تعیین ممانهای اینرسی روی صفحه با یک زوج

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

تعیین ممانهای اینرسی روی صفحه با یک زوج

پست توسط rohamavation »

کتاب درسی مکانیک من (ویرایش چهارم بدفورد و فاولر) برای تعیین یک زوج با استفاده از معادلات اویلر دارد. حداقل فکر نمی کنم اینطور باشه
من سعی می کنم خودم مشکل را حل کنم تا به همان پاسخ برسم اما با مقادیر تانسور ممان اینرسی ناسازگاری دارم. در اینجا صفحات مربوط به کتاب (با پوزش بابت بی کیفیتی تصاویر) آمده است:تصویر
تصویر
همانطور که در صفحه 2 نشان داده شده است، ممان تانسور اینرسی به صورت زیر محاسبه میشه
$\begin{bmatrix}
I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\
-Izx & -Izy & Izz \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0.48 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.12 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 \\
\end{bmatrix}$
به نظر می رسد مقادیر لحظه های اینرسی در مورد محورهای x، y و z برای صفحه با درک من در تضاده
$I_{xy} = \int_{}^{}f(xy)\,dm = (0.150 * 0.300) * 4 kg = 0.18 kg.m^2$
$I_{yx} = \int_{}^{}f(yx)\,dm = (0.300 * 0.150) * 4 kg = 0.18 kg.m^2$
$I_{xz} = \int_{}^{}f(xz)\,dm = (0.150 * 0) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zx} = \int_{}^{}f(zx)\,dm = (0 * 0.150) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zy} = \int_{}^{}f(zy)\,dm = (0 * 0.300) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{yz} = \int_{}^{}f(yz)\,dm = (0.300 * 0) * 4 kg = 0.00 kg.m^2$
$I_{zz} = \int_{}^{}f(x^2 + y^2)\,dm = (0.150^2 + 0.300^2) * 4 kg = 0.45 kg.m^2$
$I_{xx} = \int_{}^{}f(y^2 + z^2)\,dm = (0.300^2 + 0^2) * 4 kg = 0.36 kg.m^2$
$I_{yy} = \int_{}^{}f(x^2 + z^2)\,dm = (0.150^2 + 0^2) * 4 kg = 0.09 kg.m^2$
بنابراین تانسور اینرسی من با کتابم متفاوته
$\begin{bmatrix}
0.36 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.09 & 0 \\
0 & 0 & 0.45 \\
\end{bmatrix} \ne
\begin{bmatrix}
0.48 & -0.18 & 0 \\
-0.18 & 0.12 & 0 \\
0 & 0 & 0.6 \\
\end{bmatrix}$آیا کسی میتونه به من توضیح بده که چه اشتباه مفهومی مرتکب شده ام؟
برای یک صفحه یکنواخت با چرخش مرجع در هر گوشه ای آیا نباید فاصله x،y و z (برای لحظه اینرسی محور مربوطه) از مرکز ثقل صفحه تا نقطه چرخش گرفته بشه
مراقب عناصر ادغام خود باشید، مانند$dm=\rho dA$، جایی که ρ چگالی سطح صفحه و$dA=dxdy$ است عنصر ادغام منطقه است. علاوه بر این باید از نقطه چرخش تا انتهای صفحه خود را ادغام کنید. به عنوان مثال؛
$\begin{equation}I_{xx}\\=\int_A(y^2+z^2)\rho dA\\=\rho\int_{x=0}^{0.3\text{ m}}dx\int_{y=0}^{0.6\text{ m}}y^2dy\\=\frac{4\text{ kg}}{0.3\text{ m}\cdot0.6\text{ m}}\cdot x|_0^{0.3\text{ m}}\cdot\tfrac{1}{3}y^3|_0^{0.6\text{ m}}=0.48 \text{ kg}\,\text{m}^2.\end{equation}$توجه داشته باشید که ممکنه به طور تصادفی خطای من در$I_{xy}$ باشه
$I_{xy}=I_{yx}\\=\int_Axy\rho dA\\=\rho\int_xxdx\int_yydy\\=\rho\tfrac{1}{2}x^2|_0^{0.3}\tfrac{1}{2}y^2|_0^{0.6}=0.18\text{ kg}\,\text{m}^2.$
تصویر

ارسال پست