پارادوکس سرعت زاویه ای برای یک صفحه متقارن بدون گشتاور
تانسور اینرسی دارای یک معکوس $I^{-1}$ و$L=I\omega$است. که بیانگر اینه که $\omega=I^{-1}L$. ولی اما از آنجا که ثابتند پس L یک ثابته نتیجه $\vec\omega$.ثابت با این حال $\vec\omega$ پیشروی میکند چرا این تناقض در بحث وجود داره؟ گشتاور تانسور اینرسی در فریم مرجع خارجی ثابت نیست.تغییر جهت محور چرخشی جسم چرخانه در یک فریم مرجع مناسب میتوان آن را تغییر در زاویه اول اولر تعریف کرد در حالی که زاویه سوم اویلر چرخش را تعریف میکنه. به عبارت دیگر اگر محور چرخش جسمی خود در حول محور دوم بچرخه گفته میشه که آن جرم در مورد محور دوم نیز پیش فرض داره. به حرکتی که در آن زاویه دوم اویلر تغییر کنه تغذیه گفته میشه. در فیزیک دو نوع حق تقدم وجود داره: بدون گشتاور و ناشی از گشتاور.در نجوم ترجیح به هر یک از تغییرات آهسته در پارامترهای چرخشی یا مداری جرم نجومی اشاره داره. یک مثال مهم تغییر ثابت جهت گیری محور چرخش زمین است که به عنوان تقدم اعتدالین شناخته میشه. ترجیح بدون گشتاور به این معنی است که هیچ لحظه خارجی (گشتاور) روی جرمه اعمال نمیشه. در شتاب گیری بدون گشتاور تکانه زاویه ای ثابته اما بردار سرعت زاویه ای با زمان تغییر جهت میدهآنچه این امر را ممکن میکنه یک لحظه اینرسی با تغییر زمان یا دقیق تر یک ماتریس اینرسی با تغییر زمانه ماتریس اینرسی از لحظه های اینرسی یک جرم تشکیل شده ا که با توجه به محورهای مختصات جداگانه محاسبه میشه (به عنوان مثال x y z). اگر یک جسم در مورد محور اصلی چرخش خود نامتقارن باشه با حفظ حرکت زاویه ای گشتاور سکون نسبت به هر جهت مختصات با زمان تغییر میکنه. نتیجه اینه که کاپونت سرعتهای زاویه ای جرم در مورد هر محور با لحظه سکون هر محور برعکس متفاوت خواهد بود.نرخ شتاب بدون گشتاور یک شی object دارای یک محور تقارن مانند یک دیسک در حال چرخش در مورد یک محور که با آن محور تقارن هم تراز نیست ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\alpha }})}}} $ که در آن ωp نرخ شیب دار است ωs نرخ چرخش در مورد محور تقارن است آیا لحظه اینرسی در مورد محور تقارن است Ip لحظه اینرسی در مورد هر دو محور اصلی عمود برابر است و α زاویه بین گشتاور جهت اینرسی و محور تقارن. هنگامی که یک جسم کاملاً جامد نباشه گردابهای داخلی تمایل دارند که برتری بدون گشتاور محور چرخش خود را با یکی از محورهای اینرسی جسم تراز میکند.برای یک جسم جامد عمومی و فاقد هرگونه محور تقارن تکامل جهت گیری جسم که به عنوان مثال توسط ماتریس چرخش R نشان داده میشه که مختصات داخلی را به خارج تبدیل میکنه میتواند به صورت عددی شبیه سازی شود. با توجه به ثابت بودن ممان لحظه داخلی اینرسی جسم I0 و حرکت زاویه ای خارجی ثابت L سرعت زاویه ای لحظه ای است$ {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}}$ ناشی از گشتاور
ترجیح ناشی از گشتاور (ترجیح ژیروسکوپی) پدیده ای است که در آن محور جسم در حال چرخش (به عنوان مثال ژیروسکوپ) وقتی یک گشتاور خارجی به آن اعمال میشه یک مخروط را در فضا توصیف میکنه. این پدیده معمولاً در بالای اسباب بازی در حال چرخش دیده میشه اما همه اجسام چرخان می توانند تحت حق امتیاز قرار گیرند. اگر سرعت چرخش و بزرگی گشتاور خارجی ثابت باشه محور چرخش در زاویه های راست به جهتی حرکت خواهد کرد که به طور مستقیم از گشتاور خارجی حاصل میشه. در مورد بالای اسباب بازی وزن آن از مرکز جرم خود به سمت پایین عمل میکنه و نیروی طبیعی (واکنش) زمین در نقطه تماس با تکیه گاه به سمت بالا فشار می آورد. این دو نیروی مخالف یک گشتاور تولید می کنند که باعث میشه تا قسمت بالایی از قبل تنظیم شود.
پاسخ سیستم چرخان به گشتاور اعمال شده. هنگامی که دستگاه میچرخه و مقداری رول اضافه میشه چرخ تمایل به بلند شدن داره.
از داخل به خارج سه محور چرخش وجود داره: توپی چرخ محور گیمبال و محور عمودی.برای تمایز بین دو محور افقی چرخش در اطراف توپی چرخ را چرخش و چرخش در اطراف محور گیمبال را بلندگو می نامند. چرخش حول محور محوری عمودی چرخش نامیده میشه.
ابتدا تصور کنید که کل دستگاه در حال چرخش به دور محور محوری عمودیه سپس چرخش چرخ (در اطراف چرخ) اضافه میشه. تصور کنید که محور گیمبال قفل شده است به طوری که چرخ قادر به گام زدن نیست. محور گیمبال دارای سنسورهایی است که میزان گشتاور اطراف محور گیمبال را اندازه گیری میکنه. در بحث فوق با جلوگیری از فشار دادن به دور محور گیمبال تنظیمات بدون تغییر باقی ماند. در مورد بالای اسباب بازی در حال چرخش هنگامی که قسمت بالایی شروع به کج شدن میکنه نیروی جاذبه یک گشتاور ایجاد میکنه. با این حال به جای غلتاندن قسمت بالایی چرخشی فقط کمی زمین میخوره این حرکت پیچ با توجه به گشتاور اعمال شده صفحه چرخشی را جهت گیری مجدد میکنه. نتیجه این است که گشتاور اعمال شده توسط گرانش - از طریق حرکت پیچ - ترجیح ژیروسکوپی (که به نوبه خود باعث ایجاد یک گشتاور مقابله در برابر گشتاور جاذبه میشه) را ایجاد میکنه تا اینکه باعث شود تا قسمت چرخشی به طرف آن بیفتد.گشتاور ناشی از نیروی عادی - Fg و وزن بالای آن باعث تغییر در حرکت زاویه ای L در جهت آن گشتاور میشه. این امر باعث میشه که قسمت بالایی از قبل پیش ساخته شود.
مقدمه تغییر سرعت زاویه ای و حرکت زاویه ای تولید شده توسط یک گشتاور است. معادله عمومی که گشتاور را به میزان تغییر حرکت زاویه ای مرتبط میکنه:${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$ به ترتیب بردارهای گشتاور و حرکت زاویه ای هستند.با توجه به نحوه تعریف بردارهای گشتاور این بردار عمود بر صفحه نیروهای ایجاد کننده آن است. بنابراین ممکن است دیده شود که بردار حرکت زاویه ای عمود بر آن نیروها تغییر خواهد کرد. بسته به نحوه ایجاد نیروها آنها اغلب با بردار حرکت زاویه ای می چرخند و سپس مقدمه دایره ای ایجاد میشه.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}$ که در آن Is لحظه اینرسی است ωs سرعت زاویه ای چرخش در مورد محور چرخش است m جرم است g شتاب ناشی از جاذبه است θ زاویه بین محور چرخش و محور شتاب و r است فاصله بین مرکز جرم و محور. بردار گشتاور از مرکز جرم منشأ می گیرد. با استفاده از $ω = 2π/T$ جایی که Is لحظه اینرسی است Ts دوره چرخش در مورد محور چرخش است و τ گشتاور است. به طور کلی مشکل از این پیچیده تر است.${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}$
