درک من از قانون دارسی

[rohamavation]

درک من از قانون دارسی برای جریان در محیط متخلخل بایافته هایم من در تضاده

قانون دارسی بیان میکنه که سرعت حرکت یک سیال در یک محیط نفوذپذیر مثل آب‌های زیرزمینی مستقیماً با تفاوت بین ارتفاعات عمودی در نقاط مختلف محیط ارتباط داره و به طور غیرمستقیم با فاصله بین آن نقاط در محیط ارتباط مستقیم داره
من در تلاش برای درک قانون دارسی جریان سیال در محیط متخلخل هستم.
قانون به شکل دیفرانسیل معادله :$q = K \nabla p$، جایی که q یک شار سیاله K مقداری ضریب نفوذپذیریه و p فشار است ایده اینه که شار در جایی که فشار بیشتر و نفوذپذیری بیشتره افزایش مییابد.
من میخوام از این قانون برای مشکل ترسیم شده در تصویر زیر استفاده کنم.
من چند محیط با شیب عمودی فشار دارم. من یک منطقه شیبدار با نفوذپذیری بالا دارم که نشان دهنده برخی شکستگی در داخل یک سنگه. اینجا میبینم که مایع مستقیماً به سمت بالا بلند میشه تا زمانی که با شکستگی مواجه شود و سپس به سمت بالا و کمی به طرفین میرود زیرا حرکت سیال در داخل منطقه ای با نفوذپذیری بالاتر راحتره (نمایش بالای 2).
اما طبق قانون (اگر ریاضی را در قانون درست متوجه شده باشم) سیال باید مستقیماً به سمت بالا برود و وقتی با ناحیه ای با نفوذپذیری بالاتر برخورد کرد فقط سرعت خود را افزایش میده اما اصلاً جهت خود را تغییر نمیدهد.
کجا اشتباه میکنم؟این شکل از قانون دارسی که در آن نفوذپذیری K یک اسکالر است که برای محیط های متخلخل همسانگرد کاربرد داره اجازه بدین جهت عمودی با مختصات دکارتی x مرتبط باشه . اگر گرادیان فشار فقط در x یک جزء غیر صفر داشته باشه جهت - سپس اجزای بردار شار عبارتند از$(q_x,0,0)$ بدون حرکت در y- و z− $q_x = K \frac{\partial p}{\partial x}$حتی اگر K همانطور که در شکل نشون دادم با موقعیت مکانی تغییر میکنه به طور کلی برای محیط های متخلخل ناهمسانگرد، نفوذپذیری با تانسور K نشون داده میشه و قانون دارسی به صورت نوشته شده $\mathbf{q} = \mathbf{K}\cdot \nabla p$
در آن حالت یک گرادیان فشار در x- اعمال میشه جهت میتونه باعث ایجاد مولفه های شار در جهت های دیگر بشه به عنوان مثال.
$q_x = K_{xx}\frac{\partial p}{\partial x}, \quad q_y = K_{yx}\frac{\partial p}{\partial x}$
قانون دارسی در محیط های غیر متخلخل
من در کلاس درسم خودم یاد گرفتم که قانون دارسی دبی جریان را در محیط متخلخل توصیف میکنه:$Q=-AK\frac{dh}{dl}$ جایی که Q دبی جریانه A ناحیه مقطعیه که سیال در آن جریان داره K هدایت هیدرولیکی و dh/dl است شیب سر هیدرولیکه
در حالی که برخی محدودیت ها در شرایطی وجود داره که قانون دارسی معتبره مانند جریان آرام از طریق محیط متخلخل من کاملاً کنجکاو شدم که آیا قانون دارسی در صورتی که دانه‌های بسیار کمی در داخل لوله وجود داشته باشه در حالی که جریان هنوز آرامه معتبره یا خیر.
می‌تونم به موقعیتی فکر کنم که قانون دارسی کار میکنه و به طور مداوم از شر مقادیر کمی از دانه‌ها خلاص میشود تا تخلخل افزایش یابد. سپس در پایان، منافذی وجود نخواهد داشت، یعنی پر از آب. آیا قانون دارسی هنوز کار میکند یا زمانی که قانون دارسی باطل میشود نوعی نقطه گذار تخلخل وجود داره؟بله، معادله دارسی همچنان کار میکنه اما من آن را معادله دارسی-وایزباخ مینامم
در رژیم آرام این معادله اساساً به قانون دارسی کاهش مییابد جایی که گرادیان فشار متناسب با نرخ جریان است. $K$ در این صورت به ویسکوزیته سیال و قطر لوله مربوط میشه

[KING Electron10]

دقیقا منظورتان را نفهمیدم که مشکلش چیست اما از نظر کلی قانون دارسی مقدار آب ( یا کلا بگوییم مایعات ) که از سطح مقطع میگذرد هدفش این است در زمان حساب شود
فکر نکنم زیاد از نظر هندسی مورد بحث قرار گیرد

[rohamavation]

قانون دارسی رابطه بین سرعت تخلیه آنی از طریق یک محیط متخلخل و افت فشار در فاصله را توصیف میکنه. dh/dl یک گرادیان هیدرولیکی را نشان میده میدونم در مكانيك سيالات، رابطهٔ دارسي ويسباخ Darcy–Weisbach equation عبارتيه كه به كمك آن ميتوان هد يا فشار تلف شدهٔ سيالي را كه در امتداد مسير يك لوله حركت ميكنه (به علت وجود اصطكاك) يافت.
${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{D}.{\frac {\rho }{2}}.{\frac {v^{2}}{D}}}$
هد تلف‌شده توسط اين رابطه هم توسط این فرمول بدست میاد
كه در آن:${\displaystyle h_{f}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {V^{2}}{2g}}}$
hf هد تلف شده به علت وجود اصطكاك ميباشد.L طول لوله بوده D قطر هيدروليكي لوله‌ هستش
V سرعت ميانگين سيال جاري در لوله هست g شتاب گرانشي وf ضريب اصطكاك دارسيه كه عدد بي بعده و مقدار آن با توجه به نوع زبري لوله‌ها و عدد رينولدز و به كمك نمودار مودی چارت يا رابطه كلبروك تعيين میشه من در درک یک معادله و روش حل ارائه شده مشکل دارم. معادله جریان 1 بعدی برای جریان گاز خطی سرعت بالا از طریق یک محیط متخلخل اینطوره
$\tag{roham1} p_1-p_2=\Delta p = \frac{\mu L}{k \beta} \left(\frac{w}{A}\right) + \frac{c_f L}{\sqrt{k} \beta} \left(\frac{w}{A}\right)^2$
که در آن $p_1-p_2=\Delta p$ تفاوت فشار بالادست و پایین دست در طول جریان L و$\mu$; μ ویسکوزیته گاز k ضریب نفوذپذیری محیط متخلخل و β تراکم همدما گاز ه وw نرخ جریان جرمی گاز Aهم
سطح مقطع نرمال با جهت جریان است و$c_f$ یک ضریب بدون بعده
من فرض میکنم که برای مقادیر متعدد Δp (3 یا بیشتر)، همه متغیرهای موجود در (1) به غیر از k و$c_f$ شناخته شدن
معادله (1roham) به شکل$y = a_2x^2 + a_1x+c$ است . بیان کردم که برای حل k و $c_f$، یک نمودار$\bar p \times \Delta p$ به عنوان تابعی از (w/A) مقادیر ضرایب a_2$ $و $a_1$ را تعیین کنم
چند جمله ای مرتبه دوم تا داده ها. از این a_2$ $ و $a_1$ مقادیر k و $c_f$
میتوان تعیین کرد. برای جواب $\bar p \times \Delta p$ و، $\bar p$ فشار متوسط در طول جریانه که به صورت $=(p_1 + p_2)/2$ در نظر گرفته میشه
.من در دیدن نحوه استخراج (1) به ویژه با استفاده از تراکم پذیری همدما مشکل دارم تراکم پذیری β گاز و چرا حاصل$\bar p \times \Delta p$ و $c_f$
در روش رسم برای حل k استفاده میشه آنچه من امتحان کرده ام شروع با $\tag{roham2} -\frac{dp}{dx}=\frac{\mu}{k}v+\frac{c_f}{\sqrt{k}}\rho v^2$
جایی که $v=q/A=w/(\rho A)$ و; v=سرعت سطحی q = نرخ جریان حجمی ρ= چگالی سیال (گاز). بنابراین (2) را میتونم بر حسب نرخ جرم و چگالی بنویسم
$\tag{roham3} -\frac{d p}{d x}=\frac{\mu}{k}\frac{w}{\rho A}+\frac{c_f \rho}{\sqrt{k}}\left(\frac{w}{\rho A}\right)^2$
جداسازی متغیرها و ادغام:$\int_{p_1}^{p_2} d p=\int_0^L\frac{\mu}{k}\frac{w}{\rho A}d x+\int_0^L\frac{c_f \rho}{\sqrt{k}}\left(\frac{w}{\rho A}\right)^2 d x$
$k, A, c_f, w$را فرض میکنم ثابت هستند مستقل از فشار. عبارت های وابسته به فشار μ و ρ رو از انتگرال ها میکشم و ارزیابی آنها در فشار متوسط $\bar p$
. سپس دارم $\Delta p=\frac{\mu}{k}\frac{w}{\rho(\bar p) A}L+\frac{c_f}{\sqrt{k}\rho(\bar p)}\left(\frac{w}{A}\right)^2 L$
در این مرحله من مطمئن نیستم که چگونه میتویم و$1/\rho(\bar p)$را عوض کنم
شرایط با تراکم همدما $\beta=\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho}{\partial p}$ برای به دست آوردن معادله (1roham) و همچنین دلیل$\bar p\times\Delta p$ را نمیبینم
به عنوان تابعی از $w/A$ رسم میشود به جای Δp به عنوان تابعی از $w/A$
ایا من باید معادله دیفرانسیل را با تقریب ρ به درستی حل کنم به عنوان تابعی از p:
$\rho=\rho(\bar{p})[1+\beta (p-\bar{p})]$
و آن را به سمت چپ معادله (با dp/dx) منتقل کنم رابطه$\rho=\rho(\bar{p})[1+\beta (p-\bar{p})]$
برای سیالات کمی تراکم پذیره. شاید در این مسئله طراح سوال گازها را در فشارهای پایین فرض کرده باشه و بنابراین تراکم پذیری همدما با $\beta=1/p$ تقریب زده شد.
? اگر چنین است، من هنوز نمیبینم که چگونه ρ را تقریب میکنم به عنوان تابعی از p با استفاده از این رابطه متفاوت برای β
من متوجه شدم (از لحاظ ابعادی سازگار نیست). متوجه شدم روش که به آن اشاره میکنم اشتباه شده خوب میدونم با استفاده از رابطه برای قانون گاز ایده آل$\rho=pM_w/(RT)$
منجر به ( البته پس از ادغام و نادیده گرفتن وابستگی فشار μ) خواهد شد$\bar p \Delta p \rho = \frac{\mu L w}{\beta k A}+\frac{c_f L w^2}{\beta \sqrt{k} A^2}$
، جایی که $\beta = 1/p$