(حداقل سرعت مورد نیاز برای پرش از روی جسم کروی که شعاع R و در فاصله d دارد چقدره؟)
(فرض کنید توپ قرمز بسیار کوچیکه و پرتاب به شکل h=0 و دیوار آبی بسیار نازکه)
d و h میتوانند هر عدد حقیقی مثبتی باشند. g یک شتاب گرانشی است (تقریباً 9.80665 m/s2 ).
اجازه دهید توپ قرمز در نقطه مبدا و y ارتفاع باشد
رابطه بین x و y برای حرکت پرتابه $y(x) = xtan\theta - \frac{gx^2}{2u^2cos^2\theta}$ است. ، $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$وضعیت دیوار y(d)≥h است اما برای $u_{min}$
، $y(d)=h$
$dtan\theta - \frac{gd^2}{2u^2cos^2\theta} = h$
$tan\theta - \frac{gd}{2u^2cos^2\theta} = \frac{h}{d}$
$\frac{gd}{2u^2cos^2\theta} = tan\theta - \frac{h}{d}$
$u = \sqrt{ \frac{gd}{2cos^2\theta( tan\theta - \frac{h}{d} )} }$
در این مرحله، من نمی دانم چگونه $u_{min}(d,h)$ را پیدا کنم
از این معادله (اگر مقدار d و h را بدهید (مثلاً d = 2m و h = 1m)، می توانید θ را پیدا کنید.
من فقط می دانم که y(x) (منحنی سهمی) برای $u_{min}(d,h)$
شبیه.مورد: d ≤ ch (c یک ثابت است. نسبتی وجود دارد که اگر d > ch , y(x) نقطه حداکثر در بالای دیوار نخواهد داشت.)
در$u_{min}(d,h)$
$2\theta = -\tan^{-1}\frac{d}{h}$
$\sin(2\theta) = \frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}} , \cos(2\theta) = -\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}}$
$= \sqrt{ \frac{gd}{\sin(2\theta)-\frac{h}{d}(1+\cos(2\theta))} }$
$= \sqrt{ \frac{gd}{ \frac{d}{\sqrt{d^2+h^2}}-\frac{h}{d}(1-\frac{h}{\sqrt{d^2+h^2}})} }$
$= \sqrt{ \frac{gd}{ \frac{d+h}{\sqrt{d^2+h^2}}-\frac{h}{d} } }$
جایگزینی (d,h)
معادله استاندارد مسیر پرتابه را می دهد
$h=d\tan\theta-\frac {gd^2}{2u^2\cos^2\theta}$
$u^2=\frac {gd^2}{2\cos^2\theta(d\tan\theta-h)}$
$R=\sqrt{d^2+h^2})$
${gd^2}{R(\frac dR\sin2\theta+\frac hR\cos 2\theta) -h}$
$=\frac {g(R^2-h^2)}{R(\sin2\theta\cos\alpha+\cos 2\theta\sin\alpha) -h}
$
$\scriptsize(\tan\alpha=h/d)\\
$
$=\frac {g(R^2-h^2)}{R(\underbrace{\sin(2\theta-\alpha))}_{<=1}-h}\\
$
${u^*}^2=\frac {g(R^2-h^2)}{R-h}
$
$=\color{green}{g(\sqrt{d^2+h^2}+h)}
$ توجه داشته باشید که سرعت پرتاب زمانی حداقل است که $2\theta-\alpha=\frac\pi2$ باشد
، یعنی وقتی $\theta=\frac\pi 4+\frac\alpha 2$
.$f(\theta) = \sin(2\theta)-\frac{2h}d \cos^2\theta.$
(f(θ)
بار ثابت مقدار $1/u^2$ را می دهد
برای دستیابی به ارتفاع h مورد نیاز است
در فاصله افقی d .حساب پایه به شما می گوید که این تابع یک نقطه بحرانی منحصر به فرد در $(0,\pi/2)$دارد.
و اینکه حداکثر امتیاز است. این حداکثر زمانی اتفاق می افتد که
$\tan(2\theta) = -\frac dh.$
$f(\theta) = \sin(2\theta)-\frac{2h}d \cos^2\theta = \sin(2\theta)-\frac{h}d (1+\cos2\theta)$
$f'(\theta) = 0 = 2\cos(2\theta)-\frac{h}{d} (0-2\sin(2\theta)$
$-\frac{h}{d}\sin(2\theta) = \cos(2\theta)$
$\tan(2\theta) = -\frac{d}{h}$اما من $\tan(2\theta) = -\frac{d}{2h}$ را دریافت نمی کنم
–$(2\cos^2\theta)*( \tan\theta - \frac{h}{d} ) = \sin2\theta - \frac{2h}{d}\cos^2\theta$ –
به جای جستجوی حداقل سرعت پرتاب u
می توان حداکثر مقدار (معکوس) زیر را حل کرد: $C = g/u^2$
،$C d^2= - h + h \cos (2 \theta) + d \sin(2 \theta)$
$C_{\max} d^2 = - h + \sqrt{h^2+d^2}$
