این بستگی به تعریفم از حرکت داره. به نظر میرسه که من یکی را انتخاب نمیکنم بنابراین گیج شدم
اگر حرکت را به عنوان هر بخشی از جسم تعریف کنم که حرکتی نسبت بهم داره و بنابراین ساکن به این معنیه که هیچ بخشی از جسم نسبت بهم در حرکت نیست در این صورت میگم یک جسم در حال چرخش در حال حرکته و ساکن نیست.
اگر حرکت را به عنوان مرکز جرم تعریف کنم حرکتی نسبت به شما داره و بنابراین ساکن به این معنیه که مرکز جرم هیچ حرکتی نسبت به من نداره پس جسمی که صرفاً حول مرکز جرم خود میچرخه ساکن در نظر گرفته میشه
من گفتم اگر جسمی حول محوری از مرکز جرم خود بچرخه مرکز جرمش ساکنه با این وجودمن یک فریم مرجع اینرسی پیدا نمیکنم که در آن همه ذرات جسم گسترش‌یافته نسبت به یکدیگر استراحت کنند.
تمام ذرات جسم صلب که در محور چرخش قرار ندارن حرکت میکنن حتی اگر مرکز جرم ثابت بمونه همچنین به همین دلیله که همیشه حرکت یک جسم را به حالت های انتقالی و چرخشی آن تقسیم میکنیم. برای انتقال یک جسم صلب کافی است فقط به مرکز جرم نگاه کنم این مورد برای چرخش ها درست نیست.در حال حرکته زیرا انرژی جنبشی داره مرکز جرم یک نقطه است، نه یک قطعه جرم قابل اندازه گیری واقعی. به یک دونات فکر کردم که مانند یک چرخ میچرخه کل دونات را در حال چرخش میبینم و چیزی از دونات در مرکز جرم آن وسط سوراخ دونات وجود نداره
تفاوت بین یک جسم متحرک و یک جسم ثابت چیه
هنگامی که یک جسم ساکنه ودر حال حرکت نیست میگم در حالت سکونه خانه و درخت ثابتنددر حرکت نیستند. حتی یک جسم میتونه در زمان های مختلف در حال استراحت یا در حال حرکت باشه به عنوان مثال هنگامی که یک ماشین ساکنه ور حال حرکت نیست یعنی که در حال استراحته.
آیا وقتی جسمی به آن نیرو وارد کنیم می چرخه؟هر جسمی به هر شکلی که باشه یک مرکز جرم داره. اگر جسمی شکل منظم و توزیع جرم یکنواخت و همگن داشته باشه CoM آن با مرکز آن منطبقه
اگر جسمی به یک محور ثابت باشه نقطه تکیه گاه محور چرخش در محور قرار داره اگر یک شی آزاد باشه روی یک محور چرخش مصنوعی ثابت نباشه هر عملی خارج از CoM باعث میشه که به دور آن بچرخه
من فرض میکنم که که آیا میله بدون لولایی که روی یک سطح صاف قرار میگیره اگر نیرویی عمود بر آن در یکی از انتهای آن اعمال بشه شروع به چرخش میکنه یا خیر.
اره اما چرا ؟ چرا وقتی من تورک را به یک انتها اعمال میکنم میله به طور کلی به صورت کاملاً انتقالی در یک جهت خاص شروع به حرکت نمیکنه؟
فکر کردم مرکز جرم میله همیشه سعی میکنه در مقابل حرکت مقاومت کنه. زمانی که در نقطه ای از میله عمود بر آن به غیر از مرکز جرم نیرویی وارد میکنم آن نقطه با سرعت شروع به حرکت میکنه. بگم که مرکز جرم حق انتخاب داره که با همان سرعت بیشتر یا کمتر از آن نقطه حرکت کنه. معلومه که مرکز جرم موردی را انتخاب میکنه که کمترین سرعت ممکن را داشته باشه زیرا میخواد در برابر حرکت مقاومت کنه بنابراین با سرعتی کمتر از سرعت آن نقطه حرکت میکنه. چون کهالان نقاط مختلف روی میله دارای سرعت های متفاوتی هستن و تحت چرخش قرار میگیرن
اینکه چرا میله فقط در مورد COM میچرخه و نه هیچ نقطه دیگری زمانی که نیرویی در نقطه ای غیر از COM آن اعمال میشه می چرخد. خود تعریف بیان میکنه که تمام حرکت انتقالی سیستم را می توان با حرکت COM توضیح داد. بنابراین اگر کل میله را با مرکز جرم آن جایگزین کنم همچنان باید بتوانم کل حرکت انتقالی میله را با کمک COM آن توضیح بدم مرکز جرم باید حرکت انتقالی محض را در یک سیستم مجزا نشان دهد. زیرا اگر COM خود حرکت چرخشی را نشون بده، کدام نقطه دیگر صرفاً حرکت انتقالی میله را توصیف میکنه
اگر هنگام اعمال نیرو میله شروع به چرخش در اطراف هر نقطه دیگری (غیر از COM) کنه به این معنیه که مرکز جرم باید حول آن نقطه بچرخه. با این حال، همانطور که گفتم COM قراره فقط حرکت انتقالی و نه حرکت چرخشی را در یک سیستم ایزوله و بدون هنگ نمایش بده. بنابراین تناقض ایجاد میکنه. در نتیجه میله باید به طور اجباری در اطراف COM خود بچرخه زمانی که نیرویی در هر نقطه دیگری اعمال بشه .هر زمان که یک جسم در حال چرخشه ما معمولاً یک محور چرخش را نشان میدیم که خط خیالیه که اجسام به دور آن میچرخند. در حالی که فاصله اندازه گیری میزان حرکتتمونه زاویه چرخش$\theta$ میگه که چقدر دور می چرخیم.
به طور مشابه انگولار ولوسیتی ω که آشکارا با سرعت موازیه من یاداوری میکنه که در حین اکسلریشن زاویه‌ای با چه سرعتی میچرخه
$\alpha$ هم که سرعت یک چیزی با چه سرعتی در حال افزایشه$\omega = \omega_0 + \alpha t$و$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
انرژی جنبشی جسمی که حول محوری می چرخد که از مرکز جرم نمیگذره
من در مورد انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش زمانی که محور چرخش از مرکز جرم عبور نمیکنه برای مثال حلقه نازکی به جرم m را در نظر بگیرم و شعاع R که از یک محور آویزنونه و میتونه به دور آن محور بچرخه. اگر حلقه حول مرکز جرم خود میچرخید انرژی جنبشی فقط بود $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} m R^2 \omega^2,$
زیرا مرکز جرم حلقه در حال حرکت نیست یعنی انرژی جنبشی انتقالی صفر ه با این حال هنگامی که حلقه حول محور میچرخه مرکز جرم دیگر ساکن نیست. آیا این در تغییر ممان اینرسی جبران میشه یا این قطعه انتقال باید اضافه بشه به عبارت دیگر آیا دارم $K_{tot}= K_{trans}+K_{rot}=\frac{1}{2} m v^2+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}m(R\omega)^2+\frac{1}{2}(2mR^2)\omega^2 = \frac{3}{2} m R^2 \omega^2$
یا$K_{tot}= K_{trans}+K_{rot}=0+\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}(2mR^2)\omega^2 = m R^2 \omega^2$
اگر از هر دو روش به درستی استفاده کنم یک نتیجه میگیرم.
انرژی جنبشی یک جسم صلب به جرم m چرخش حول یک نقطه ثابت O' با انگولار ولوسیتی $\vec\omega=\omega\hat n$ و انتقالی با سرعت$\vec V$ از این فرمول محاسبه میکنم $T=\frac 12mV^2+\frac 12\omega^2I_n+m\vec R_{cm}'\cdot(\vec V\times\vec\omega),$ که در آن$I_n$ ممان اینرسی حول محور در امتداد$\hat n$ و $\vec R_{cm}'$ مرکز بردار جرم نسبت به نقطه O' است
. اگر $O'$ مرکز جرمه سپس $\vec R_{cm}'=0$ در مثالم محور نقطه$O'$ هست و چون ثابته $\vec V=0$ . از یک طرف هم $I_n=2mR^2$ ممان اینرسی نسبت به محور عبوری از محور و عمود بر صفحه حلقه هست بدین ترتیب $T=mR^2\omega^2.$ چه چیزی باعث میشه یک جسم در حال چرخش برای همیشه بدون نیروی خارجی بچرخه - اینرسی یا چیز دیگری؟آیا اینرسی که یک جسم در حال چرخش برای همیشه بدون نیروی خارجی بچرخه خوب، به نوعی - تا حدودی درسته که بگم اینرسیه و تا حدودی درسته که بگم این نیست.اینرسیکلا تمایل اجسام به ادامه حرکت در یک خط مستقیم با سرعت ثابت اشاره داره مگر اینکه نیروی خارجی به آنها اعمال بشه قانونه تو فیزیک حتی مرغ خونمون میدونه قانون یکم نیوتنه قسمت‌های مختلف جسم در حال چرخش قطعاً در یک خط مستقیم حرکت نمیکنند و اینطور نیست که هیچ نیرویی روی آنها وارد نشه. بنابراین چیزی بیش از اینرسی در اینجا باید باشه
چیزی که در مورد یک جسم صلب در حال چرخش اتفاق میفته اینه که هر قسمت از جسم میخواد سرعت ثابت خود را طبق قانون اینرسی حفظ کنه اما صلبی مانع از انجام این کار میشه
اینرسی چرخشی با اینرسی معمولی خطی متفاوته اجسام صلب نمیخوان به چرخششون ادامه بدن چونکه ذرات میخوان در یک خط مستقیم با سرعت ثابت به حرکتشون ادامه دهند
چگونه یک جسم در حال چرخش به چرخشش ادامه میده
هنگامی که یک جسم میچرخه هر ذره جسم به طور مداوم اکسلریشن را احساس میکنه پس که مقداری نیرو اعمال میشه چرا وقتی هیچ نیرویی اعمال نمیشود متوقف نمیشه من میدونم انگولار مومنتوم باید حفظ بشه اما
حق با منه که هر ذره ای درجسم با چرخش جسم نیرویی را تجربه میکنه. اما نکته کلیدی اینه که این نیرو توسط ذرات دیگر جسم اعمال میشن در واقع، پایستگی انگولار مومنتوم یک سیستم از ذرات را میتوان به عنوان یک نتیجه از سه فرض من در نظر گرفت قوانین نیوتن درسته و اعمال بشن وسیستم ایزوله هست هیچ نیرویی بر هیچ ذره ای توسط اجسام خارج از سیستم اعمال نشه
نیروی بین هر دو ذره در سیستم موازی با خط اتصال آنها باشه فرض کنید تعدادی از ذرات با شماره های 1، 2، 3، ... دارم که هر کدام موقعیت خودشونو دارن و تکانه $\mathbf{p}_i$
.حال $\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i.$
ریت اف چنج این کمیت هم $\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_i \left[\frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \times \mathbf{p}_i + \mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} \right].$
جمله اول برای هر جمله در مجموع ناپدید میشه، زیرا $d\mathbf{r}_i/dt = \mathbf{v}_i$
، که موازی با $\mathbf{p}_i$ است
. با استفاده از قانون دوم نیوتن $d\mathbf{p}_i/dt = \mathbf{F}_i$ دارم کل نیروی وارد بر ذره i. اکنون فرض دوم خودمو را اعمال میکنم که این نیرو صرفاً به دلیل ذرات دیگر در سیستمه
$\mathbf{F}_i = \sum_j \mathbf{F}_{ij}$
جایی که $\mathbf{F}_{ij}$ نیروی وارد بر ذره i است به دلیل ذره j . بنابراین میزان ریت L تبدیل میشه $\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_{i,j} \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ij}.$
الان همچنین از قانون سوم نیوتن می دونم که$\mathbf{F}_{ij} = - \mathbf{F}_{ji}$
می تونم از این برای بازنویسی این مجموع استفاده کنم$\mathbf{F}_{ji}$ خوب با j>i می تونم این را بر حسب$\mathbf{F}_{ij}$ بنوسم با $i < j$
. بنابراین $\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_{i<j} \left[ \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ij} - \mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{ij}\right] = \sum_{i < j} \left( \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \right) \times \mathbf{F}_{ij}.$
اما بردار $\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j$
نقاطی در امتداد خط از ذره i به ذره j. بنابراین اگر فرض سوم خود را در بالا انجام بدم $\mathbf{F}_{ij}$
موازی این خطه سپس این مجموع ناپدید میشه و$d\mathbf{L} /dt = 0$ دارم.همچنین می تونم بگم که a برای یک جسم صلب یک رابطه خطی بین انگولار ولوسیتی جسم و انگولار مومنتوم آن وجود داره بنابراین، اگر L≠0 ابتدا برای یک جسم جدا شده سپس L≠0 برای همه زمان ها و بنابراین $\pmb{\omega} \neq 0$
توجه که فرض شماره 3 فوق مستقل از قوانین نیوتنه. قوانین نیوتن لزوماً به معنای حفظ انگولار مومنتوم نیست. من باید یک فرض اضافی در مورد جهت نیروهای بین دو ذره داشته باشم و در واقع جهانی که در آن انگولار مومنتوم حفظ نشده باشد، کاملاً با قوانین نیوتن سازگاره. یک راه برای به دست آوردن این فرض اضافی این است که فرض کنم جهان دارای سیمتری چرخشیه فرض نوتر اگر یک سیستم دارای خاصیت سیمتری پیوسته باشه در این صورت کمیت های متناظری وجود دارن که مقادیر آنها در زمان حفظ میشه
اگر جسمی را در فضا ضربه بزنم آیا در امتداد یک خط مستقیم میچرخد یا حرکت میکنه؟هر نیروی خطی که از مرکز جرم عبور نکنه تورک ایجاد میکنه که امیدوارم بدونین به فاصله‌ی خط نیرو از مرکز جرم مربوطه میشه اگه.خوب جسم را دقیقاً به مرکز جرم آن ضربه بزنم یعنی خط نیرو مستقیماً از مرکز جرم عبور میکنه، آنگاه چرخش نداره مستقیماً در یک خط به جلو میره
اما، اگر این کار را انجام ندم یعنی خط نیرو مرکز جرم را از دست بده هر دو نوع حرکت چرخشی و خطی را نشان میده. مانند حالت قبلی در یک خط مستقیم به جلو میره اما می چرخه. سرعت چرخش چقدر است بستگی به این دارد که چقدر مرکز جرم دور بشم
اگر خط عمل نیرو از مرکز جرم عبور نمی کند، می تونید نیروی اصلی $\vec a$ را تبدیل کنید با جمع دو نیروی $\vec a$ و $-\vec a$ (نیروی خالص صفر) که در مرکز جرم
این این سه نیرو را به صورت زیر در نظر بگیرم نیرویی که از نظر مقدار و جهت برابر با نیروی اصلیه اما از مرکز جرم عبور میکنه
این نیرو اکسلریشن انتقالی مرکز جرم جسم را ایجاد میکنه ویک جفت نیرو از نظر مقدار با نیروی اصلی برابره که یکی در جهت نیروی اصلی و دیگری در جهت مخالف باشه این کوپل یک تورک تولید میکنه
که مستقل از هر محور چرخشیه که من ممکنه انتخاب کنم
یک زوج فقط روتیشنال اکسلریشن تولید میکنه
اگر نیروی اصلی از مرکز جرم عبور کنه هیچ کوپل تولید نمیشه و بنابراین جسم تحت روتیشنال اکسلریشن قرار نمیگیره
اگر نیروی مماسی بدم میچرخه اگر نیرویی به مرکز بدم در خط مستقیم حرکت میکنه. در امتداد هر نقطه دیگر بین مماس و مرکز حرکت مفصل را نشان میده
تقسیم نیرو به مماس و در امتداد مرکز نیز به شکل جسم بستگی داره. مثل اینکه نمیتونم به میله‌ای که در هیچ نقطه‌ای چرخیده نیست نیروی چرخشی خالص بدم و محورممان اینرسی استراحت آونه. بنابراین حتی با نیروی مماسی که یک جزء خطی نیز داره هم میچرخه و هم به جلو حرکت میکنه. جرم بیشتر در مرکز جرم متمرکز شده و جزء چرخشی بیشتر ه
