استخراج معادله دینامیک دورانی با تغییر گشتاور اینرسی

[rohamavation]

من سعی می کنم معادله را بفهمم$\vec M = I\dot {\vec\omega} + \vec \omega \times I\vec \omega + \dot I\vec \omega$
من میتونم بفهمم که دو عبارت اول در RHS از کجا آمده اما آخرین عبارت$\dot I\vec \omega$
من نمیتونم بفهمم که تغییر در ممان اینرسی را نشون میده من میدونم که این چیزیه که به قانون سوم نیوتن مربوط میشه
من اینطور فکر کردم: شبیه معادله انتقال که$V_{re}$ را شامل می شود
معادله روتیشن هم $\vec M = I\dot {\vec\omega} + \vec \omega \times I\vec \omega + \dot I\vec \omega_{re}$
جواب خب معلومه که انگولار مومنتوم؟$\vec{L}=I\vec{\omega}$است، و گشتاور است$\vec{M}=\dfrac{d\vec{L}}{dt}$استخراج $\frac{d}{dt}\mathbf L = I \dot{\boldsymbol \omega} = \mathbf M - \boldsymbol \omega \times \mathbf L$من می خواهم بدونم که مقدار فوق چگونه به دست می آید (در اینجا M نرخ تغییر انگولار مومنتوم؟ نسبت به یک فریم غیر اینرسیه. من سعی کردم به منابع مختلف نگاه کنم و نتونستم استخراجی پیدا کنم. من نمیدونم کجا $\vec{\omega} \times \mathbf{L}$ وارد این معادله شد در چه مواردی $\vec{\omega} \times \mathbf{L}$است
زیرا اگر$\vec{\omega}$ در جهت L بودند
این دیگر حرکت روتیشن نخواهد بود؟ من فکر میکنم با توجه به شکل فعلی معادله ام من باید چند فرض را در مورد زمینه مشکل الان که باهاش مواجه شدم بیان کنم:L انگولار مومنتوم؟در یک فریم ثابته $\mathbf{M}$
به نرخ تغییر انگولار مومنتوم؟ در یک فریم که با بردار انگولار ولوسیتی$\vec{\omega}$ در حال روتیشن است اشاره داره
$\vec{\omega}$ در ترم پایانی معادله عمدتاً با ω ارتباطی نداره
در $I\dot{\omega}$. اولی سرعت روتیشن خود فریم روتیتینگ رفرنس در حالی که دومی انگولار ولوسیتی جسم در فریم رفرنس ثابت است. آنها واقعاً باید نمادهای متفاوتی داشته باشند.
با توجه به این، تبدیل بالا یک مثال خاص از یک فرمول بسیار کلیه برای هر بردار Qنرخ تغییر آن در یک فریم ثابت و نرخ تغییر آن در یک فریم که با بردار انگولار ولوسیتی میچرخه$\vec{\omega}$
مربوط به:$\left(\frac{d\mathbf{Q}}{dt}\right)_{fixed}=\left(\frac{d\mathbf{Q}}{dt}\right)_{rot}+\vec{\omega}\times\mathbf{Q}$
انگولار مومنتوم وکتور $\vec{L}=I\,\vec{\omega}$
اگر مولفه های انگولار ولوسیتی را بگیرم $\vec{\omega}$
در فریم B و تانسور اینرسی I همچنین در B-Frame مولفه های انگولار مومنتوم در قاب I را با این معادله محاسبه کردم
$\vec{L}_I=R\,I_B\,\vec{\omega}_B\tag roham_ 1$که در آن R ماتریس تبدیل بین B-frame و I-frame است.مشتق زمانی معادله (1):
$\frac{d}{dt}\vec{L}_I=R\,I_B\,\vec{\dot{\omega}}_B+\dot{R}\,I_B\,\vec{\omega}_B\tag roham_ 2$
با:$\dot{R}=R\,\left[\tilde{\omega}\right]_B=R\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}}
\\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\
-\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right]_B$
⇒ معادله (2)
$\frac{d}{dt}\vec{L}_I=R\,I_B\,\vec{\dot{\omega}}_B+R\left[\vec{\omega}_B\times (I_B\,\vec{\omega}_B)\right]\tag roham_ 3$
معادله (3) را از سمت چپ با $R^T$ ضرب کردم $\quad R^T\,R=I_3$)
$\underbrace{R^T\,\frac{d}{dt}\vec{L}_I}_{\vec{M}}=I_B\,\vec{\dot{\omega}}_B+\vec{\omega}_B\times \underbrace{(I_B\,\vec{\omega}_B)}_{\vec{L}_B}$
بدین ترتیب :$\vec{M}=\left(\frac{d}{dt}\vec{L}_I\right)_B$
من از این علامت گذاری استفاده می کنم شاخص B فریم جسم وشاخص I فریم اینرسی

​