من سعی می کنم خودم مشکل را حل کنم تا به همان پاسخ برسم اما با مقادیر تانسور ممان اینرسی ناسازگاری دارم. در اینجا صفحات مربوط به کتاب (با پوزش بابت بی کیفیتی تصاویر) آمده است:
همانطور که در صفحه 2 نشان داده شده است، ممان تانسور اینرسی به صورت زیر محاسبه میشه
$\begin{bmatrix}
I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\
-Izx & -Izy & Izz \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0.48 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.12 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 \\
\end{bmatrix}$
به نظر می رسد مقادیر لحظه های اینرسی در مورد محورهای x، y و z برای صفحه با درک من در تضاده
$I_{xy} = \int_{}^{}f(xy)\,dm = (0.150 * 0.300) * 4 kg = 0.18 kg.m^2$
$I_{yx} = \int_{}^{}f(yx)\,dm = (0.300 * 0.150) * 4 kg = 0.18 kg.m^2$
$I_{xz} = \int_{}^{}f(xz)\,dm = (0.150 * 0) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zx} = \int_{}^{}f(zx)\,dm = (0 * 0.150) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zy} = \int_{}^{}f(zy)\,dm = (0 * 0.300) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{yz} = \int_{}^{}f(yz)\,dm = (0.300 * 0) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zz} = \int_{}^{}f(x^2 + y^2)\,dm = (0.150^2 + 0.300^2) * 4 kg = 0.45 kg.m^2$
$I_{xx} = \int_{}^{}f(y^2 + z^2)\,dm = (0.300^2 + 0^2) * 4 kg = 0.36 kg.m^2$
$I_{yy} = \int_{}^{}f(x^2 + z^2)\,dm = (0.150^2 + 0^2) * 4 kg = 0.09 kg.m^2$
بنابراین تانسور اینرسی من با کتابم متفاوته
$\begin{bmatrix}
0.36 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.09 & 0 \\
0 & 0 & 0.45 \\
\end{bmatrix} \ne
\begin{bmatrix}
0.48 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.12 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 \\
\end{bmatrix}$آیا کسی میتونه به من توضیح بده که چه اشتباه مفهومی مرتکب شده ام؟
برای یک صفحه یکنواخت با چرخش مرجع در هر گوشه ای آیا نباید فاصله x،y و z (برای لحظه اینرسی محور مربوطه) از مرکز ثقل صفحه تا نقطه چرخش گرفته بشه
مراقب عناصر ادغام خود باشید، مانند$dm=\rho dA$، جایی که ρ چگالی سطح صفحه و$dA=dxdy$ است عنصر ادغام منطقه است. علاوه بر این باید از نقطه چرخش تا انتهای صفحه خود را ادغام کنید. به عنوان مثال؛
$\begin{equation}I_{xx}\\=\int_A(y^2+z^2)\rho dA\\=\rho\int_{x=0}^{0.3\text{ m}}dx\int_{y=0}^{0.6\text{ m}}y^2dy\\=\frac{4\text{ kg}}{0.3\text{ m}\cdot0.6\text{ m}}\cdot x|_0^{0.3\text{ m}}\cdot\tfrac{1}{3}y^3|_0^{0.6\text{ m}}=0.48 \text{ kg}\,\text{m}^2.\end{equation}$توجه داشته باشید که ممکنه به طور تصادفی خطای من در$I_{xy}$ باشه
$I_{xy}=I_{yx}\\=\int_Axy\rho dA\\=\rho\int_xxdx\int_yydy\\=\rho\tfrac{1}{2}x^2|_0^{0.3}\tfrac{1}{2}y^2|_0^{0.6}=0.18\text{ kg}\,\text{m}^2.$
