موثرترین راه برای انتقال گرما در شرایط زیر چیه؟
شرایط خاصم یک استوانه یا لوله عمودی به طول 100-30 سانتی متر به قطر 5-10 سانتی متر به شدت عایق حرارتی به جز قسمت پایین در یک محیط جامد (به جز در بالا که در هوا قرار دادم) قرار میگیره که مشخصات دمای عمودی آن متفاوته. به صورت ساعتی و قطبیت را تغییر میده (دلتا T=T_top - T_bot علامت تغییر میکنه) و اختلاف دما در حدود 2-10 درجه سانتیگراد داره
پایین سیلندر به یک سینک حرارتی تعبیه شده در محیط جامد اطراف متصله. قسمت بالایی دارای یک لایه عایق نازک بین آن و هوا است.
هدف اینه که دمای بالا تا حد امکان به دمای پایین نزدیک بشه اولین فکر من استفاده از یک استوانه فلزی جامد (احتمالاً آلومینیوم و نه مس به دلایل هزینه) بود زیرا انتقال حرارت رسانا نسبت به قطبیت دمای بالا/پایین آگنوستیک است.
استفاده از همرفت آزاد در یک لوله با استفاده از آب و غیره وسوسه انگیز است که احتمالاً در انتقال گرما بسیار مؤثرتر است. با این حال، اگر بالا گرمتر از پایین باشد، جابجایی تمام سیلندر اتفاق نخواهد افتاد. جابجایی اجباری یا پمپاژ قابل بحث نیست.
بهترین روش در اینجا چیه آیا ترکیبی از میله های رسانای فلزی در یک سیلندر در غیر این صورت پر از مایع بهتره
برخی از سیستم های گرمایش آب خورشیدی از لوله ای با سیالی استفاده میکنند که تبخیر / متراکم میشه و همانطور که توضیح میدم گرما را از انتها به انتها منتقل میکند.
آنها طوری طراحی شدن که ترجیحاً در یک جهت کار کنند زیرا یک انتهای آن دارای حباب یا قطر بزرگتر برای انتقال بهتر گرما است.
پاسخ دینامیکی تغییر دما هنگامی که سیالات یکسانی که در جریان هستند با هم مخلوط میشوند
هیت اکسچنجر سیستمی است که برای انتقال حرارت بین منبع و سیال در حال کار استفاده میشه مدلی از مبدل هیت اکسچنجر
هیت اکسچنجر ممکنه به عنوان دو لوله مستقیم با جریان سیال در نظر گرفته بشع که از نظر حرارتی به هم متصل هستند. بگذارید لوله ها با طول L مساوی باشند و مایعاتی با ظرفیت گرما را حمل کنند
$C_{i} $(انرژی در واحد جرم در واحد تغییر دما) و اجازه دهید سرعت جریان جرمی سیالات از طریق لوله ها، هر دو در یک جهت باشه
$j_i$ (جرم در واحد زمان) که در آن زیرنویس i برای لوله 1 یا لوله 2 اعمال میکنم
پروفیل های دما برای لوله ها هستند
$T_{1}(x)$ و$T_{2}(x)$ که در آن x فاصله در طول لوله است. یک حالت ثابت را فرض میکنم به طوری که پروفایل های دما تابع زمان نباشن همچنین فرض میکنم که تنها انتقال گرما از حجم کمی از سیال در یک لوله به عنصر سیال در لوله دیگر در همان موقعیته یعنی به دلیل اختلاف دما در آن لوله انتقال گرما در طول یک لوله وجود نداره. بر اساس قانون سرد شدن نیوتن سرعت تغییر انرژی حجم کوچکی از سیال با اختلاف دما بین آن و عنصر مربوطه در لوله دیگر متناسبه
${\frac {du_{1}}{dt}}=\gamma (T_{2}-T_{1})$
${\frac {du_{2}}{dt}}=\gamma (T_{1}-T_{2})
$این برای جریان موازی در یک جهت و گرادیان های دما مخالفه اما برای تبادل حرارت مخالف جریان مخالف در معادله دوم مقابل علامت مخالفه
${\displaystyle \gamma (T_{1}-T_{2})}$، که در آن$u_{i}(x)$ انرژی حرارتی در واحد طول و γ ثابت اتصال حرارتی در واحد طول بین دو لولیه. این تغییر در انرژی داخلی منجر به تغییر دمای عنصر سیال میشه نرخ زمانی تغییر برای عنصر سیال که توسط جریان
${\frac {du_{1}}{dt}}=J_{1}{\frac {dT_{1}}{dx}}
$
${\frac {du_{2}}{dt}}=J_{2}{\frac {dT_{2}}{dx}}
$جایی که$J_{i}={C_{i}}{j_{i}}$
نرخ جریان جرم حرارتیه. معادلات دیفرانسیلم
$J_{1}{\frac {\partial T_{1}}{\partial x}}=\gamma (T_{2}-T_{1})
$و$J_{2}{\frac {\partial T_{2}}{\partial x}}=\gamma (T_{1}-T_{2}).
$توجه داشته باشید که از آنجایی که سیستم در حالت پایداره هیچ مشتق جزئی دما نسبت به زمان وجود نداره و از آنجایی که انتقال حرارت در طول لوله وجود نداره مشتق دومی در x وجود ندارهکه در معادله گرما پیدا بشه. این دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول $T_{1}=A-{\frac {Bk_{1}}{k}}\,e^{{-kx}}$و$T_{2}=A+{\frac {Bk_{2}}{k}}\,e^{{-kx}}$جایی که$k_{1}=\gamma /J_{1}, $و$k_{2}=\gamma /J_{2},$
$k=k_{1}+k_{2}$(این برای جریان موازی است، اما برای جریان مخالف علامت مقابل $k_{2}$ منفی است، به طوری که اگر${\displaystyle k_{2}=k_{1}}$ برای یکسان "سرعت جریان جرم حرارتی" در هر دو جهت مخالف گرادیان دما ثابت و دماها در موقعیت x خطی با اختلاف ثابته${\displaystyle (T_{2}-T_{1})}$
در امتداد مبدل بیان میشه و A و B دو ثابت ادغام هنوز نامشخص هستند. دارم $T_{{10}}$و$T_{{20}}$ دمای x=0 باشه و دارم $T_{{1L}} $و$T_{{2L}}$ دمای انتهای لوله در x=L باشه. میانگین دمای هر لوله را
$\overline {T}_{1}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}T_{1}(x)dx $ و$\overline {T}_{2}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}T_{2}(x)dx.$با استفاده از جوابهای این دماها $T_{{10}}=A-{\frac {Bk_{1}}{k}}
$و$T_{{20}}=A+{\frac {Bk_{2}}{k}} $ و$T_{{1L}}=A-{\frac {Bk_{1}}{k}}e^{{-kL}} $و$T_{{2L}}=A+{\frac {Bk_{2}}{k}}e^{{-kL}} $و$T_{{1L}}=A-{\frac {Bk_{1}}{k}}e^{{-kL}}$و$\overline {T}_{1}=A-{\frac {Bk_{1}}{k^{2}L}}(1-e^{{-kL}}) $و$\overline {T}_{2}=A+{\frac {Bk_{2}}{k^{2}L}}(1-e^{{-kL}}).$
انتخاب هر دو درجه از دماهای بالا ثابت های ادغام را حذف می کنه و به من اجازه میده چهار دمای دیگر را پیدا کنم کل انرژی منتقل شده را با ادغام عبارات نرخ زمانی تغییر انرژی داخلی در واحد طول هم
${\frac {dU_{1}}{dt}}=\int _{0}^{L}{\frac {du_{1}}{dt}}\,dx=J_{1}(T_{{1L}}-T_{{10}})=\gamma L(\overline {T}_{2}-\overline {T}_{1})$
و${\frac {dU_{2}}{dt}}=\int _{0}^{L}{\frac {du_{2}}{dt}}\,dx=J_{2}(T_{{2L}}-T_{{20}})=\gamma L(\overline {T}_{1}-\overline {T}_{2}).$
با پایستگی انرژی مجموع دو انرژی صفر می شود. کمیت $\overline {T}_{2}-\overline {T}_{1} $
به عنوان اختلاف دمای میانگین ورود به سیستم شناخته میشه و معیاری برای کارایی مبدل حرارتی در انتقال انرژی گرماییه.
همانطور که درشماتیکم اوردم اختلاط یک سوخت در یک سیستم وجود دارد. دبی جرمی m1,m2 متفاوت است، قطر لوله‌ها همگی برابر هستند اما از نظر طول متفاوت هستند.
1) پاسخ دما خطی است یا نمایی؟ 2) چگونه می توانم قانون سرد شدن نیوتن را در زمانی که سیالات در جریان هستند اعمال کنم؟
1. مخلوط کردن:
فرض کنید مایع 1 دارای ظرفیت گرمایی خاص $c_{p,1}$ و مایع $c_{p,1}$ اگر جریان های جرمی به ترتیب $\dot{m_1}$ و$\dot{m_2}$باشند
، در دمای مربوطه T1 و T2 سپس دمای T پس از اختلاط کامل (و با فرض صفر بودن آنتالپی اختلاط) به $T=\frac{ c_{p,1}\dot{m_1}T_1+ c_{p,2}\dot{m_2}T_2}{c_{p,1}\dot{m_1}+c_{p,2}\dot{m_2}}$خوب
برای سیالات یکسان $c_{p,1}=c_{p,2}$ و معادله اینطور میشه نوشت$T=\frac{\dot{m_1}T_1+\dot{m_2}T_2}{\dot{m_1}+\dot{m_2}}$با این حال، محاسبه زمان t برای دستیابی به اختلاط کامل مورد نیاز بسیار سخت تر میشه و به عواملی بستگی داره که نیاورده. به عنوان مثال اختلاط بسیار سریعتر خواهد بود در صورتی که جریان آشفته باشه در رینولدز بالا (Re) مقدار اما Re به سرعت جریان، ویسکوزیته سیال و قطر لوله بستگی داره2. خنک سازی جریان جرمی در لوله:
اجازه دهید $\dot{m}$ جریان جرمی باشه $c_{p}$ ظرفیت حرارتی سیال هم $T_0$ دمای محیط و R شعاع لوله نمودار خنک کننده لوله یک عنصر بینهایت کوچک dx را در نظر میگیرم . در اثر اتلاف گرما dT دما کاهش مییابداتلاف حرارت حساب نیوتن $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=h \, \mathrm{d}A(T-T_0)$
که در آن $\mathrm{d}A=2\pi R \, \mathrm{d}x$
بنابراین:$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=2 \pi hR(T-T_0) \, \mathrm{d}x,$
جایی که h ضریب انتقال حرارته این اتلاف حرارت نیز باعث افت دما dT میشه
به طوری که$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-c_p \, \mathrm{d}m\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$
(به علائم منفی توجه میکنم زیرا dT<0) که در واقع:$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}=\dot{m},$
به طوری که دارم$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-c_p \dot{m} \, \mathrm{d}T.$
معادل سازی هر دو عبارت برای dQ/dt بازده حاصله$2\pi hR(T-T_0) \, \mathrm{d}x=-c_p \dot{m} \, \mathrm{d}T.$
این یک معادله دیفرانسیل ساده با جداسازی متغیرهایه و پس از ادغام براحتی میشه گفت$x=\frac{c_p \dot{m}}{2\pi h R} \ln\frac{T_1-T_0}{T-T_0},$
جایی که T1 دما در x=0 است $\alpha=\frac{2\pi h R}{c_p \dot{m}},$
سپس من به این نتیجه میرسم $\frac{T-T_0}{T_1-T_0} = e^{-\alpha x}.$
