rohamavation »

در مکانیک نیوتنی با معادلات مختلفی برای انواع حرکت جسم رو به رو می‌شویم. همان طور که بالاتر نیز بیان شد ساده‌ترین حالت این است که یک جسم نقطه‌ای را در نظر بگیریم که تحت تاثیر چندین نیرو حرکت می‌کند و با معادله برداری زیر بیان می‌شود:$\large \frac{d \overrightarrow{p}}{d t}=\overrightarrow{F}\ (1)$ و ایم یک اصل هست$\overrightarrow p=m\overrightarrow v$ این معادله حرکت را نمی‌توان از چند معادله دیگر استخراج کردتصویر
همچنین می‌توان این دیدگاه را داشت که یکی از سه کمیت جرم سکون، نیرو و شتاب براساس دو کمیت دیگر تعریف شده است. $\large \frac{d \overrightarrow{L}}{d t}=\overrightarrow{\tau} \ (2)$معادله بالا را می‌توان با تصور این که جسم از تعداد زیادی ذرات کوچک و تقریباً نقطه‌ای کنار هم قرار گرفته است که موقعیت نسبی آنها ثابت است (شرایط جسم صلب) به دست آورد. بیشترین چیزی که برای معادله بالا مورد نیاز است محدودیت سینماتیکی صلب و تعاریف مناسب برای حرکت زاویه‌ای یعنی L و گشتاور $\tau$ است.همچنین در مکانیک نیوتنی اشکال مختلفی از معادله بالا را که در پایه‌های غیر خطی و به عنوان مثال مختصات قطبی نوشته می‌شود، دیده‌ایم. اگر چه ممکن است این معادله در مثلاً مختصات قطبی بلافاصله به عنوان معادلهبالا قابل تشخیص نباشد اما با بررسی این اشکال از معادلات متوجه می‌شویم که این معادلات حاوی اطلاعات بیشتری نسبت به آنچه در معادله بالا نشان داده شده نیستند بلکه فقط نشان دهنده انتخاب مختصات مناسب برای برخی مسائل است. علاوه بر این ما با اصول انرژی، تکانه خطی و تکانه زاویه‌ای برخورد کرده‌ایم که می‌گوید در شرایط خاص برخی از این مقادیر بر حسب جرم و سرعت یعنی از نظر جنبشی با گذشت زمان تغییر نمی‌کنند یا در موارد دیگر میزان تغییر آن‌ها را پیش بینی می‌کنند. این‌ها مواردی است که می‌توان از معادله اول یا مشتق آن یعنی معادلهدوم استنباط کرد.
بدین ترتیب می‌توان دید که اگر چه تنوع زیادی از معادلات مختلف به دست آمده و مورد استفاده قرار می‌گیرد اما همه آنها دارای یک ریشه مشترک هستند و آن معادله حرکت یک ذره نقطه‌ای واحد است. مسأله موضوع مکانیک تحلیلی این است که همه اشکال مختلف معادلات حرکت را که در زمینه‌های مختلف اعمال می‌شوند را در یک موقعیت مساوی قرار دهیم. در حقیقت همه آن‌ها به صورت یکسان و مجموعه‌ای از معادلات یعنی معادله لاگرانژ و بعدها به صورت معادلات هامیلتونی بیان خواهند شد. همچنین این معادلات از یک اصل اساسی مشتق می‌شوند.که به آن اصل کنش می‌گوییم.
همچنین یکی از مفیدترین و مهم‌ترین ویژگی‌های معادلات لاگرانژ و هامیلتونی را مشاهده خواهیم کرد و این ویژگی مهم این است که این دو کمیت مستقل از انتخاب مختصات، شکل یکسانی دارند. این امر این پارامترها را در برخورد با سیستم‌هایی که درجه آزادی مناسبی بر حسب متغیرهایی که معادلات حرکت نیوتن در آن‌ها به سختی قابل نوشتن است، برای مثال معرفی نیروهایی در مکانیک نیوتنی که تنها وظیفه آن‌ها برآورده ساختن شرایط سینماتیکی است، مثلاً نیرویی در طناب با طول ثابت و سیستم‌های محدود، بسیار قدرتمند می‌کند.اساسی‌ترین ویژگی یک سیستم فیزیکی، درجه آزادی آن است. این حداقل تعداد متغیرهایی است که برای تعیین کامل موقعیت همه ذرات و اجسام بخشی از سیستم، یعنی پیکربندی آن در یک زمان معین مورد نیاز است. اگر تعداد درجات آزادی یک مجموعه N باشد هر مجموعه‌ای از متغیرهای $q^1,\ . \ . \ . \ ,\ q^N$ پیکربندی سیستم را مشخص می‌کند و مختصات تعمیم یافته سیستم نامیده می‌شود. توجه داشته باشید که نحوه حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته گنجانده نشده اما در مشتقات زمانی آن‌ها یعنی $\dot{q}^1,\ . \ . \ . \ ,\ \dot{q}^N$ وجود دارد.
برای مثال یک ذره در حال حرکت را در نظر بگیرید که یک درجه آزادی دارد. مختصات تعمیم یافته این ذره را می‌توان به صورت x نوشت. ذره‌ای که در سه راستا حرکت می‌کند دارای سه درجه آزادی است و مثالی از مختصات تعمیم یافته آن به صورت $\overrightarrow{r}=(x,y,z)$ است، این مختصات در سیستم کروی به صورت $\overrightarrow{r}=(r,\theta,\phi)$ است که $x=r \sin \theta \cos \phi, \ y=r \sin \theta \sin \phi, \ z=r \cos \theta$ نمایش داده می‌شود.
تعداد درجات آزادی برابر با تعداد معادلات حرکتی است که برای یافتن حرکت سیستم لازم است. گاهی اوقات بهتر است از تعداد بیشتری از مختصات نسبت به تعداد درجات آزادی یک سیستم استفاده کنیم. سپس مختصات باید از طریق نوعی معادله که قید نامیده می شود به یکدیگر مرتبط شوند. تعداد درجات آزادی در چنین حالتی برابر با تعداد مختصات تعمیم یافته منهای تعداد محدودیت‌ها است.برای مثال یک پاندول را در نظر بگیرید که توسط دو مختصه مستقیم (x,y) و یک جرم که به یک سر طناب بسته شده است، در نظر گرفته می‌شود. مختصات تعمیم یافته در این حالت زاویه است و درجه آزادی این سیستم یک است و (x,y) توسط قید$x^2+y^2=l^2$ که l طول طناب است به یکدیگر مرتبط می‌شوند
فرض کنید که یک سیستم شامل تعدادی ذرات به صورت نقطه‌ای است که مختصات عادی آن‌ها برابر با $x^1, .\ .\ .\ ,x^N$ است. همچنین پیکربندی سیستم توسط مختصات تعمیم یافته $q^1, .\ .\ .\ ,q^N$ داده می‌شود. در این حالت نمی‌خواهیم تعداد ابعاد حرکت ذرات و در حقیقت تعداد درجات آزادی سیستم را مشخص کنیم. این درجات آزادی می‌تواند برای n ذره که در صفحه حرکت می‌کنند برابر با N=2n و برای m ذره که در سه بُعد حرکت می‌کنند N=3m باشد. همچنین با توجه به اینکه هر دو مختصات بیان شده در بالا پیکربندی سیستم را مشخص می‌کنند، باید بین آن‌ها یک رابطه باشد که به صورت زیر بیان می‌شود:$\large \begin{aligned}
&x^{1}=x^{1}\left(q^{1}, q^{2}, \ldots, q^{N}\right)=x^{1}(q) \\
&x^{2}=x^{2}\left(q^{1}, q^{2}, \ldots, q^{N}\right)=x^{2}(q) \\
&\vdots \\
&x^{N}=x^{N}\left(q^{1}, q^{2}, \ldots, q^{N}\right)=x^{N}(q)
\end{aligned}$که در حالت فشرده این رابطه میان مختصات را می‌توان به صورت $x^{i}=x^{i}(q)$ نوشت. برای ایجاد ارتباط بین دو مجموعه متغیر که پیکربندی را کاملاً مشخص می‌کنند، توابع $x^i$می‌توانند وابستگی زمانی مشخصی را شامل شوند که در این قسمت ترجیح می‌دهیم این توابع به زمان وابسته نباشند. اگر در متغیرهای $q^i$ یک جابجایی بی نهایت کوچک برابر با $dq^i$ ایجاد کنیم، قاعده مشتق زنجیره‌ای نشان می‌دهد که این جابجایی مربوطه در $x^i$برابر است با:$\large d x^{i}=\sum_{j=1}^{N} \frac{\partial x^{i}}{\partial q^{j}} d q^{j}$کار انجام شده در این جابه‌جایی برابر با حاصلضرب نیرو و جابه‌جایی است که به صورت زیر بیان می‌شود و داریم:
$\large d W=\sum_{i=1}^{N} F_{i} d x^{i}=\sum_{i=1}^{N} \mathscr{F}_{i} d q^{i}$
که F برابر است با$\large \mathscr{F}_{i}=\sum_{j=1}^{N} F_{j} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}}$
برابر با نیروی تعمیم یافته است که به مختصات تعمیم یافته یعنی $\mathscr{F}_i$ ارتباط دارد. همان طور که در مورد سرعت تعمیم یافته گفته شد، نیازی نیست که بُعد
$\mathscr{q}_i$ همانند نیروی معمولی باشد. به عنوان مثال یک پاندول به طول l را در نظر بگیرید که مختصات تعمیم یافته برای این پاندول ϕ است و به عنوان زاویه از محور عمودی شناخته می‌شود. فرض کنید که جرم m تحت زاویه dϕ و تحت اثر نیروی $\overrightarrow{F}$ حرکت می‌کند. جابه‌جایی این جرم برابر با $d\overrightarrow{r}=l\ d\phi \ \hat{\phi}$ و کار در این جابه‌جایی کوچک برابر با $dW=\overrightarrow{F}.d\overrightarrow{r}=F_{\phi}ld\phi$
است. نیروی تعمیم یافته که مرتبط با مختصات زاویه‌ای ϕ است برابر با $\mathscr{F}_{\phi}=F_{\phi}l$
بوده که دقیقاً برابر با گشتاور نیرو است. پس نتیجه‌ای که از این مثال حاصل می‌شود بسیار عمومی است و این است که نیروی تعمیم یافته برای مختصات زاویه‌ای برابر با گشتاور حرکت است. اگر نیرو پایستار باشد، از رابطه بین پتانسیل و نیرو داریم:$\large F_{i}=-\frac{\partial V}{\partial x^{i}}$
اگر این رابطه را در رابطه مربوط به نیروی تعمیم یافته وارد کنیم خواهیم داشت:
$\large \mathscr{F}_{i}=-\sum_{j=1}^{N} \frac{\partial V}{\partial x^{j}} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}}=-\frac{\partial V}{\partial q^{i}}$
رابطه میان پتانسیل و نیروی تعمیم یافته به ازای هر مختصات تعمیم یافته شکل بالا را دارد.
انرژی جنبشی و تکانه تعمیم یافته چیست؟در این قسمت بررسی می‌کنیم که انرژی جنبشی چه رابطه‌ای با مختصات تعمیم یافته و مشتقات آن یعنی سرعت تعمیم یافته دارد. یک تک ذره با جرم m که در سه بُعد حرکات می‌کند در نظر بگیرید که در نتیجه درجات آزادی آن برابر با N=3 است. در این حالت انرژی جنبشی برابر است با:$\large T=\frac{1}{2} m \sum_{i=1}^{3}\left(\dot{x}^{i}\right)^{2}$در رابطه
$\large \dot{x}^{i}=\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial x^{i}}{\partial q^{j}} \dot{q}^{j}$
نشان دادیم که $\dot{x}^{i}$ تابعی از $q^j$ است و $\dot{q}^{j}$ زمانی وارد می‌شود که مختصات به زمان وابسته باشد. بدین ترتیب می‌توان رابطه انرژی جنبشی را بر حسب مختصات و سرعت تعمیم یافته به شکل زیر نوشت و داریم:$\large T=\frac{1}{2} m \sum_{i, j=1}^{3} A_{i j}(q) \dot{q}^{i} \dot{q}^{j}$
اگر بخواهیم این رابطه را بر حسب ساختار ماتریسی بنویسیم، داریم:$\large T=\frac{1}{2} m \dot{q}^{t} A \dot{q}$
که در آن ماتریس A برابر است با:$\large A_{i j}=\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial x^{k}}{\partial q^{i}} \frac{\partial x^{k}}{\partial q^{j}}$
ذکر این نکته مهم است که بدانید اگر چه ممکن است که رابطه بین مختصات معمولی و مختصات تعمیم یافته غیرخطی باشد، اما رابطه انرژی جنبشی و سرعت تعمیم با ضریب
$A_{ij}$ همواره خطی است و تنها به مختصات تعمیم یافته بستگی دارد. برای مثال حرکت در صفحه را برای مختصات قطبی در نظر بگیرید که داریم:
$\large \begin{aligned}
&x=r \cos \phi, \\
&y=r \sin \phi,
\end{aligned}$
بدین ترتیب ماتریس A برابر است با
$\large A=\left[\begin{array}{ll}
A_{r \tau} & A_{r \phi} \\
A_{r \phi} & A_{\phi \phi}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & r^{2}
\end{array}\right]$
و انرژی جنبشی به شکل شناخته شده زیر به دست می‌آید و داریم:
$\large T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\phi}^{2}\right)$
اگر از انرژی جنبشی نسبت به یکی از سرعت‌ها در مختصات عادی (یعنی
$v^i=\dot{x}^i$) دیفرانسیل بگیریم، داریم:
$\large \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}=m \dot{x}^{i}$
که در حقیقت تکانه خطی به دست می‌آید. تکانه تعمیم یافته را به روشی مشابه می‌توان به صورت زیر نوشت و داریم:
$\large p_{i}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{i}}$
این حقیقت که تکانه تعمیم یافته به متغیرهای زاویه‌ای وابسته است نشان می‌دهد که تکانه زاویه‌ای یک کمیت عمومی است. در ادامه می‌خواهیم به معادلات حرکت برگردیم و آن‌ها را بر اساس مختصات تعمیم یافته فرمول بندی کنیم.
تابع لاگرانژ چیست؟
تابع لاگرانژی که لاگرانژین نیز نامیده می‌شود کمیتی است که وضعیت یک سیستم فیزیکی را مشخص می‌کند. در ابتدا تابع لاگرانژ را برای یک ذره منفرد بررسی می‌کنیم. همان طور که نشان دادیم معادله حرکت برای یک تک ذره توسط رابطه (1) داده می‌شود. در قسمت قبل نشان دادیم که چگونه تکانه از انرژی جنبشی یه دست می‌آید. بدین ترتیب معادله (1) را به شکل زیر و براساس مختصات تعمیم یافته بازنویسی می‌کنیم و داریم:
$\large \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{i}}=F_{i}\ (3)$
اولین حدس این است که اگر مختصات با مختصات تعمیم یافته و نیرو با نیروی تعمیم یافته جایگزین شود، چیزی مشابه معادله بالا به دست می‌آید. بنابراین ما سمت چپ معادله بالا را با q به جای x جایگزین می‌کنیم و داریم:$\large \begin{aligned}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{i}} &=\sum_{j=1}^{3} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}} \frac{\partial \dot{x}^{j}}{\partial \dot{q}^{i}}\right)=\sum_{j=1}^{3} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}}\right)=\\
&=\sum_{j=1}^{3}\left(\frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}}+\frac{d}{d t} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}}\right)=\sum_{j=1}^{3}\left(\frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}}+\frac{\partial \dot{x}^{j}}{\partial q^{i}} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}}\right)=\\
&=\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}^{j}}+\frac{\partial T}{\partial q^{i}}
\end{aligned}$در اینجا، ما از قواعد مشتق زنجیره‌ای و این واقعیت استفاده می کنیم که T در گام اول به $\dot{x}^{i}$
بستگی دارد و به $\dot{x}^{i}$ وابسته نیست. سپس در مرحله دوم از این واقعیت که $\dot{x}^{i}$
توابع q هستند و نه $\dot{q}^{i}$
ها برای بدست آوردن $\frac{\partial{\dot{x}}^ j}{\partial \dot{q}^{i}}=\frac{\partial{x}^{j}}{\partial q^{i}}$
استفاده می‌کنیم. در مرحله سوم دوباره از این موضوع برای استخراج رابطه
$\frac{d}{dt}\frac{\partial{x}^{j}}{\partial q^{i}}=\frac{\partial{\dot{x}}^ j}{\partial q^{i}}$
استفاده می‌شود و در آخرین مرحله دوباره مشتق زنجیره‌ای در T مورد استفاده قرار می‌گیرد. حال می‌توانیم معادله (3) را در معادلات حرکت ذره قرار دهیم و بدین ترتیب داریم:
$\large \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{i}}=\sum_{j=1}^{3} \frac{\partial x^{j}}{\partial q^{i}} F_{j}+\frac{\partial T}{\partial q^{i}}$
و در نهایت معادله لاگرانژ حرکت ذره به صورت زیر به دست می‎‌آید:
$\large \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial q^{i}}=\mathscr{F}_{i}$
فرمالیزم لاگرانژی در زمانی که انرژی پتانسیل وجود دارد یعنی نیروها پایستار هستند و انرژی مکانیکی نیز پایستار است، بسیار مفید است. در نتیجه نیروی تعمیم یافته به صورت
$\mathscr{F}_{i}=-\frac{\partial V}{\partial q^{i}}$
نوشته می‌شود و معادله لاگرانژ برابر است با:$\large \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{i}}-\frac{\partial T}{\partial q^{i}}+\frac{\partial V}{\partial q^{i}}=0$انرژی پتانسیل به سرعت تعمیم یافته وابسته نیست. در نتیجه اگر لاگرانژی را به شکل زیر بنویسیم:L=T−Vمعادلات را می‌توان به طور کامل و به صورت زیر بیان کرد:
$\large \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{i}}-\frac{\partial L}{\partial q^{i}}=0$
تابع L را تابع لاگرانژ یا لاگرانژین می‌نامیم. این شکل از معادلات حرکت یکی از رایج‌ترین شکل‌هایی است که برای حل مسائل مکانیک تحلیلی استفاده می‌شود. مشتق معادلات لاگرانژ در بالا بر اساس موقعیتی بود که مختصات تعمیم یافته $q^i$ استاتیک بودند، یعنی زمانی که تبدیل مختصات بین $q^i$ و مختصات لختی یعنی $x^i$ زمان را شامل نمی‌شد. این فرض بسیاری از موقعیت‌های مهم و مفید مانند سیستم‌های مختصات شتابدهنده یا چرخشی را حذف می‌کند. با این حال می‌توان ثابت کرد که معادلات لاگرانژ در مواردی که تغییر بین مختصات لختی و تعمیم یافته دارای وابستگی زمانی مشخص یعنی $x^i=x^i(q;t)$ است همچنان برقرار می‌ماند. در ادامه یک مثال بررسی می‌کنیم تا نشان دهیم معادلات لاگرانژ، هنگامی که در موقعیت‌های وابسته به زمان اعمال می‌شوند نیروهای لختی شناخته شده‌ای را بازتولید می‌کنند و از این امر به عنوان یک نتیجه گیری رسمی استفاده می‌کنیم. فقط این نکته را به ذهن داشته باشید که زمانی که لاگرانژی را شکل می‌دهید، انرژی جنبشی، انرژی جنبشی نسبت به سیستم لختی است.یک ذره با جرم m در یک خط حرکت می‌کند. به جای استفاده از مختصات لختی x، می‌خواهیم از مختصات تعمیم یافته $q=x-x_0(t)$ استفاده کنیم که x0(t) توسط یک یا چند تابع مشخص می‌شود. برای مثال توضیح حرکت داخل یک ماشین که در حال حرکت بر روی یک مسیر مستقیم است و $x_0(t)$
موقعیت لختی ماشین است. همچنین تعریف می‌کنیم که $v_0(t)=\dot{x}_0(t)$و$a_0(t)=\ddot{x}_0(t)$ است. بدین ترتیب انرژی جنبشی برابر است با:
$\large T=\frac{1}{2} m\left(\dot{q}+v_{0}(t)\right)^{2}$
در غیاب نیروها، لاگرانژی به شکل زیر در می‌آید و داریم:$\large 0=\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}}=m\left(\ddot{q}+a_{0}(t)\right)$
در معادله بالا می‌توان دید که معادله مشهور نیروی لختی یعنی $-ma_0(t)$
به صورت اتوماتیک وار به دست آمده است. اگر چندین نیرو بر جسم اثر کنند، می‌توان نیروی تعمیم یافته را بر اساس نیروی لختی نوشت و داریم
$\mathscr{F}_{q}=F_{x}$. نیروی تعمیم یافته $\mathscr{F}_{q}$
شامل نیروی لختی نیست.همان طور که گفتیم لاگرانژی را می‌توان برای سیستم‌های چند ذره‌ای یا بس ذره‌ای نیز بررسی کرد که در این مطلب از بحث در مورد آن صرف نظر می‌کنیم.
اصل کنش در مکانیک تحلیلی چیست؟
در این بخش اصلی را بررسی می‌کنیم که منجر به معادلات حرکت برای هر سیستم مکانیکی می‌شود. این اصل، اصل کنش است. برای فهم این اصل به کمی دانش ریاضیات نیاز داریم. فرض کنید که یک سیستم مکانیکی داریم و برای مثال فرض کنید یک ذره در پتانسیل در حال حرکت است و نمی‌دانیم مسیر حرکت ذره چگونه است. با این حال شرایط اولیه به این صورت است که ذره در زمان $t_0$ از مکان $r(t_0)=\overrightarrow{r}_0$ و با سرعت$v(t_0)=\overrightarrow{v}_0$
شروع به حرکت می‌کند. برای هر مسیر $\overrightarrow{r}(t)$ که شرایط اولیه را برآورده کند، S را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$\large S=\int_{t_{0}}^{\infty} d t L$که L لاگرانژی و برابر با T−V است. معادله بالا معادله کنش است. این معادله برای یک ذره با وجود پتانسیل به صورت زیر نوشته می‌شود:
$\large S=\int_{t_{0}}^{\infty} d t\left[\frac{1}{2} m \dot{x}(t)^{2}-V(x(t))\right]$
کنش یک تابع است که آرگومان‌های آن یک تابع و مقادیر در آن عدد هستند. اصل کنش بیان می‌کند که مسیر حرکت ذره باید یک نقطه استاتیک باشد. کنش به عنوان انتگرال لاگرانژ در بازه زمانی t1 و t2 برای یک مختصات تعمیم یافته $q=(q_1, q_2, q_3, .\ .\ .\ , q_N)$
تعریف می‌شود، که مختصات تعمیم یافته تابعی از زمان و مشخص کننده پیکربندی سیستم است.
معادلات هامیلتونی در مکانیک تحلیلی چگونه هستند؟
زمانی که معادلات لاگرانژ را به دست آوردیم، متغیرها و مختصاتی که مورد استفاده قرار دادیم مختصات تعمیم یافته و سرعت تعمیم یافته بودند. لاگرانژ L به عنوان تابعی از این متغیرها به صورت $L(q^i,\dot{q}^i)$) نوشته می‌شود. این مجموعه از متغیرها یکتا نیستند و برای هر حالت یک انتخاب وجود دارد که به هامیلتونی سیستم بستگی پیدا می‌کند.
معادلات هامیلتونی معمولاً در مکانیک کوانتومی نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند. همان طور که در قسمت‌های قبل نیز گفته شد، تکانه مرتبط با مختصات
$$q^i به صورت زیر معرفی می‌شود:$\large p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{i}}$
در یک مختصات خط راست همان طور که دیدیم تکانه معمولی برابر با $p_i=m\dot{q}^i$
بود، ولی این موضوع برای مختصات‌های تعمیم یافته دیگر صدق نمی‌کند. در حال حاضر می‌خواهیم متغیرهای پایه را از مختصات $q^i$ و سرعت $v^i$ به مختصات و تکانه
$p_i$ تغییر دهیم. به زودی خواهید دید که در زمان تغییر متغیرها اینکه عملگر دیگری غیر از لاگرانژین را در نظر بگیرید، طبیعی است. برای این حالت، شرایطی را در نظر بگیرید که تنها دارای یک مختصات q است. دیفرانسیل لاگرانژی
$L(q,v)$ در این حالت برابر است با:$\large d L=\frac{\partial L}{\partial q} d q+\frac{\partial L}{\partial v} d v=\frac{\partial L}{\partial q} d q+p d v$
در مرجعی که مختصات اصلی و پایه q و p هستند، دیفرانسیل تابع به صورت طبیعی برابر با $adq+bdp$
است که a و b می‌توانند هر مقداری داشته باشند. تابع جدید H را به صورت زیر شما مد نظرتون باشه
$\large H=v p-L=\dot{q} p-L$H هامیلتونی است و دیفرانسیل آن برابر است با:
$\large d H=d v p+v d p-d L=d v p+v d p-\frac{\partial L}{\partial q} d q-p d v=-\frac{\partial L}{\partial q} d q+v d p$
بنابراین داریم:
$\large \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}, \quad \frac{\partial H}{\partial p}=v=\dot{q}$
تغییر عملگر به شکل بالا که با تغییر متغیر به این صورت همراه است را تبدیلات لژاندر می‌نامیم. دقت کنید که وقتی متغیرها را به q و p تغییر می‌دهید، باید تابع H را نیز بر اساس متغیرهای جدید بیان کنیم و بنابراین هر استفاده از v حذف می‌شود. بدین ترتیب با استفاده از معادله لاگرانژ که به صورت
$\frac{\partial L}{\partial q}=\dot{p}$ است، معادلات هامیلتونی برابر است با:
$\large \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$
برای سیستم‌های چند ذره‌ای نیز هامیلتونی به راحتی به دست می‌آید و تنها لازم است از یک اندیس i برای هر کمیت استفاده کنیم و در نتیجه داریم:
$\large \begin{gathered}
H=\sum_{i} \dot{q}^{i} p_{i}-L \\
\dot{q}^{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}
\end{gathered}$این مطلب را با بررسی یک مثال به پایان می‌بریم. یک سیستم خطی در نظر بگیرید که در آن $T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$
و $L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)$ باشد. در نتیجه
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$
است و داریم:$\large H=\dot{x} p-L=\frac{p^{2}}{m}-\frac{1}{2} m\left(\frac{p}{m}\right)^{2}+V(x)=\frac{p^{2}}{2 m}+V(x)$
که مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی است. این بیان حقیقتاً تا زمانی که وابستگی صریح زمانی بین L و زمان وجود ندارد، کلی است. در نتیجه معادلات هامیلتونی به شکل زیر در می‌آیند و داریم:$\large \dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m}, \quad \dot{p}=-\frac{d V}{d x}$
دقت کنید که به جای معادلات دیفرانسیل درجه 2 در رابطه بالا معادلات دیفرانسیل درجه 1 داریم. معادله اول برحسب p است و وقتی در معادله دوم قرار داده می‌شود این شکل هست :$\large m \ddot{x}=-\frac{d V}{d x}$
در مکانیک کلاسیک، محدودیت در یک سیستم پارامتری است که سیستم باید از آن تبعیت کند. به عنوان مثال، جعبه ای که از یک شیب به پایین سر می خورد باید روی شیب باقی بماند. دو نوع محدودیت مختلف وجود دارد: هولونومیک و غیرهولونومیک.نیروهای محدودیت، نیروهایی هستند که جسم محدود کننده بر جسم اعمال می کند تا از محدودیت های حرکتی پیروی کند.حرکت محدود زمانی حاصل می شود که یک جسم مجبور به حرکت به روشی محدود شود. برای مثال، ممکن است مجبور باشد در امتداد یک مسیر منحنی حرکت کند، روی میزی که ممکن است به سمت بالا شتاب بگیرد، بلغزد، با یک گوه شتاب‌دهنده در تماس بماند و غیره.محدودیت‌ها در مکانیک لاگرانی از طریق یکی از دو رویکرد انجام می‌شوند:
1) از معادله محدودیت برای کاهش درجات آزادی سیستم استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر یک ذره به سطح یک کره محدود شود، لاگرانژ را می توان کاملاً بر اساس دو مختصات تعمیم یافته و لحظه ای مرتبط با آنها نوشت (معمولاً، زوایای قطبی و زاویه ای مختصات کروی را به عنوان مختصات تعمیم یافته انتخاب می کنیم. ). نمی توان نیروهای محدودیت را از این طریق پیدا کرد - در نتیجه کاهش پیچیدگی مشکل، به طور ضمنی نادیده گرفته می شوند.
2) از طرف دیگر، یک ضریب لاگرانژ به عنوان درجه آزادی اضافی اضافه می شود. اگر یک L لاگرانژی و تابع قید$f(q_i, t)$ داشته باشیم که به مقداری C محدود شده و تابعی از مختصات تعمیم یافته و زمان باشد، لاگرانژی را به صورت زیر تغییر می دهیم:
$L \mapsto L' = L + \lambda [f(q_i, t) - C]$
استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ در این لاگرانژی جدید L' تمام دینامیک مربوط به سیستم را بازتولید می کند. به طور خاص، به شما امکان می دهد ضریب لاگرانژ λ را حل کنید. با انجام این کار، یافتن نیروهای محدودیت، که هستند، ممکن می شود
$F_i = \lambda \frac{\partial f}{\partial q_i}$
توجه به این نکته مهم است که چنین تابع قید f باید تابعی از زمان و مختصات تعمیم یافته باشد. اصطلاح این نوع محدودیت هولونومیک است. مشکلات مربوط به محدودیت های غیرهولونومیک را نمی توان با این روش درمان کرد.
من کتاب "مکانیک کلاسیک" داگلاس گرگوری را می خوانم و نویسنده می نویسد که استفاده از معادلات نیوتنی برای سیستم های مقید به دو مشکل برخورد می کند.
(1). معادلات حرکت محدودیت ها را در بر نمی گیرد. معادلات نیوتن (در مختصات دکارتی) محدودیت ها را در بر نمی گیرند. بنابراین، اینها باید در قالب شرایط اضافی برای حل همزمان با معادلات دینامیکی گنجانده شوند.
(2). نیروهای محدودیت ناشناخته هستند
و همچنین می نویسد
(1) با مختصات تعمیم یافته غلبه می کند در حالی که (2) با استفاده از معادلات لاگرانژ به جای نیوتن غلبه می شود.
سوالات من این است:
(الف) آیا اساساً (1) و (2) دشواری یکسانی نیست؟ منظورم این است که (1) اگر (2) حل شود مشکلی نیست؟ چرا نویسنده (1) و (2) را تشخیص می دهد؟
(ب) من در مورد آنچه در (1) گفته شده سردرگم هستم. اگر معادلات نیوتن را بدون ادغام قیود بنویسیم، معادلات در اصل «اشتباه» هستند. آیا آنها نیستند؟ تا آنجا که من می دانم، معادلات نیوتن تنها زمانی درست است که همه نیروها مشخص شوند.پاسخ مشخص من به شرح زیر است:
الف) اگر (2) حل شود، (1) به طور جدی یک مشکل نیست، اما همچنان یک ناراحتی بزرگ است، زیرا در مقایسه با مختصات تعمیم یافته باید تعداد بیشتری از معادلات را با متغیرهای بیشتری حل کنید.
به عنوان مثال، اگر می دانید که پسر در یک دایره حرکت می کند، مختصات تعمیم یافته شما q=θ است، زیرا شعاع R ثابت است، اما با استفاده از معادلات نیوتن، باید با مختصات x و y به همراه معادله بپردازید. محدودیت $x^2+y^2=R^2$ (با فرض مرکز دایره به عنوان مبدا).
ب) قانون نیوتن می گوید که $F=\dfrac{dp}{dt}=ma$ محدودیت را می توان یا با یک شرایط اضافی مانند حالت دایره ای بالا، یا با تعیین نیروی محدودیتی که بدن را در مسیر خود نگه می دارد مراقبت کرد. از آنجایی که نیرو تقریباً همیشه ناشناخته است، استفاده از شرط محدودیت ضروری است. همانطور که گفتید، معادله قانون نیوتن صحیح نخواهد بود. در واقع قانون همیشه صحیح است، اما اگر نیرو یا شرایطی وجود نداشته باشد، پاسخ درستی نمی دهد، بنابراین اعمال قانون در چنین مواردی اشتباه است.
یک نکته بی اهمیت: اگر نیروی محدودیت صفر باشد، برای مثال، نیرو $m\dfrac{v^2}{r}$ باشد، هیچ شرایط اضافی لازم نیست، زیرا بدن نه به دلیل محدودیت خاصی، بلکه صرفاً به دلیل نیرو در دایره حرکت می کند. همین وضعیت را می توان از نظر محدودیت ها نیز حل کرد، اما من وارد آن نمی شوم.
محدودیت های هولونومیک و غیرهولونومیک چیست؟اما اغلب می توان یک مختصات را بر حسب مختصات دیگر بیان کرد: به عنوان مثال دو نقطه توسط یک میله صلب به هم متصل می شوند، فاصله نسبی آنها تغییر نمی کند. چنین شرایطی از سیستم را می توان به صورت معادله ای بیان کرد که فقط مختصات مکانی سیستم و زمان را شامل می شود، اما نه بر روی لحظه یا مشتقات بالاتر زمان wrt. به این محدودیت ها هولونومیک می گویند:
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: قیود در مکانیکConstraints in mechanics

پست توسط rohamavation »

در مشکل سه جسمی محدود ، پنج نقطه لاگرانژی بر اساس پتانسیل موثر تعیین می شود$\frac{GM}{x^2}-\frac{Gm}{(R-x)^2}-w^2x=0.$جایی که M جرم زمین ، m جرم ماه ، x فاصله زمین تا ماهواره ، R فاصله تا ماه و $w$ سرعت زاویه ای ماه است.نقاط لاگرانژی پیدا میشه
$U(x,y,\mu)=\frac{(x^2 + y^2)}{2} +
\frac {\mu }{\sqrt {(x - 1 + \mu)^2 + y^2}} + \frac {(1 - \mu)}{\sqrt {(x + \mu)^2 + y^2}}$
μ جرم نسبی ماه ، 1 − μ جرم نسبی زمین است. ماه در $(x ، y) = (1 − μ ، 0)$ است. زمین در$ (x ، y) = ( - μ ، 0)$ است. نقاط آزادسازی مثلثی و خطی از سیستم معادلات $\nabla U=0$ تعیین می شود. برای سیستم زمین-ماه ، . $U_{eff}(x,y,\mu )= \frac {\mu r_1^2}{2} + \frac {(1 - \mu)r_2^2}{2}+
\frac{\mu}{r_1}+ \frac{(1 - \mu)}{r_2}$
$r_1= \sqrt {(x + 1 - \mu)^2 + y^2},
r_2= \sqrt {(x - \mu )^2 + y^2}$
در این حالت ماه در $(x,y)=(-1+\mu ,0)$ واقع شده است. زمین در $(x ، y) = (μ ، 0)$ است. نقاط آزادسازی مثلثی و خطی از سیستم معادلات $\nabla U_{eff}=0$ تعیین می شود. برای سیستم زمین-ماه ،
از پنج نقطه لاگرانژ ، سه نقطه ناپایدار و دو نقطه ثابت است. نقاط ناپایدار لاگرانژ - با برچسب L1 ، L2 و L3 - در امتداد خط اتصال دو توده بزرگ قرار دارند. نقاط پایدار لاگرانژ - با برچسب L4 و L5 - راس دو مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند که جرمهای بزرگی در راس خود دارند.من سعی می کنم موقعیت نقطه لاگرانژ L1 را در منظومه زمین-ماه پیدا کنم. برای سهولت کار (من فکر کردم) من به تأثیر خورشید یا نیروهای دیگر اهمیتی نمی دهم جز نیروی گرانشی زمین و ماه. بنابراین باید به این شکل عمل کند:
$G\frac{mM_{E}}{D-d_M}=G\frac{mM_M}{d_M}$
جایی که D فاصله بین زمین و ماه و dM فاصله L1 از ماه است. بنابراین من باید dM را پیدا کنم و به این فرمول رسیدم:
$d_M=D+D\frac{M_M}{M_E}$که بدیهی است برای L1 آشغال است (زیرا dM با استفاده از این فرمول از ماه دورتر است). نقاط لاگرانژ چگونه تعیین می شوند؟اثبات طرح شده از تمام نقاط ممکن لاگرانژ:
ابتدا مشکل 2 توده را در نظر بگیرید. استنباط کنید که نقاط احتمالی لاگرانژ باید در سطح مداری قرار گیرند (زیرا یک کاوشگر همیشه به طور گرانشی به سمت سطح مداری جذب می شود). بنابراین از این پس توجه ما را به صفحه مداری محدود می کنیم ، که ما آن را با صفحه پیچیده C مشخص می کنیم.
برای سادگی ، مشکل 2 توده با مدارهای دایره ای را در نظر بگیرید. اجازه دهید R فاصله ثابت بین جرم 2 نقطه m1 و m2 باشد. به سیستم مختصات مرکز جرم دوار (CM) بروید ، جایی که جرم نقطه m1 و m2 در موقعیت ها ثابت هستند
$r_1~=~-\epsilon_2 R ~<~0\qquad\text{and}\qquad r_2~=~\epsilon_1 R~>~0 \tag{1}$در امتداد محور واقعی ، جایی که
$\begin{align}\epsilon_1~:=~\frac{m_1}{m_1+m_2}~>~0,\qquad &
\epsilon_2~:=~ \frac{m_2}{m_1+m_2}~>~0, \cr
\epsilon_1+\epsilon_2~=~&1.\end{align}\tag{2}$
1 شکل 1: موقعیت r1 و r2 جرم m1 و m2.تصویر
نیروی گرانشی بر m2 باید نیروی گریز از مرکز بر m2 را لغو کند:
$\frac{Gm_1m_2}{R^2} ~=~ m_2\Omega^2 r_2
\qquad\Rightarrow\qquad \Omega^2~=~\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}.\tag{3}$
این امر سرعت زاویه ای $\Omega$سیستم مختصات را تعیین می کند.
در نظر بگیرید که یک جرم آزمایش در موقعیت $z\in\mathbb{C}$ شتاب را تجربه می کند
$\begin{align} a~=~& -\frac{Gm_1z_1}{|z_1|^3}
-\frac{Gm_2z_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 z\cr
~\equiv~& -\frac{Gm_1}{|z_1|z^{\ast}_1}
-\frac{Gm_2}{|z_2|z^{\ast}_2}
+\Omega^2 z,\end{align}\tag{4}$
از گرانش و نیروی گریز از مرکز ، جایی که ما موقعیت های نسبی را تعریف کردیم
$z_1~:=~ z-r_1~\neq~0\qquad\text{and}\qquad
z_2~:=~ z-r_2~\neq~0.\tag{5}$
معنا کنید که معادله a = 0 برای نقاط لاگرانژ برابر است
$\frac{z}{R^3}
~=~\frac{\epsilon_1z_1}{|z_1|^3}
+\frac{\epsilon_2z_2}{|z_2|^3}
~\equiv~\frac{\epsilon_1}{|z_1|z^{\ast}_1}
+\frac{\epsilon_2}{|z_2|z^{\ast}_2},\tag{6}$
یا معادل آن ،
$z\underbrace{\left(\frac{\epsilon_1}{|z_1|^3}+ \frac{\epsilon_2}{|z_2|^3}-\frac{1}{R^3}\right)}_{\in~\mathbb{R}}
~\stackrel{(6)}{=}~ \underbrace{\epsilon_1\epsilon_2 \left(\frac{1}{|z_2|^3}-\frac{1}{|z_1|^3} \right)}_{\in~\mathbb{R}}. \tag{7}$
تنها راهی که در lhs z است. از معادله (7) می تواند یک عدد غیر واقعی باشد اگر دو پرانتز در معادل. (7) هر دو صفر هستند. این شرایطی است که 3 جسم مثلث متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند
$|z_1|~=~R~=~|z_2|. \tag{8}$
معادل (8) دارای 2 راه حل است ، یعنی نقاط لاگرانژ L4 و L5:
$\begin{array}{rcccl}
z_1~&=&~R\exp\left\{\pm \frac{i\pi}{3} \right\}
~&=&~\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2}, \cr
z_2~&=&~-R\exp\left\{\mp \frac{i\pi}{3} \right\}
~&=&~-\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2} . \end{array}\tag{9}$
از این رو ممکن است (و خواهیم شد) که از این پس $z\in\mathbb{R}$ واقعی است ، یعنی سه بدن هم خطی هستند. سپس معادله (6) به یک معادله مرتبه 5 تبدیل می شود که ریشه های آن به طور کلی هیچ فرمول دقیق بسته ای ندارند. از آنجا که مشتق شده است
$\frac{da}{dz}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{2Gm_1}{|z_1|^3}
+ \frac{2Gm_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 ~>~0\tag{10}$
برای $z\in\mathbb{R}\backslash\{r_1,r_2\}$ مثبت است ، حداکثر یک ریشه در هر فواصل پیوسته وجود دارد
$]-\infty,r_1[, \qquad ]r_1,r_2[ \qquad\text{and}\qquad ]r_2,\infty[.\tag{11}$
بنابراین معادله a = 0 حداکثر 3 ریشه واقعی دارد. رفتار تابع a نزدیک به تکینگی ، r2 ، $z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$ نشان می دهد که معادله a = 0 دقیقاً 3 ریشه واقعی دارد L1 ، L2 & L3 ، نک.
2 شکل 2: نمونه ای از شتاب a به عنوان تابع (4) موقعیت z. تابع a در موقعیت های $z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$دارای ویژگی های منحصر به فرد است. شیب (10) در همه جا مثبت است. همیشه دقیقاً 3 ریشه واقعی L1 ، L2 و L3 وجود دارد
تصویر

ارسال پست