معادله حرکت بازوی چند پیوندی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

معادله حرکت بازوی چند پیوندی

پست توسط rohamavation »

چگونه میتونم اختلال را در هر مفصل به دلیل نیروهای جفت در یک دستکاری ربات مسطح دو پیوندی که توسط دو موتور DC مستقل فعال میشه محاسبه کنم؟
من در حال مطالعه تئوری کنترل هستم و سعی میکنم با استفاده از یک دستکاری ربات مسطح دو پیوندی با یک مثال ساده کار کنم:
تصویر
هدف من شبیه سازی کنترل PID از دستکاری کننده دو پیوندی مسطح است که در آن هر مفصل توسط یک موتور DC مستقل فعال میشه. ورودی دو سیگنال پیوسته است
$\theta_1(t), \theta_2(t)$
که نمایانگر زاویه مورد نظر برای هر مفصل در زمان t است. مدل‌سازی یک کنترل‌کننده برای بازوی رباتیک میتونم بیانی را برای ولتاژی که باید به هر موتور اعمال کنم تا به یک زاویه دلخواه اعمال کنم بدست بیاورم. این مقاله همچنین کنترل کننده PID لازم برای حفظ زاویه مورد نظر را با توجه به سیگنال خطا توصیف میکنه
$e(t) = \theta_{desired}(t)-\theta_{actual}(t)$
از آنجایی که هر موتور به طور مستقل کنترل میشه اثرات کوپلینگ در بین مفاصل به دلیل پیکربندی های مختلف در طول حرکت به عنوان ورودی های اختلال در نظر گرفته میشه سوال من اینه چگونه میتوانم این اثر کوپلینگ را برای شبیه سازی سیگنال خطا e(t) برای سیستم در شرایط ایده آل مدل کنم؟ منظور من از شرایط ایده آل اینه که اختلال ناشی از جفت شدن بین اتصالات 100٪ سیگنال خطا را تشکیل میده.به این ترتیب در زمان t ولتاژ را برای رسیدن به زوایای مورد نظر برای هر موتور مستقل تعیین میکنیم سپس آن را به مدل موتور DC خود وصل میکنم تا گشتاورهای تولید شده را محاسبه کنم
$\tau_1, \tau_2$سپس این گشتاورها را به دینامیک وصل میکنم تا زوایای واقعی را با در نظر گرفتن نیروهای کوپلینگ محاسبه کنم و سپس از زوایای واقعی در مقایسه با زوایای مورد نظر استفاده میکنم تا سیگنال خطایی را ایجاد کنیم که به حلقه کنترل PID تغذیه میکنه
آیا این روشم منطقی است؟ اگر نه کجا اشتباه کرده ام و چگونه میتونم سیگنال خطا ناشی از نیروهای کوپلینگ را شبیه سازی کنم؟
روش کنترل غیر خطی$C(q,\dot{q}) \dot{q}$ اینجا M(q) ماتریس اینرسی است$C(q,\dot{q})$ ماتریس کوریولیس است g(q) بردار گرانشیه و u ورودی من برای کنترلر است.
: هدف این است که پویایی حاصل از سیستم را یکپارچه کننده دوگانه کنیم:$a_{q} = \ddot{q}$
استخراج معادلات حرکت برای فضاپیمای شناور آزاد با بازوی ربات تک پیوندی
من سعی میکنم پویایی یک فضاپیمای شناور آزاد را با بازوی ربات تک پیوندی (گردش) که به یک سر متصل است مدل کنم. من در حال مدل سازی حرکت مسطح و چرخش فضاپیما و پیوند بازوی ربات هستم.
من با فرآیند به دست آوردن دینامیک یک سیستم از طریق فرمول بندی کل انرژی های جنبشی و پتانسیل سیستم و اعمال قضیه اویلر-لاگرانژ آشنا هستم. مشکل این است که من کاملاً مطمئن نیستم که چگونه انرژی های این سیستم را فرموله کنم.
به مدل‌سازی فضاپیمای خود + سیستم ربات تک پیوندی نگاه کردم که گویی یک سیستم ربات دو پیوندی با یک اتصال چرخشی تک پیوندی 1 با پیوند 2 است. برای سادگی فقط حرکت مسطح را در یک اینرسی در نظر می‌گیرم. سیستم مختصات بدون نیروهای پتانسیل گرانشی که بر روی سیستم بازوی فضاپیما-ربات عمل میکنه. :
تصویر
سیستم بازوی ربات دو لینک نصب شده
در یک سیستم ربات پیوند صلب مسطح معمولی با دو مفصل چرخشی که روی یک پلت فرم ثابت نصب شده اند انرژی های پتانسیل ناشی از گرانشه. انرژی های جنبشی برای هر بخش را میتوانم به انرژی های حرکت خطی و از چرخش زاویه ای تجزیه کنم
برای پیوند 1 انرژی جنبشی ناشی از حرکت خطی مرکز ثقل پیوند 1 به حرکت دایره ای محدود میشه زیرا در اتصال 1 به پایه متصله. انرژی خطی آن $$L_1=\frac{1}{2} m_1a_{c1}^2\dot{\theta_1}^2,$$ که $m_1$ جرم پیوند 1 و $a_{c1}$ نیمه طول پیوند 1 است. انرژی دورانی مرتبط با پیوند 1 انرژی حاصل از چرخش حول مرکز جرم آن است. انرژی دورانی آن $$R_1=\frac{1}{2}I_1\dot{\theta_1}^2$$ است که $I_1$ ممان اینرسی پیوند 1 در مورد مرکز جرم آن است. بنابراین کل انرژی جنبشی پیوند 1 $L_1+R_1$ است.
برای پیوند 2 انرژی جنبشی نیز دارای اجزای خطی و چرخشی برای آن است. انرژی خطی را می توان به صورت هندسی با توجه به اینکه موقعیت (x,y) مرکز جرم پیوند 2 را می توان به صورت زیر محاسبه کنم
موقعیت مرکز جرم پیوند 2 $$P_x=a_1cos(\theta_1)+a_{c2}cos(\theta_1+\theta_2)$$ است و
$$P_y=a_1sin(\theta_1)+a_{c2}sin(\theta_1+\theta_2).$$
توجه داشته باشید که $a_1=2*a_{c1}$ طول کامل پیوند 1 و $a_{c2}$ نیمه طول پیوند 2 است.
با استفاده از قانون زنجیره می توان سرعت خطی را در جهت x و y به صورت $\dot{P_x}$ و $\dot{P_y}$ پیدا کرد. سپس انرژی جنبشی ناشی از حرکت خطی در مرکز جرم پیوند 2 $$L_2=\frac{1}{2}m_2v^Tv$$ است که در آن $v=[\dot{P_x} \dot{P_y}] ^T$.
انرژی چرخش مرکز جرم پیوند 2 شامل مجموع سرعت های دورانی هر دو اتصال 1 و 2 است. بنابراین انرژی دورانی حول مرکز جرم پیوند 2 $ R_2=\frac{1}{2}I_2(\ dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})^2 $ بنابراین انرژی جنبشی پیوند 2 $K_2=L_2+R_2$ است.
من به جزئیات انرژی پتانسیل نمی پردازم اما اجازه دهید فقط فرض کنیم که عبارت های $P_1$ و $P_2$ برای انرژی های پتانسیل پیوند 1 و پیوند 2 مرتبط با ارتفاع مرکز جرم هر پیوند وجود دارد.
بنابراین برای یک بازوی ربات مسطح گردان دو پیوندی و دو مفصلی میتوانیم لاگرانژ را به صورت $ \mathcal{L}=K_1+K2-P1-P2 = L1+R1+L2+R2-P1-P2 $بنویسیم.
فضاپیمای شناور آزاد با سیستم بازوی ربات تک پیوندی
برای به دست آوردن معادلات حرکت برای یک ربات شناور آزاد با یک بازوی رباتی که به یک سر آن متصل است این مدل را انتخاب میکنم و چند تغییر ایجاد میکنم:
فرض کنم لینک 1 یک فضاپیمای شناور آزاد است. بنابراین هیچ مفصل 1 مرتبط با این سیستم وجود نداره
زاویه $\theta_1$ را مجدداً به عنوان زاویه جهت (نگرش) فضاپیما با توجه به یک قاب مرجع اینرسی تعریف کنم.
از آنجایی که سیستم فضاپیما-ربات آزادانه در فضا شناوره من انرژی پتانسیل را برای فضاپیما و روبات صفر فرض میکنم (مثلاً با فرض عدم وجود اثرات گرادیان گرانش یا نیروهای اغتشاش بر روی سیستم). بنابراین $P_1=P_2=0$.
فضاپیما دارای انرژی جنبشی مرتبط با سرعت خطی آن است. با نشان دادن $\dot{x}$ و $\dot{y}$ به عنوان سرعت خطی فضاپیما (پیوند 1) انرژی خطی پیوند 1 تبدیل به $L_1=\frac{1}{2}m_1(\ dot{x}^2+\dot{y}^2).$ میشه فضاپیما همچنین دارای انرژی چرخشی مرتبط با سرعت زاویه‌ای آن $\dot{\theta_1}$ است که توسط $R_1=\frac{1}{1}{1} 2}I_1\dot{\theta_1}^2$
سوال من
من مطمئن نیستم که عبارات انرژی خطی و چرخشی را در پیوند 2 به درستی توصیف میکنم یا خیر. من فرض میکنم مرکز جرم پیوند 2 (بازوی ربات) دارای موقعیت (x,y) است که توسط:
$P_x = x + a_{c1}cos(\theta_1)+a_{c2}cos(\theta_1+\theta_2)$و$P_y = y + a_{c1}sin(\theta_1)+a_{c2}sin (\theta_1+\theta_2)$ بنابراین اگر من مشتقات زمانی $P_x$ و $P_y$ را مانند قبل در نظر بگیرم باید عبارتی برای سرعت $v=[\dot{P_x},\dot{P_y}] $ محاسبه کنم و انرژی جنبشی ناشی از حرکت خطی باید be $L_2=\frac{1}{2}m_2v^Tv$.
سوال 1:
آیا انرژی جنبشی پیوند 2 (بازوی ربات) باید شامل عباراتی با سرعت فضاپیما (پیوند 1) $\dot{x}$ و $\dot{y}$ در آن باشه؟ ذهن من مدام در مورد اینکه آیا باید سرعت فضاپیما را به عنوان بخشی از انرژی بازوی ربات لحاظ کنم یا خیر به عقب و جلو می رود.
سوال 2:
آیا انرژی دورانی فقط باید شامل مجموع سرعت های زاویه ای موقعیت فضاپیما ($\dot{\theta_1}$) و مفصل بازوی ربات $\dot{\theta_2}$ باشه. به طور خاص آیا نوشتن $R_2=\frac{1}{2}I_2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})^2$ صحیح است؟ من شک دارم که انرژی انرژی چرخشی پیوند باید مانند مورد بازوی ربات دو پیوندی پایه ثابت باشه اما به نظر نمی‌رسد هیچ منبع پتانسیل دیگری برای انرژی دورانی پیدا کنم.
آیا عبارات من برای $P_x$ $P_y$ و $R_2$ برای جعبه بازوی فضاپیما-ربات صحیح است؟ اگر نه کجا اشتباه کردم یا چه چیزی را از فراموش کردم؟
من گفتم میدان گرانشی وجود نداره فنر وجود نداره خمش بدنه وجود نداره اصطکاک وجود نداره - معلوم نیست چه دینامیکی را انتظار دارم که از این مشکل خلاص بشم!
حتی فراتر از آن باقی فرض روشن نیست. من در سوال 1 اشاره کردم که فضاپیما پیوند 1 است اما پس از آن پین کردن لینک 1 چیست؟ قبلا در متن سوال خودم گفتم
من به مدل سازی فضاپیمای خود + سیستم ربات تک پیوندی نگاه کردم که گویی یک سیستم ربات دو پیوندی با یک اتصال چرخشی منفرد پیوند 1 با پیوند 2 است.
اما در ادامه می گویید:
برای پیوند 1 انرژی جنبشی ناشی از حرکت خطی مرکز ثقل پیوند 1 به حرکت دایره ای محدود میشود زیرا در اتصال 1 به پایه متصله
دوباره من شروع می کنم و می گویید که فقط یک مفصل وجود داره سپس آن دو مفصل و یک پلت فرم ثابته
در مورد خود سوال 1: اگر لینک 1 دارای سرعت باشه و لینک 2 به لینک 1 متصل باشه لینک 2 نیز دارای آن سرعت است. تنها تفاوت سرعت در نتیجه هر حرکت در اتصال بین پیوندهای 1 و 2 خواهد بود.
در مورد سوال 2 انرژی چرخشی دقیقا وجود نداره انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل وجود دارد. هر انرژی جنبشی دورانی با دیگر اصطلاحات انرژی جنبشی گروه بندی می شود. یعنی پیوند 1 دارای مجموع انرژی جنبشی خود و پیوند 2 دارای مجموع انرژی جنبشی خود است.
از آنجایی که من واقعاً یک پلت فرم ثابت ندارم (یا دارم؟) پیوند 1 من قرار نیست حول اولین مفصل بچرخد. در عوض کل سیستم حول مرکز جرم سیستم می چرخد. سپس مکان آن مرکز جرم به نسبت جرم ها و زاویه اتصال بستگی دارد.
شاید همانطور که در ابتدا اشاره کردم بهتر است آنچه را که می خواهید مطالعه کنم روشن کنم و از آن به عنوان ابزاری برای راهنمایی بقیه رویکرد خود استفاده کنم. من فکر میکنم من باید به دنبال اعمال بقای تکانه خطی و حفظ تکانه زاویه ای برای سیستم به عنوان یک کل باشم و سپس سعی کنم داده مرجع و سایر اصطلاحات خود را به گونه ای تعریف کنم که بهترین روش را پشتیبانی کند.
من نمی توانم بیشتر از این کمک کنم زیرا دوباره مطمئن نیستم که تنظیمات دقیق سؤال را دنبال کنم. با این حال من می گویم که فکر میکنم تعریف مجدد داده مرجع من (نسبت به m1 یا m2) یک اشتباه است. این سیستم دارای یک مرکز جرم است. حرکت زاویه ای و خطی سیستم حفظ شده است بنابراین احتمالاً باید به دنبال تعریف هر چیز دیگری نسبت به مرکز جرم سیستم باشم. سپس باید شروع کنم به یافتن چیزهایی مانند سرعت های انتقالی فقط نسبت جرم ها و غیره زیرا باید اجزای عمودی افقی و زاویه ای تکانه را ثابت نگه دارم. این محدودیت ها (همراه با محدودیت سینماتیک مفصل) نحوه حل مشکل من هستند.
معادلات حرکت ربات
مدل بازوی رباتیک دو لینکی
. این پیکربندی را میتونم به عنوان آونگ دوگانه نیز در نظر بگیرم فرض می‌کنیم طول لینک‌های بدون جرم $l _ 1$.و$l _ 2$ بوده و به انتهای هریک از آن‌ها به ترتیب جرم‌های $m_ 1$و$m _ 2$ متصل شده باشه. زوایای $\theta _ 1$ و$\theta _ 2$
فرض می‌کنیم برای هر مفصل یک موتور وجود داشته باشه
بازوی رباتیک دو لینکی ساده یا آونگ دوگانه دربازوی رباتیک دو لینکی ساده یا آونگ دوگانه$\theta _ 1$ و$\theta _ 2$ زاویه‌های برای توصیف مناسب سیستم انتخاب شده‌اند. زیرا در این نوع نمایش به تعداد حداقل متغیرهای مستقل برای توصیف کامل سیستم نیاز است. میتونم از موقعیت‌های x و y جرم‌ها نیز برای به دست آوردن معادلات حرکت استفاده کرد. البته در این روش محدودیت‌های بیشتری را باید روی سیستم اعمال کرد تا تضمین شود طول لینک‌ها ثابت می‌ماند. چنین محدودیت‌ها و قیودی با اعمال محدودیت‌های پفافی (Pfaffin constraints) اعمال می‌شوند.
. در سیستم‌های رباتیک پیچیده یا شبیه‌سازی‌های بیومکانیکی موقعیت بردارها را میتونم با استفاده از نظریه پیچ‌ها (Screw Theory) یا پارامترهای دناویت-هارتنبرگ (Denavit–Hartenberg Parameters) به دست آورد. با استفاده از دستگاه مختصات مناسب میتونممعادلات حرکت را بسیار ساده کرد. البته این کار شاید همیشه ممکن نباشه. برای مثال مدل راه رفتن انسان با کف پای قوسی را نمیتونمبا چشم‌پوشی از قیود موقعیت و سرعت بین پا و زمین مدل کرد.یک ربات دوپای هفت‌لینکی با پای قوسی : یک ربات دوپای هفت‌لینکی با پای قوسی در ادامه معادلات حرکت را با استفاده از روش لاگرانژ به دست خواهم آورد.محاسبه موقعیت و سرعت
اولین گام محاسبه موقعیت همه اجرام سیستم است. در اینجا موقعیت جرم‌ها را نسبت به مرکزی که به پایه بازو الصاق شده و برحسب زوایای $\theta _ 1$ و$\theta _ 2$
محاسبه می‌کنیم:$\large \left [ \begin {array} { c } P _ { 1 , x } \\ P _ { 1 , y } \end {array} \right ] = \left [ \begin {array} { c } l _ 1 \cos ( \theta _ 1 ) \\ l _ 1 \sin ( \theta _ 1 ) \end {array} \right ]$
و$\large \left [ \begin {array} { c } P _ { 2 , x } \\ P _ { 2 , y } \end {array} \right ] = \left [ \begin {array} { c } l _ 1 \cos ( \theta _ 1 ) + l _ 2 \cos ( \theta _ 1 + \theta _ 2 ) \\ l _ 1 \sin ( \theta _ 1 ) + l _ 2 \sin ( \theta _ 1 + \theta _ 2 ) \end {array} \right ] .$
سپس سرعت را با استفاده از معادلات بالا به دست می‌آوریم:
$\large v = \frac { d P } { d t } = \frac { \partial P } { \partial \theta _ 1 } \dot { \theta } _ 1 + \frac { \partial P } { \partial \theta _ 2 } \dot { \theta } _ 2$
محاسبه انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل سیستم
در این بخش انرژی جنبشی و پتانسیل سیستم را محاسبه میکنم. انرژی جنبشی به صورت زیره
$\large KE = \frac { 1 } { 2 } m _ 1 v _ 1 ^ T v _ 1 + \frac { 1 } { 2 } m _ 2 v _ 2 ^ T v _ 2$
انرژی پتانسیل نیز به صورت زیر تعریف میشه
$\large PE = m _ 1 g P _ { 1 , y } + m _ 2 g P _ { 2 , y }$
استخراج معادلات حرکت ربات برای به دست آوردن معادلات حرکت ابتدا لاگرانژین L را تشکیل می‌دهیم:$\large L = KE - PE$
سپس معادلات حرکت با کمک رابطه زیر به دست می‌آیند:$\large \frac { d } { d t } \left ( \frac { \partial L } { \partial \dot { q } } \right ) - \frac { \partial L } { \partial q } = \tau$
که در آن $q = [ \theta_1, \theta_2]^T$ بردار موقعیت و سرعت زاویه‌ای است و $\tau$
بردار گشتاورهای اعمالی توسط موتورها در دو مفصل است. پس از مرتب‌سازی جملات معادلات حرکت را میتونمبه صورت زیر نوشت:
$\large D ( q ) \ddot { q } + C ( q , \dot { q } ) \dot { q } + G ( q ) = \tau$ یا$\large \ddot { q } = D ( q ) ^ { - 1 } ( \tau - C ( q , \dot { q } ) \dot { q } - G ( q ) )$
می‌توانیم معادله بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:$\large \ddot { q } = \alpha ( q , \dot { q } ) + \beta ( q ) \tau$
که در آن $\alpha ( q , \dot { q } ) = D ( q ) ^ { - 1 } ( - C ( q , \dot { q } ) \dot { q } - G ( q ) )$
این فرم معادله در کنترل بسیاری از سیستم‌های غیرخطی معمول است. دسته‌های خاص سیستم‌های بالا که در آن‌ها ورودی یک جمله خطی اضافه دارد فرم کنترل-افاین (Control-Affine Form) نامیده میشه
خطی‌سازی معادلات حرکت ربات
هرچند همه سیستم‌های موجود در طبیعت غیرخطی هستند اما میتونمسیستم را با یک سیستم خطی از معادلات تحت فرضیات مشخصی خطی کرد. یکی از فرضیات اصلی این است که اندازه موقعیت و سرعت سیستم کم است.
این مورد در مثال‌هایی که پایدارسازی سیستم در برابر آشفتگی‌های خارجی مورد نظر است رواج دارد. برای مثال اگر بخواهیم ربات با دو مفصل را در موقعیت مشخص
q_0$$ نگه داریم آنگاه باید فرض کنیم که نتیجه آشفتگی‌های خارجی کوچک است. بنابراین می‌توانیم از سری تیلور به صورت ماتریسی حول نقطه پایدار $q _ 0$ استفاده کنیم. سیستم در $q _ 0$
و $\dot {q } = 0$ ¨و$\ddot { q} = 0$ در تعادل است. بنابراین خواهیم داشت:$\large 0 = \alpha ( q _ 0 , 0 ) + \beta ( q _ 0 ) \tau _ 0 ,$
یا$\large \tau _ 0 = - \beta ( q _ 0 ) ^ { - 1 } \alpha ( q _ 0 , 0 ) .$ از بسط تیلور برای یک تابع دومتغیره استفاده می‌کنیم:
$\large f ( x + \delta x , y + \delta y ) \approx f ( x , y ) + \left . \frac { \partial f } { \partial x } \right | _ { ( x , y ) } \delta x + \left . \frac { \partial f } { \partial y } \right | _ { ( x , y ) } \delta y .$ با استفاده از معادله بالا حول $q = q_0$ و$\dot{q} = 0$ داریم:
$\large \begin {align*}\delta \ddot { q } & = \alpha ( q _ 0 , 0 ) + \left . \frac { \partial \alpha } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta q + \left . \frac { \partial \alpha } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta \dot { q } \\ & + \left ( \beta ( q _ 0 , 0 ) + \left . \frac { \partial \beta } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta q \right ) \left ( \tau _ 0 + \delta \tau _ 0 \right ) + H.O.T \end {align*}$
با بازآرایی و صرف‌نظر کردن از جملات مرتبه بالاتر خواهیم داشت:
$\large \delta \ddot { q } = \underbrace { \left . \frac { \partial \alpha } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta q + \left . \frac { \partial \alpha } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta \dot { q } + \left . \frac { \partial \beta } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , 0 ) } \delta q \tau _ 0 } _ { \text {Linear in } \delta q \text { and } \delta \dot { q } } + \underbrace { \beta ( q _ 0 ) \delta \tau _ 0 } _ { \text {Linear in } \delta \tau _ 0 }$
بنابراین معادلات حرکت را میتونمبا یک سیستم دینامیکی خطی ساده‌تر حول $q _ 0$ و$\dot { q } = 0$ بیان کرد.
در مواردی که سیستم افاین نیست بسط تیلور را میتونمبه صورت زیر مورد استفاده قرار داد:$\large \ddot q _ 0 + \delta \ddot q = f ( q _ 0 + \delta q , u _ 0 + \delta u ) \approx f ( q _ 0 , u _ 0 ) + \left. \frac { \partial f } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , u _ 0 ) } \delta q + \left . \frac { \partial f } { \partial u } \right | _ { ( q _ 0 , u _ 0 ) } \delta u .$
با در نظر گرفتن $\ddot q_0 = f(q_0 ,u_0)$
داریم:$\large \delta \ddot q = \left . \frac { \partial f } { \partial q } \right | _ { ( q _ 0 , u _ 0 ) } \delta q + \left . \frac { \partial f } { \partial u } \right | _ { ( q _ 0 , u _ 0 ) } \delta u .$
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3230

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

Re: معادله حرکت بازوی چند پیوندی

پست توسط rohamavation »

ممان اینرسی چگونه از طریق یک سری اهرم منتقل میشه
هدف نهایی من : ممان اینرسی را که انگشت هنگام فشار دادن کلید پیانو تجربه میکنم محاسبه کنم تصور کنم دو اهرم به هم پیوسته دارید (به طوری که خروجی یکی به صورت مکانیکی به ورودی دیگری متصل میشه). هر اهرمی که وزن‌های دلخواه را حمل می‌کند دارای گشتاور اینرسی مربوط به نقطه محوری خود است. این ممان های اینرسی فردی را میتوان به راحتی با استفاده از تقریب میله های نازک قضیه محور موازی و غیره محاسبه کرد.بخش دشوار برای من زمانی اتفاق می افتد که من سعی می کنم کل ممان اینرسی سیستم را در مورد محور اهرم اول محاسبه کنم. به یاد بیاورید که از آنجایی که اهرم ها به هم متصل هستند I اهرم اول به نحوی تابع I اهرم دوم خواهد بود. آنچه من به دنبال آن هستم همانطور که از عنوان نشان می دهد این است که چگونه این ممان اینرسی منتقل میشه.
در ابتدا فکر کردم که می توانم از تعریف اولیه ممان اینرسی استفاده کنم:$I=\int_V{r^2dm}$
با V به عنوان سیستم اهرمی جامد (اگرچه با دست دشوار است اما این کار به راحتی با یک مدل SolidWorks انجام میشه) اما سپس این مقاله را در مورد انعکاس گشتاور اینرسی از طریق یک سیستم با یک موتور دو چرخ دنده و یک بار در انتهای دیگر این پیشنهاد کرد که کل I در موتور:$I_{Total}=\frac{I_2}{N^2}+I_1$
با I1 ممان اینرسی موتور در مورد CM I2 ممان اینرسی بار در مورد CM آن و N نسبت دنده است. از آنجایی که اهرم ها مشابه چرخ دنده ها هستند من پیش بینی کردم که انتقال گشتاور اینرسی از طریق سیستم 2 اهرمی تصوری من مانند معادله بالا خواهد بود فقط به جای یک نسبت دنده خواهیم داشت:$N=\frac{B_1}{A_1}*\frac{B_2}{A_2}$
که در آن B1 طول بخش عقب اهرم 1 A1 طول بخش جلویی اهرم 1 و غیره است.
$I_{Total}=I_2(\frac{B_1}{A_2})^2+I_1$
که باعث میشه N هم $N=\frac{A_2}{B_1}$
بنابراین به نظر می رسد برای محاسبه ضریب دنده (یا بهتر است بگوییم مزیت مکانیکی) او فقط بخش ورودی اهرم دوم و بخش خروجی اهرم اول را درگیر کند در حالی که من همه بخش ها را درگیر کردم.بنابراین در نهایت سوالات:
آیا واقعاً استفاده از شکل یکپارچه سازی ساده گشتاور اینرسی (نشان داده شده در بالا) برای یک سیستم اهرمی نادرست است؟
آیا تعمیم این فرمول اینرسی لنگر دنده به اهرم ها نادرست است؟اگر هیچ یک از فرمول های بالا صحیح نباشد روش صحیح محاسبه ممان اینرسی در مورد محور اول اهرم در سیستم اهرم چیست؟
فکر می‌کنم ممکن است تبدیل از ضریب دنده به ضریب دنده مشابه برای اهرم‌ها را اشتباه متوجه شده باشم اما تعجب می‌کنم که نتوانسته‌ام هیچ منبع خوبی در این مورد آنلاین پیدا کنم.
اکشن پیانوی بزرگ شامل یک سیستم از 3 اهرم به هم پیوسته است که به شکل زیر است:
تصویر
جایی که L1 بخش ورودی اهرم 1 است L2 بخش خروجی اهرم 1 است L3 بخش ورودی اهرم 2 و غیره است. اهرم های 1 2 و 3 به ترتیب آبی قرمز و سبز هستند. انگشت L1 را فشار می دهد این نیرو را از طریق اهرم ها منتقل میکنم که در نهایت چکش (انتهای L6) را به سمت رشته پرتاب میکنم.
جرم موثری که هر کدام $F_x$ و$F_y$ را وارد میکنم چقدر است در مکانیسم زیر احساس می کنم؟
تصویر
من در نقطه P یک جسمه صلب داریم که نیروی طبیعی آن $F_x$ و نیروی عمود بر $F_y$ از نقطه B و یک جرم $m_a$
به نقطه A دیگر متصل است. علاوه بر این جسم دارای جرم $m_c$ است
و گشتاور جرمی اینرسی$I_c$ در مرکز نقطه جرم C قرار داره.جرم موثری که نیروی نرمال $F_x$ داره
sees بی نهایت است زیرا در مقابل pivot استفاده میکنم. اما نیروی عمود $F_y$
جرم موثری از$m_y = \frac{I_c + m_c r_c^2 + m_a r_a^2}{r_b^2} \tag{1}$
این است که میتونم عبارتی مانند$F_y = m_y \ddot{y}$ بنویسید که در آن جهت y در امتداد محور $F_y$ است
.این از سینماتیک و معادلات حرکت جسم مشتق شده است که گشتاور اعمال شده بر محور$\tau = F_y r_b$ را به هم مرتبط میکنم. با کل MMOI در مورد محوری ضرب شتاب زاویه ای.اما نیرویی در B در امتداد جهت دیگری چه میشه. سپس فاصله $r_b$ را دوباره تعریف می کنم بازوی ممان ای (فاصله عمود بر) نیرو باشد
تصویر
حالا قسمت جالب تر می آید. من دو جسم متصل دارید با یک درجه آزادی. مانند مکانیزم لغزنده-لنگ. بیایید سعی کنیم جرم موثر نیروی پیستون F را بفهمیم به عنوان تابعی از زاویه میل لنگ $\varphi$
تصویر
هر پیوند دارای خواص جرمی مجزای $m_1$ و$I_1$ و$m_2$ و$I_2$ و همچنین محل مرکز جرم نسبت به پین $c_1$ و $c_2$ . طول کلی پیوندها $\ell_1$است
و $\ell_2$ . توجه: لنگ های واقعی $c_2$ دارند به عنوان یک مقدار منفی یا صفر.در اینجا لازم است ابتدا سینماتیک را در نظر بگیریم تا شتاب هر مرکز جرم را بیابیم اما هر اصطلاح مربوط به سرعت را نادیده بگیریم زیرا ما فقط به اثرات شتاب علاقه داریم. وقتی نیرو را اعمال می کنیم مثل این است که مکانیسم در حالت استراحت است.دریافتیم که$\sin \beta = \frac{\ell_2}{\ell_1} \sin \varphi$ و اینکه چگونه شتاب های زاویه ای به شتاب نقطه C بستگی داره.
$\begin{aligned} \ddot \varphi & = - \frac{\cos \beta}{\ell_2 \sin(\beta+\varphi)} \ddot y & \ddot \beta & = - \frac{\cos \varphi}{\ell_1 \sin(\beta+\varphi)} \ddot y \end{aligned} \tag{2}$
سپس معادلات حرکت را در نقطه A و در نقطه B برای دو پیوند می نویسیم. ما دو جهت نیرو را با تعادل گشتاور خارج از صفحه ترکیب می کنیم. همچنین می‌توانیم یک گشتاور τA اعمال کنیم ببینیم چه تاثیری روی حرکت داره.
$\begin{aligned} \ddot \varphi & = - \frac{\cos \beta}{\ell_2 \sin(\beta+\varphi)} \ddot y & \ddot \beta & = - \frac{\cos \varphi}{\ell_1 \sin(\beta+\varphi)} \ddot y \end{aligned} \tag{2}$
$\begin{pmatrix}B_{x}\\
B_{y}\\0
\end{pmatrix}-\begin{bmatrix}1\\
& 1\\
-\ell_{1}\cos\beta & -\ell_{1}\sin\beta & 1
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}C_{x}\\
-F\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c_{1}m_{1}\cos\beta\\
-c_{1}m_{1}\sin\beta\\
I_{1}+m_{1}c_{1}^{2}
\end{pmatrix}\ddot{\beta} \tag{4}$
که 6 معادله برای 6 مجهول حل میشه چهار پین نیروهای$A_y$و$A_y$و$B_x$و$B_y$


توسط بار جانبی پیستون $C_x$
و شتاب $\ddot y$متأسفانه من نمیتونم به سادگی بیان کنم که $F = m_{\rm eff} \ddot y$
زیرا به دلیل این که شاتون همیشه تحت شتاب دورانیه از رابطه (2) لغزنده بدون اعمال نیروی حرکت میکنه
سپس مسائل دیگری وجود داره مانند این که $\ddot y$ علائم را برای همان جهت F می چرخاند
برای زوایای مختلف میل لنگ همچنین هنگامی که پیوندها همه در یک خط باشند جرم موثر بی نهایته
منظور من این است که انجام مدل‌سازی ریاضی یک سیستم مفصلی از اجسام به سرعت به یک کار دلهره‌آور تبدیل می‌شود. در روش مسطح من 3n دارید معادلات موازنه نیرو علاوه بر n شرایط محدودیت (مانند گشتاور صفر در پین ها) و 3n
روابط سینماتیک برای اتصال همه چیز به یکدیگر لازم است.بنابراین یک سیستم مسطح با حداقل n=4
اجسام مانند مکانیسم عمل پیانو نیاز به در نظر گرفتن 28 معادله خطی همزمان و تعداد مساوی از متغیرهای مجهول دارند. در حالی که در سه بعدی این 52 معادله خواهد بود.
در نهایت کمی امید در اینجا. یک روش سیستماتیک برای پاسخ دادن به ماتریس جرم موثر جسم متصل به چندین جسم دیگر با استفاده از الگوریتم Featherstone وجود داره. این در چندین موتور بازی و سایر نرم افزارهای رایانه ای پیاده سازی شده است زیرا چنین مشکلاتی را فقط به حل n کاهش می دهد معادلات که در کنار هم قرار دادن آنها بسیار پیچیده تر است.تصویر
فرض کنم 2 اهرم دارید. برای هر اهرم مرکز جرم (CM) تانسور اینرسی CM را می دانید. برای به دست آوردن اینرسی کل باید یک فریم اینرسی (قرمز) تعریف کنم.**اهرم 1**
$I_1=\left[ \begin {array}{ccc} J_{{{\it x1}}}&0&0\\ 0&J
_{{{\it y1}}}&0\\ 0&0&J_{{{\it z1}}}\end {array}
\right]$
ماتریس چرخش بین اهرم 1 و سیستم I به صورت زیر است:
$S_1=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \varphi _{{1}} \right) &-\sin
\left( \varphi _{{1}} \right) &0\\ \sin \left(
\varphi _{{1}} \right) &\cos \left( \varphi _{{1}} \right) &0
\\ 0&0&1\end {array} \right]$
بنابراین I1 انتقال به سیستم I (تبدیل محور موازی):$I_{1I}=S_1\,I_1\,S_1^T-m_1\,\tilde{{R}}_1\,\tilde{{R}}_1$
جایی که :$\tilde{{R}}_1=\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&-\sin \left( \varphi _{{1}} \right) L_
{{1}}\\ 0&0&\cos \left( \varphi _{{1}} \right) L_{{1
}}\\ \sin \left( \varphi _{{1}} \right) L_{{1}}&-
\cos \left( \varphi _{{1}} \right) L_{{1}}&0\end {array} \right]$
**اهرم 2**
$I_2=\left[ \begin {array}{ccc} J_{{{\it x2}}}&0&0\\ 0&J
_{{{\it y2}}}&0\\ 0&0&J_{{{\it z2}}}\end {array}
\right]$و$S_2=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \varphi _{{2}} \right) &\sin
\left( \varphi _{{2}} \right) &0\\ -\sin \left(
\varphi _{{2}} \right) &\cos \left( \varphi _{{2}} \right) &0
\\ 0&0&1\end {array} \right]$
$I_{2I}=S_2\,I_2\,S_2^T-m_2\,\tilde{{R}}_2\,\tilde{{R}}_2$
جایی که:$\tilde{{R}}_2=\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&-\sin \left( \varphi _{{2}} \right) L_
{{2}}\\0&0&-\cos \left( \varphi _{{2}} \right) L_{{
2}}\\ \sin \left( \varphi _{{2}} \right) L_{{2}}&
\cos \left( \varphi _{{2}} \right) L_{{2}}&0\end {array} \right]$
اینرسی کل است:$I_T=I_{1I}+I_{2I}$
مورد من دو بعدی است بنابراین $J_{xi}=0\,,J_{y_i}=0$
و من دریافت می کنم
$I_{Tz}=J_{{{\it z1}}}+{\it m1}\,{L_{{1}}}^{2}+J_{{{\it z2}}}+{\it m2}\,{L_{{2
}}}^{2}$تصویر
مورد سه بعدی تبدیل محور موازی $I (3\times 3)$ مرکز اینرسی جرم
$S (3\times 3)$ ماتریس تبدیل بین CM و O-system
$\vec{R} (3\times 1 )$
فاصله بین CM و O-system
جرم جسم سفت معادله محاسبه تانسور اینرسی در سیستم o به صورت زیر است:
$\boxed{I_O=S\,I_{\text{CM}}\,S^T-m\,\widetilde{\left(S\,\vec{R}\right)}\,\widetilde{\left(S\,\vec{R}\right)}}$
جایی که :$S\,\vec{R}=\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}$
و$\widetilde{\left(S\,\vec{R}\right)}=\left[ \begin {array}{ccc} 0&-z&y\\ z&0&-x
\\ -y&x&0\end {array} \right]$
جرم موثر پیستون تصویر
می خواهیم معادله $M_y\,\ddot{y}=F$ رامحاسبه میکنم
بنابراین$M_y$
جرم موثر است:I) بردارهای موقعیت
:$\vec{R}_C=\begin{bmatrix}
0 \\
y \\
\end{bmatrix}$
و$\vec{R}_{\text{Crank}}=c2\,\begin{bmatrix}
\cos(\varphi) \\
\sin(\varphi) \\
\end{bmatrix}$
و
$\vec{R}_{\text{Conrod}}=(l2-c2)\,\begin{bmatrix}
\sin(\beta) \\
-\cos(\beta)+y \\
\end{bmatrix}$
با:$\beta=\arcsin \left( {\frac {{\it l2}\,\sin \left( \varphi \right) }{{\it
l1}}} \right)$ و$y={\it l2}\,\cos \left( \varphi \right) +\sqrt {{{\it l1}}^{2}-{{\it l2
}}^{2}\sin \left( \varphi \right) }
\tag 1$
II) انرژی جنبشی$T=\frac{1}{2}\,m_{\text{Piston}}\dot{y}^2+
\frac{1}{2}\,m_{\text{Crank}}\dot{v}_{\text{Crank}}^2+
\frac{1}{2}\,J_{\text{Crank}}\dot{\varphi}^2+
\,m_{\text{Conrod}}\dot{v}_{\text{Conrod}}^2+
\frac{1}{2}\,J_{\text{Conrod}}\dot{\beta}^2$
جایی که$v^2=\vec{\dot{R}}^T\,\vec{\dot{R}}$
بدین ترتیب:
$T=T(\varphi\,,\dot{\varphi}^2)$
معادله حرکت:$M_\varphi\,\ddot{\varphi}=\frac{\partial y}{\partial \varphi}\,F+\mathbb{0}(\dot{\varphi})\tag 2$
با معادله (1) به دست می آورید$\ddot{y}=\frac{\partial y}{\partial \varphi}\,\ddot{\varphi}+\mathbb{0}(\dot{\varphi})\tag 3$
بنابراین (معادله (2) و (3)) به محاسبه میکنم
$\underbrace{M_\varphi\,\left[\frac{\partial y}{\partial \varphi}\right]^{-2}}_{M_y(\varphi)}\,\ddot{y}=F$
جایی که:$M\varphi=\frac{\partial}{\partial\dot{\varphi}}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{\varphi}}\right)$
تصویر

ارسال پست