همننطور که یک اسکیت باز روی یخ پاهایش را در دستانش میکشه بازوها و پاهایش گشتاوری روی بدنش وارد می کنند که باعث میشه سریعتر بچرخه.
در این تصویر من فلش های قرمز نشان دهنده نیروهای روی صفحه خاکستریه. نیرویی که با عنوان "Spin" مشخص شده ا باعث ایجاد مقداری چرخش در صفحه میشه (علاوه بر اینکه به طور کلی آن را شتاب مییده زیرا خط نقطه چین "j" آن نیرو از مرکز صفحه عبور نمیکنه. نیرویی که برچسب "NoSpin" داره فقط صفحه را شتاب میده و باعث چرخش نمیشه زیرا روی خطی قرار دارد که از مرکز صفحه میگذره.
در این مثال چیز خاصی در مورد صفحه دایره ای وجود نداره هر شکل دیگری نیز کار میکنه من باید نقطه مرکزی را با مرکز جرم مشخص کنم.
برای اینکه ببینیم اسکیت باز در حالی که بازوهایش را میکشه به سمت بالا میچرخه باید نیروهای وارد شده به بدن او را در حالی که بازوهایش را به داخل میکشه پیدا کنم. سپس میتونیم ببینیم که آیا این نیروها مستقیمن به سمت مرکز بدن او هستند یا خیر. .
من یک اسکیت باز روی یخ را به عنوان دایره ای با جرم M مدل میکنم با یک چوب بدون جرم که از آن عبور میکنه و دو دایره دیگر به جرم m در دو طرف چوب اسکیت باز میتونه در حین چرخش دایره های کوچک را به سمت داخل یا خارج حرکت بده. مسیری است که "بازوهای" او (دایره های کوچک) در صورتی که در حین چرخش اصلاً آنها را به داخل نکشد از آن خارج میشن.
اینجا تو شکل اوردم هر نیرو با توجه به جسمی که روی آن اثر میکنه کد رنگی داره. F1به عنوان مثال نیرویی است که توسط بازوی قرمز به اسکیت باز وارد میشه. (این نیرو واقعاً به چوبی که به شدت به اسکیت باز متصله وارد میشن
هر دو نیروی آبی روی خطی قرار دارند که از مرکز اسکیت باز می گذرد بنابراین سرعت چرخش اسکیت باز در این روش تغییر نمیکنه. تا زمانی که بازوهایش را بیرون بگذاره با همنن سرعت در حال چرخش خواهد بود (از اصطکاک یا سایر اتلاف انرژی غافل می شود).
اکنون من تصور می کنم اسکیت باز بازوهای خود را به داخل میکشه. اگر به مسیری که بازوها (دایره های کوچک) به سمت بیرون کشیده می شوند نگاه کنید شکل مارپیچی را مشاهده میکنین
در اینجا من دو بازو را با مسیرهای گذشته و آینده نشان میدم. بازوها به دور اسکیت باز می چرخند در حالی که به طور هم زمان به داخل کشیده میشن.
پیدا کردن نیروهای درگیر در اینجا سخته. بازوها دیگر در دایره های ساده حرکت نمیکنند. با این حال در هر لحظه یک دایره خاص وجود داره که به نظر میرسه یک بازوی معین در امتداد آن حرکت میکنه. این دایره انعقادی است. مننند قبل نیرویی بر روی بازو وجود داره که به سمت مرکز دایره ارتعاشی حرکت میکنه.
این تمام ماجرا نیستش زیرا دیگر نمیتونیم سرعت بازوها را ثابت فرض کنیم. از این رو ممکن است نیرویی در جهت حرکت بازوها نیز وجود داشته باشه. در تصویر بعدی فقط نیروها را روی یک بازو میکشم فقط برای اینکه چیزها بیش از حد به هم نریزند.
این تصویر روی یک بازو بزرگ شده است. دایره آبی هنوز اسکیت بازه. دایره سبز دایره منعقد کننده است.$ F_r $ نیروی مرکزگرا به سمت مرکز دایره ارتعاشی است که مسیر بازو را منحنی میکنه و $F_t$
یک نیروی ممنسی (کوچک) در جهت حرکته که بعث افزایش سرعت بازو هست
بدون دانستن اینکه بازوها چقدر سریع حرکت میکنند چقدر شتاب میگیرند و معادله ای که مسیر حرکت آنها را توصیف میکنه سخته خوب که دقیقاً اندازه این نیروها را تشخیص دهم. با این حال میبینم که نیروها به طور کلی دیگر هیچ تعهدی برای اشاره به مرکز اسکیت باز ندارند. او می تواند سرعت چرخش خود را تغییر دهد زیرا ممکنه نیروها لزومن روی خطوطی قرار نگیرند که از مرکز او عبور میکنند.
برای اینکه بفهمم این نیروها دقیقاً چه هستند باید یک تحلیل کمی انجام بدم.
راه حلش که نیروهای روی بازوها را در حین مارپیچ پیدا کنم سپس از قانون سوم نیوتن برای یافتن نیروهایی که بازوها روی چوب اعمال می کنند استفاده کنم. در مرحله بعد این نیروها را با میزان تغییر انرژی اسکیت باز مرتبط میکنم. انرژی اسکیت باز را میتوانم مستقیمن از حرکت او نیز محاسبه کنم بنابراین من این کار را انجام میدهم مشتق میگیرم و با عبارت قبلی خود مقایسه میکنم. این یک کمیت حفظ شده را نشان میده تکانه زاویه ای که به من اجازه میده تا نرخ چرخش اسکیت باز را به عنوان تابعی از شرایط اولیه و فاصله نهایی بازوها از مرکز او پیدا کنم - جزئیات شکل مارپیچ و سرعت کشیده شدن بازوها مهم نیست. در نهایت خواهیم دید که اسکیت باز با کشیدن بازوهای خود سریعتر و سریعتر می چرخد.
من از مختصات قطبی برای توصیف موقعیت بازوها استفاده میکنم. مختصات شعاعی r بازوی 1 تابعی از مختصات زاویه ای آن θ است .$r = f(\theta)$
با تعریف$\omega = \dot{\theta}$ من دارم $\dot{r} = f'\omega$$\ddot{r} = f''\omega^2 + f'\dot{\omega}$شتاب در مختصات قطبی است
$\vec{a} = \hat{r}(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) + \hat{\theta}(2\dot{r}\dot{\theta} ^2 + r\dot{\omega})$نیروی وارد بر این بازو توسط قانون دوم نیوتن$\vec{F} = m\vec{a}$به دست می آید
. نیرویی که بازو بر چوب وارد میکنه بر اساس قانون سوم نیوتن منفی است. این نیروی بازو روی چوب همون چیزیه که من به آن علاقه دارم.
همونطور که چوب میچرخد نیروی بازو روی چوب روی چوب کار میکنه که به انرژی جنبشی اسکیت باز میره (خود چوب جرم نداره). سرعت نقطه روی چوب که در آن نیرو اعمال میشود $\vec{v} = f\omega\hat{\theta}$ است.نیروی ارائه شده توسط این نیرو دو برابر شده و شامل کار انجام شده توسط بازوی دیگر میشه $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = -2m\omega f(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$
این میزان تغییر انرژی جنبشی اسکیت باز است. که انرژی جنبشی است
$T = \frac{1}{2}M (R \omega)^2$با R شعاع اسکیت باز اگر توان را با مشتق انرژی جنبشی برابر کنیم من محاسبه میکنم $MR^2\dot{\omega} = -2mf(2f'\omega^2 + f\dot{\omega})$
جالب شد $\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\left(\omega(MR^2 + 2mf^2)\right) = 0$
این بدان معنی است که من چیزی را کشف کردم که در زمان تغییر نمیکنه - یک کمیت حفظ شده. به آن تکانه زاویه ای و قسمت $MR^2 + 2mf^2$ میگن ممان اینرسی میگیم . تکانه زاویه ای را با L نشان می دهم
و (بازگشت از f به $r$) نوشتن $L = \omega(MR^2 + 2mr^2)$ زیرا$L$ ثابته من میتونم $\omega$ را پیدا کنم .$\omega = \frac{L}{MR^2 + 2mr^2}$
فرکانس زاویه ای را به عنوان تابعی از r دارم فقط - شکل تابع دقیق f نه مهم بود و نه با چه سرعتی مسیر را طی کرده. تا زمننی که منL از شرایط اولیه من مشکل را حل کردم
از جانب$\frac{\textrm{d}\omega}{\textrm{d}r} = \frac{-4m L r}{(MR^2+2mr^2)^2}$
می بینیم که با فرض L مثبت است همننطور که r پایین می رود $\omega$
بالا می رود بنابراین اسکیت باز هر چه در آغوشش می کشد سریعتر و سریعتر می رود.هر زمان که قوانین فیزیک به جهت گیری در فضا بستگی نداشته باشد عددی به نام تکانه زاویه ای حفظ می شود. برای یک جسم چرخان - از جمله بدن یک خانم بالرین- تکانه زاویه ای J ممکنه به عنوان حاصل ضرب ممان اینرسی I نوشته شود
و فرکانس زاویه ای $\omega$ (تعداد دور در ثانیه ضربدر $2\pi=6.28$
$J = I \omega$لحظه اینرسی I تقریبا برابر است$I = MR^2$جایی که$M$ جرم است و R برابر است با میانگین وزنی فاصله اتم ها (وزن وزن) از محور. (به طور دقیق تر من باید میانگین $R^2$ را محاسبه کنم
این به شما بستگی دارد که آیا او در جهت عقربه های ساعت می چرخد یا خلاف جهت عقربه های ساعت.
بنابراین اگر بالرین بازوهاشودر آغوش خود بکشد به محور نزدیکتر می شود و R کاهش می دهد. جرم او M تغییر نمی کند ممان اینرسی I نیز کاهش می یابد زیرا$J=I\omega$
باید حفظ شود و $I$ کاهش یافت $\omega$ ناگزیر افزایش می یابد.همچنین ممکن است افزایش فرکانس زاویه ای چرخش را بر حسب نیرو و گشتاور توضیح دهید. اگر بازوها به محور نزدیکتر شوند گشتاوری به بالرین وارد می کنند که سرعت او را افزایش می دهد. من به برخی از محصولات متقاطع در اینجا نیاز دارم امن می ترسم که به طور کامل مورد استقبال قرار نگیرد.
ه این به دلیل حفظ تکانه زاویه ای است. کاهش مقاومت هوا باعث کاهش سرعت معمولی می شود اما بدون شتاب.
مننند تکانه خطی (mvتکانه زاویه ای ($r \times mv$) یک کمیت حفظ شده است جایی که r بردار مرکز چرخش است. برای یک اسکیت باز که در حال چرخش است برای هر ذره ای که بدن او را تشکیل می دهد سهم بزرگی در کل تکانه زاویه ای توسط $m_i r_i v_i$داده می شود.. بنابراین آوردن در آغوش او ری را کاهش می دهد برای ذرات بازوهایش برای حفظ تکانه زاویه ای سرعت زاویه ای آنها افزایش می یابد.
