سلام این سوال در بحث مکانیک نیوتونی مطرح میشه.
به سادگی میشه نشون داد در چارچوب های لخت که با سرعت ثابت ناصفری نسبت به یکدیگر در حرکتند، مقدار محاسبه کار انجام شده متفاوت خواهد بود. ایا این با قانون پایستگی انرژی در تناقض نیست؟؟ مثلا فرض کنید من با هل دادن یک جسم دارم به اون جسم انرژی جنبشی منتقل میکنم. اما محاسبه کار انجام شده در چارچوب A معادل 10 ژول است یعنی من 10 ژول انرژی به جسم دارم وارد میکنم. اما مثلا در چارچوب B محاسبه میشه که من 17 ژول انرژی به جسم وارد میکنم.
این 7 ژول انرژی اضافه از کجا اومد؟ و این با پایستگی انرژِی در تناقض نیست ؟؟
چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
-
[email protected]
نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی
محل اقامت: تهران
عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹
پست: 1458-
سپاس: 514
- جنسیت:
تماس:
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
سلامErfan ALN نوشته شده: ↑سه‌شنبه ۱۴۰۲/۵/۱۷ - ۱۵:۱۵سلام این سوال در بحث مکانیک نیوتونی مطرح میشه.
به سادگی میشه نشون داد در چارچوب های لخت که با سرعت ثابت ناصفری نسبت به یکدیگر در حرکتند، مقدار محاسبه کار انجام شده متفاوت خواهد بود. ایا این با قانون پایستگی انرژی در تناقض نیست؟؟ مثلا فرض کنید من با هل دادن یک جسم دارم به اون جسم انرژی جنبشی منتقل میکنم. اما محاسبه کار انجام شده در چارچوب A معادل 10 ژول است یعنی من 10 ژول انرژی به جسم دارم وارد میکنم. اما مثلا در چارچوب B محاسبه میشه که من 17 ژول انرژی به جسم وارد میکنم.
این 7 ژول انرژی اضافه از کجا اومد؟ و این با پایستگی انرژِی در تناقض نیست ؟؟
اتفاقاً من چند سالی هست که دارم روی این موضوع کار میکنم و فعلاً به نتایج متناقضی هم رسیدم ولی دقت کنید که اون چیزی که شما می‌گید لزوماً پارادوکسیکال نیست، مثلاً اگه کار انجام شده روی سیستم باعث افزایش انرژی درونی سیستم بشه، این انرژی از دید ناظر متحرک باید "گاما" برابر بشه.
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
سلام. پایستگی انرژی در یک دستگاه مشاهده میشه؛ نه اینکه نصف ماجرا در یک دستگاه و نصف دیگر در دستگاه دیگر باشه. اگر می‌بینیم رابطه‌ای به صورت
\[
dW'=dW-Fvdt
\]
بین کار انجام‌شده در دستگاه بدون‌پریم و پریم‌دار برقراره، معناش اینه که کار انجام‌شده ناوردای گالیله‌ای نیست، مثل جابه‌جایی یا سرعت یا ... . و اتفاقاً کاملاً بجاست که کار ناوردا نباشه، چون انرژی جنبشی هم ناوردا نیست. ناظری که روی ماشین سواره، همواره به ماشین انرژی جنبشی صفر نسبت میده، و ناظر روی زمین مقدار مثبتی به انرژی جنبشی ماشین نسبت میده. ولی هر دو نفر در مورد پایستگی انرژی توافق دارند. یکی‌شون میگه هیچ کاری روی ماشین انجام نمی‌شود و انرژی جنبشی‌اش تغییر نمیکنه، ناظر دیگر هم میگه کاری روی ماشین ($Fvdt$) انجام می‌شود و انرژی جنبشی‌اش به همون اندازه تغییر میکنه.
\[
dW'=dW-Fvdt
\]
بین کار انجام‌شده در دستگاه بدون‌پریم و پریم‌دار برقراره، معناش اینه که کار انجام‌شده ناوردای گالیله‌ای نیست، مثل جابه‌جایی یا سرعت یا ... . و اتفاقاً کاملاً بجاست که کار ناوردا نباشه، چون انرژی جنبشی هم ناوردا نیست. ناظری که روی ماشین سواره، همواره به ماشین انرژی جنبشی صفر نسبت میده، و ناظر روی زمین مقدار مثبتی به انرژی جنبشی ماشین نسبت میده. ولی هر دو نفر در مورد پایستگی انرژی توافق دارند. یکی‌شون میگه هیچ کاری روی ماشین انجام نمی‌شود و انرژی جنبشی‌اش تغییر نمیکنه، ناظر دیگر هم میگه کاری روی ماشین ($Fvdt$) انجام می‌شود و انرژی جنبشی‌اش به همون اندازه تغییر میکنه.
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
درسته ولی اخه یادمه تو کتاب های فیزیک برای توجیه "قانون پایستگی انرژی" توی فرایند هل دادن جسم و تغییر انرژی جنبشی گفته میشد که این انرژی جنبشی که به جسم داده شده از انرژی شیمیایی عضلات شخص هل دهنده تامین شده. پس وقتی کار انجام شده نسبت به چارچوب های لخت یکسان نیست یعنی انرژی شیمیایی عضلات انسان هم تو چارچوب های لخت یکسان اندازه گیری نمیشه! بنظر شما این نتیجه کمی عجیب نیست ؟؟ یعنی توی یک چارچوب لخت مشاهده میشه 10 ژول از انرژی شیمیایی عضلات من کم شده و توی یک چارچوب لخت دیگه 17 ژول!!! کمی غیر منطقی میاد بنظرمmaxrg.ir نوشته شده: ↑سه‌شنبه ۱۴۰۲/۵/۱۷ - ۱۷:۳۶سلام. پایستگی انرژی در یک دستگاه مشاهده میشه؛ نه اینکه نصف ماجرا در یک دستگاه و نصف دیگر در دستگاه دیگر باشه. اگر می‌بینیم رابطه‌ای به صورت
\[
dW'=dW-Fvdt
\]
بین کار انجام‌شده در دستگاه بدون‌پریم و پریم‌دار برقراره، معناش اینه که کار انجام‌شده ناوردای گالیله‌ای نیست، مثل جابه‌جایی یا سرعت یا ... . و اتفاقاً کاملاً بجاست که کار ناوردا نباشه، چون انرژی جنبشی هم ناوردا نیست. ناظری که روی ماشین سواره، همواره به ماشین انرژی جنبشی صفر نسبت میده، و ناظر روی زمین مقدار مثبتی به انرژی جنبشی ماشین نسبت میده. ولی هر دو نفر در مورد پایستگی انرژی توافق دارند. یکی‌شون میگه هیچ کاری روی ماشین انجام نمی‌شود و انرژی جنبشی‌اش تغییر نمیکنه، ناظر دیگر هم میگه کاری روی ماشین ($Fvdt$) انجام می‌شود و انرژی جنبشی‌اش به همون اندازه تغییر میکنه.
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
ابتدا چند سوال
بقا در انرژی دقیقاً چیه
حفظ انرژی در چارچوب های مرجع مختلف
توضیح انرژی مکانیکی یک سیستم را می توان در یک قاب مرجع اینرسی معین حفظ کرد و در قاب مرجع اینرسی دیگری نمی توان آن را حفظ کرد. در غیاب نیروهای غیرمحافظه، انرژی مکانیکی در تمامی قاب های مرجع اینرسی حفظ می شود.
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان فریم است. این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S'، که در آن S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانت است. در S و حفظ نشود.
در واقع این موضوع بقا در انرژی نیست. این موضوعی است که به نام تغییرپذیری میگیم. انرژی همیشه حفظ می شود، اما ثابت نیست، به این معنی که بسته به چارچوب مرجع خود، آن را متفاوت اندازه گیری می کنید. هر جسمی که با همان سرعت شما حرکت می کند، به نظر می رسد که انرژی جنبشی ندارد درست است؟ اما متوجه خواهید شد که از هر چارچوب مرجعی که استفاده می کنید، قوانین حفاظت پابرجا هستند.
آیا انرژی مکانیکی در تمام قاب های اینرسی حفظ می شود؟
آیا انرژی مکانیکی کل، یعنی انرژی جنبشی + انرژیپتانسیل، در یک قاب که با سرعت ثابت نسبت به زمین حرکت می کند، حفظ می شود.
توپی را در نظر بگیرید که از یک ساختمان رها شده است. توپ و زمین سیستم هستند.
اجازه دهید دو فریم را در نظر بگیریم. یکی به زمین متصل است و دیگری نسبت به زمین با سرعت ثابت، مثلاً 1 متر بر ثانیه، حرکت می کند. برای یک بازه زمانی
اگر انرژی مکانیکی کل به صورت جداگانه در دو فریم حفظ شود، به این معنی است که از دست دادن انرژی پتانسیل در فریم های مربوطه برابر با بزرگی تغییر انرژی جنبشی در همان فریم است. حال از آنجایی که تغییر در انرژی جنبشی در هر دو متفاوت است، تغییر در انرژی پتانسیل نیز باید متفاوت باشد. ، انرژی پتانسیل به پیکربندی ذرات سیستم بستگی دارد، بنابراین مستقل از فریم است.
به نظر می رسد که این نشان می دهد که انرژی مکانیکی کل در تمام قاب های اینرسی حفظ نمی شود.
سپس دوباره، اگر انرژی پتانسیل را به عنوان کار انجام شده توسط نیروی گرانشی تعریف کنیم، زیرا در فریم های مختلف، به دلیل فاصله ای که نیرو درفریمهای مختلف عمل می کند، متفاوت است... آنگاه انرژی مکانیکی حفظ می شود و معادلات برآورده می شوند. اما این بدان معناست که انرژی پتانسیل با توجه به فریم تعریف می شود.
: در مکانیک نیوتنی تغییر در انرژی پتانسیل مستقل ازفریم است و در غیاب اتلاف، انرژی مکانیکی کل در همه فریم ها حفظ می شود. سردرگمی که با آن مواجه می شوید به دلیل مشکلی در تعریف انرژی پتانسیل یا انرژی مکانیکی نیست، به دلیل در نظر نگرفتن کل انرژی مکانیکی است.
متأسفانه باید مخالف باشم. این یک موضوع گیج کننده است، اما نادرست است که:
کار انجام شده توسط گرانش (که اکنون نیز تغییر در انرژی پتانسیل است)تغییر در انرژی پتانسیل $mg\Delta h$ باقی می ماند
h اگرچه کار انجام شده توسط گرانش اینطور نیست. انرژی پتانسیل باید ثابت بماند یا می‌توانید با فشرده کردن فنر در حالت استراحت و سپس رها کردن آن در حین حرکت، یک ماشین حرکت دائمی ایجاد کنید.
بیایید این موضوع را کاملتر بررسی کنیم. برای تغییرات کوچک در جداسازی، Δh بین توپ و زمین تغییر در انرژی پتانسیل گرانشی $ΔU=mgΔh $است
. توجه داشته باشید که این انرژی پتانسیل متعلق به خود توپ نیست، بلکه به سیستم توپ-زمین تعلق دارد. به عبارت دیگر Δh فقط یک ویژگی توپ نیست، بلکه یک ویژگی سیستم توپ-زمین، پیکربندی این دو است. این بدان معناست که اگر انرژی پتانسیل گرانشی را در نظر بگیرید، باید کل سیستم توپ و زمین را در نظر بگیرید. تحلیل های دیگر زمین را حذف کردند.
انرژی مکانیکی حاصل جمع انرژی جنبشی زمین، انرژی جنبشی توپ و انرژی پتانسیل $E=T_E+T_B+U$ است.
، جایی که $T_E=\frac{1}{2}M V^2$
$T_B=\frac{1}{2} m v^2$
و U=mgh. در چارچوبی که زمین و توپ در ابتدا به سمت u حرکت می کنند
می توان نشان داد که$T_E(t)=\frac{1}{2}Mu^2+mgut+\frac{1}{2}\frac{m^2}{M}g^2 t^2$
$T_B(t)=\frac{1}{2}mu^2-mgut+\frac{1}{2}mg^2 t^2$
$U(t)=mgh_0 - \frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{M}+m\right)g^2 t^2$
$E(t)=\frac{1}{2}(m+M)u^2+mgh_0=const.$
بنابراین کل انرژی مکانیکی $E=T_E+T_B+U$
حفظ شده است، اما $T_B+U$ نیست.
با توجه به این موضوع، چرا می‌توانیم تنها با استفاده از $T_B+U$ کنار بیاییم
در کادری که u=0 است ? توجه داشته باشید، اگر m≪M سپس آخرین ترم TE
حذف می شود و آن را ساده می کند $T_E=\frac{1}{2}Mu^2+mgut$این غیر صفر است مگر در موردی که u=0 باشد
و مهمتر از آن در طول زمان تغییر می کند اگر u≠0 . بنابراین می‌توانیم از «تقلب» فرار کنیم، زیرا زمین بسیار بزرگ‌تر از توپ است و به TE=0=const منجر می‌شود.
اما فقط در کادری که u=0 است به طور معمول می گوییم که تغییر انرژی پتانسیل یک جسم $mg$ است
برابر تغییر ارتفاع، و این تغییر در انرژی پتانسیل را با کار انجام شده توسط گرانش روی آن جسم برابر میدانیم. این در یک چارچوب مرجع که ثابت است (یا حداقل سرعت عمودی آن صفر است) نسبت به زمین صادق است - به همین دلیل است که کار در چنین چارچوب مرجع بسیار راحت است و ما تقریباً همیشه این کار را انجام می دهیم. .
با این حال، در یک چارچوب مرجع که دارای سرعت عمودی غیر صفر نسبت به زمین است، mgΔh
دیگر با کار انجام شده توسط گرانش برابری نمی کند و ما باید به اصول اولیه بازگردیم.
برای مثال،دیگرم بچه های هوپایی اگر جسمی با جرم m دارای سرعت اولیه u است
(به سمت بالا) با توجه به زمین، سپس می‌توانیم در چارچوب مرجعی کار کنیم که در آن جسم در ابتدا ساکن است. می دانیم که در این چارچوب مرجع، سرعت جسم در زمان t
$-gt$ استبنابراین تغییر انرژی جنبشی آن$\frac 1 2 m g^2 t^2$ است . جابجایی آن در زمان t $-\frac 1 2 g t^2$ است
، بنابراین کار انجام شده توسط گرانش بر روی جسم است
$(-mg) \times (- \frac 1 2 g t^2) = \frac 1 2 m g^2 t^2$
و بنابراین می بینیم که کار انجام شده توسط گرانش برابر با تغییر انرژی جنبشی است، همانطور که ما انتظار داریم.
از طرف دیگر، می‌توانیم در چارچوب مرجعی کار کنیم که نسبت به زمین ثابت است. در اینفریم جسم دارای انرژی جنبشی اولیه $\frac 1 2 mu^2$ است
و انرژی جنبشی نهایی $\frac 1 2 m (u-gt)^2$ ، بنابراین تغییر در انرژی جنبشی است
$\frac 1 2 m \left( (u-gt)^2 - u^2 \right) = \frac 1 2 mg^2 t^2 - mugt$ در این قاب جابجایی جسم در زمان t $ut - \frac 1 2 gt^2$است
بنابراین کار انجام شده توسط گرانش (که اکنون نیز تغییر در انرژی پتانسیل است) است
$(-mg) \times (ut - \frac 1 2 gt^2) = \frac 1 2 mg^2t^2 - mugt$
و بار دیگر می بینیم که کار انجام شده توسط گرانش برابر با تغییر انرژی جنبشی است.
بنابراین این اصل که کار انجام شده توسط گرانش برابر است با تغییر انرژی جنبشی (در صورت عدم وجود اصطکاک یا سایر نیروهای اتلاف کننده) در هر دو قاب صادق است، اگرچه مقدار در هر طرف معادله وابسته به فریم است.
در متنی که من نشان داده ام که «به طور کلی، در یک چارچوب مرجع اینرسی، در حضور نیروهای غیر محافظه کار مانند نیروهای اصطکاکی، نرمال و کششی، اگر کار انجام شده توسط نیروهای غیر محافظه کار روی یک سیستم صفر باشد، انرژی مکانیکی حفظ می شود. کار انجام شده توسط همان نیروهای غیرمحافظه در یک فریم مرجع اینرسی دیگری ممکن است غیر صفر باشد. بنابراین، در چارچوب مرجع دوم انرژی مکانیکی حفظ نمی شود.قضیه انرژی مکانیکی-کار غیر محافظه کار تعریف شده توسط $∆E = W_{nc}$
تحت تحولات گالیله ای کوواریانت است.انرژی مکانیکی یک سیستم را می توان در یک قاب مرجع اینرسی معین حفظ کرد و در قاب مرجع اینرسی دیگری نمی توان آن را حفظ کرد. در غیاب نیروهای غیر محافظه کار، انرژی مکانیکی در تمام فریم های مرجع اینرسی حفظ می شود.تبدیل‌های بین فریم‌ها همگی تبدیل‌های مختصات دلخواه (برگشت‌پذیر و قابل تمایز) هستند. کمیت های کوواریانت میدان های اسکالر، میدان های برداری، میدان های تانسور و غیره هستند که در فضازمان به عنوان یک منیفولد تعریف می شوند.
آیا تغییر در انرژی جنبشی ثابت است؟
برخورد غیر کشسان بین دو جسم را در نظر بگیرید.
این سوال از این نتیجه می گیرد: آیا ضریبفریم استرداد مستقل و بقا انرژی است؟
که ΔE باید در قاب CofM باشد. اما ΔE است
در هر فریم یکسان نیست؟ (می دانم که صرفاً برای تغییر انرژی جنبشی یک جسم یکسان نیست، اما برای برخوردی مانند این مانند ΔE به نظر می رسد.
در اینجا استدلال من است که قاب S را در نظر بگیرید
حرکت با سرعت v با توجه به $S'$
(با نادیده گرفتن اثرات نسبیتی)، سپس تغییر در انرژی جنبشی در S' از رابطه زیر بدست می آید:
$\Delta E'=\frac{1}{2}m_1 u^{'2}_1+\frac{1}{2}m_2 u^{'2}_2-\frac{1}{2}m_1 v^{'2}_1-\frac{1}{2}m_2 v^{'2}_2$
$=\frac{1}{2}m_1 (u_1-v)^2+\frac{1}{2}m_2 (u_2-v)^2-\frac{1}{2}m_1 (v_1-v)^2-\frac{1}{2}m_2 (v_2-v)^2$
$=(\frac{1}{2}m_1 u^{2}_1+\frac{1}{2}m_2 u^{2}_2-\frac{1}{2}m_1 v^{2}_1-\frac{1}{2}m_2 v^{2}_2)+2v(m_1v_1+m_1v_2-m_1u_1-m_2u_2)+0$
اما به دلیل پایستگی تکانه، چیزی که در پرانتز دوم قرار دارد 0 است، بنابراین ما باقی می‌مانیم:
ΔE′=ΔE آیا این درست است زیرا به نظر درست نیست؟ اگر ممکن است لطفاً توضیح دهید که چرا اینطور است، اجازه دهید S
و S' دو فریم اینرسی و S' باشد حرکت با سرعت ثابت v فریم اکنون یک نیروی F بر روی ذره در نقطه A اثر می گذارد
و آن را به نقطه B منتقل کنید . اگر موقعیت x مختصات نقطه A و نقطه B در S' فریم هستند$(x_1',x_2')$
و در S فریم هستند $(x_1,x_2)$ سپس در هر زمان t $x_1=x_1'+vt$ و$x_2=x_2'+vt$
از آنجایی که $F=F'$ ، کار انجام شده برای جابجایی جسم از نقطه A به B: 1. در S' قاب F' است.$F'.(x_2'-x_1')$
در S قاب $F. (x_2-x_1)=F'.{(x_2'+vt)-(x_1'+vt)}=F'. (x_2'-x_1')$
بنابراین کار انجام شده در هر دو قاب یکسان است. بنابراین می توان گفت که تغییر انرژی جسم در هر دوفریم نیز یکسان است.
بررسی جزئیات مطالبم در یک مثال جذاب برای هوپایی ها
فرض کنید من بالای یک تپه هستم و توپی را از ارتفاعی رها می کنم. از آنجایی که هیچ نیروی خارجی بر روی سیستم توپ زمینی عمل نمی کند، می توانم با خیال راحت ادعا کنم که انرژی کل حفظ شده است. من می دانم که وقتی توپ از ارتفاع مشخصی سقوط می کند، (سیستم) انرژی پتانسیل را از دست می دهد و انرژی جنبشی به دست می آورد.
بسته به جایی که من سطح چارچوب مرجع خود را گرفته ام، مقدار انرژی پتانسیل در تمام نقاط مختلف تغییر می کند. با این حال، تغییر انرژی پتانسیل مستقل از سطح مرجع من است. به طور مشابه، سرعت به جایی که من ایستاده ام بستگی ندارد. بنابراین می توانم بگویم $K_f+U_f=K_i+U_i$ . به طور کلی تر، می توانم بگویم ΔK+ΔU=0$$
.در هر نقطه در طول سقوط، انرژی کل انرژی جنبشی در آن نقطه است که به انرژی پتانسیل آن نقطه اضافه می شود. این یک مشکل کوچک ایجاد می کند. حتی اگر تغییر انرژی کل 0 باشد
، مقدار کل انرژی بستگی به این دارد که سطح مرجع خود را کجا گرفته ام. در این مورد، این مقدار انرژی پتانسیل است که به انتخاب مرجع من بستگی دارد.
مورد دیگر این است که فرض کنید من، ناظر، با توپ می پرم، به طوری که با مقداری سرعت حرکت می کنم. در این فریم توپ با سرعت متفاوتی نسبت به فریم اول حرکت می کند. از آنجایی که کار انجام شده توسط گرانش ثابت می ماند، می توانم استدلال کنم که انرژی پتانسیل سیستم ثابت می ماند (بسته به سطح مرجع ما).مشکل اکنون این است که توپ مقداری انرژی جنبشی متفاوت از انرژی جنبشی در مثال اول دارد. بنابراین، حتی اگر کل تغییر انرژی 0 باشد، ارزش کل انرژی دیگر یکسان نیست.مثال دیگر، ماشینی را در نظر بگیرید که در x حرکت می کند
جهت. انرژی کل برابر با انرژی جنبشی است و آن E است فرض کنید با توجه به برخی از ناظران در خودرو، انرژی جنبشی و در نتیجه انرژی کل برابر با 0 است
. بنابراین، با حرکت از یک فریم به فریم دیگر، انرژی کل تغییر کرده است.
پس بقا در انرژی دقیقاً به چه معناست؟
آیا این بدان معناست که انرژی مکانیکی کل در تمام فریمهای اینرسی دقیقاً یکسان باقی می ماند؟ برای مثال اگر E1 باشد
در یک فریم باید E1 باشد در تمام فریم های دیگر یا به این معنی است که اگر انرژی کل در یک قاب اینرسی حفظ شود، یعنی تغییر انرژی کل 0 باشد.
در یک فریم، پس تغییر انرژی کل نیز باید 0 باشد
در همه فریم های اینرسی دیگر؟
بنابراین به نظر می رسد مقدار انرژی کل در یک نقطه به سرعت قاب اینرسی ناظر (انرژی جنبشی به این بستگی دارد) و سطح مرجعی که ناظر پتانسیل را 0 فرض می کند بستگی دارد.
(انرژی پتانسیل در یک نقطه به این بستگی دارد).
یعنی ΔE=0 ، یا اگر حساب دیفرانسیل و انتگرال را می دانید$\frac{d}{dt}E=0$
. انرژی کل ثابت است، با گذشت زمان تغییر نمی کند.آیا این بدان معناست که انرژی مکانیکی کل در تمام قاب های اینرسی دقیقاً یکسان باقی می ماند؟ مثلاً اگر در یک فریم 1 باشد، در همه فریم های دیگر باید 1 باشد؟آنچه را که شما متو.جه شدین ، تغییر ناپذیری فریم نامیده می شود. انرژی حفظ می شود، اما ثابت نیست. فریم های اینرسی مختلف در مورد مقدار انرژی با هم اختلاف نظر دارند، اما همه آنها موافق هستند که در طول زمان ثابت است.
یا به این معناست که اگر انرژی کل در یک قاب اینرسی حفظ شود، یعنی تغییر انرژی کل در یک فریم 0 باشد، پس تغییر انرژی کل در تمام فریم های اینرسی دیگر نیز باید صفر باشد؟
آره..مردی را در نظر بگیرید که یک کیسه سنگین را به صورت عمودی با سرعت ثابت بلند می کند، در حالی که سوار آسانسوری می شود که خود با سرعت ثابت در حال بالا رفتن است. نیروی وارد شده توسط مرد به کیسه، در هر قاب، فقط وزن کیسه است. فاصله ای که این نیرو بر روی آن اعمال می شود به چارچوب مرجع بستگی دارد: در قاب آسانسور، مرد کیسه را از زانو تا ارتفاع شانه در یک دوره زمانی معین حرکت می دهد - مثلاً جابجایی یک متری در طول پنج ثانیه. در قاب زمین، آسانسور ممکن است در همان پنج ثانیه دو طبقه (شش متر) بالا آمده باشد، بنابراین کل جابجایی کیسه هفت متر است و کار انجام شده روی کیسه هفت برابر بیشتر از قاب آسانسور است. در ضمن در قاب کیف جابجایی و در نتیجه کار صفر است.
. چیزی که شما پیشنهاد کردید فیزیک بد ودرک غلطه است زیرا پایستگی انرژی را از بین می برد.
اوقتی حرکت جسم دیگری را مشاهده میکنم و مقداری K به آن جسم نسبت می‌دهم که معیاری برای کار است، می‌توانم از آن خارج شوم. منطقی است که هر ناظر دیگری پاسخ متفاوتی به دست بیاورد، زیرا K در قاب آنها معیاری از کار ممکنی است که می توانند از شی در یک فرآیند در صورت تعامل با آن دریافت کنند. هر ناظری که به تعامل دو جسم متحرک نگاه می کند باید همان تغییر انرژی داخلی و انتقال تکانه بین آنها را در یک فرآیند برخورد محاسبه کند. حال، انرژی درونی چیست؟ انرژی کل را می توان به انرژی مرکز جرم سیستم و انرژی نسبی بین قطعات متحرک داخلی تقسیم کرد.
این فقط یک مثال است که به منظور پرداختن به هر نوع احتمالی E و فرآیند نیست، اما به این نکته اشاره می‌کند که این مقادیر ممکن است به فریم بستگی داشته باشند، چیزی مطلق در اینجا وجود دارد. شما باید
، اما من فکر می کنم که جزئیات بیش از حد دارند. پاسخ ساده این است که سرعت ها وابسته به چارچوب مرجع هستند، در حالی که طول ها وابسته نیستند. انرژی جنبشی به سرعت بستگی دارد، بنابراین وابسته به چارچوب مرجع است. انرژی های بالقوه به طول بین دو جسم (یا از یک نقطه مرجع) بستگی دارد، بنابراین آنها وابسته به چارچوب مرجع نیستند.
انتقال انرژی بین این اشکال نیازمند انجام کاری است که به تغییر طول (یا سرعت در طول زمان) از طریق انتگرال $\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf x$ بستگی دارد.
، تغییر انرژی سیستم در هر دو فریم 0 است.در فیزیک، کار محصول نیرو و جابجایی است.
یا به بیان ریاضی
$\overrightarrow W =\int_{\overrightarrow x_{i}} ^{\overrightarrow x_{f}}\overrightarrow F\cdot \overrightarrow {ds}$اینجا ${\overrightarrow x_{i}}$
و ${\overrightarrow x_{f}}$
بردار موقعیت اولیه و نهایی هستند و آن نقطه حاصل ضرب نقطه است.
به عنوان هر دو $\overrightarrow F$
و $\overrightarrow {ds}$ هر دو به فریم وابسته هستند، بنابراین محصول آنها با تبدیل قاب تغییر می کند (مگر اینکه دلیل خاصی وجود داشته باشد). این واقعا به زمینه بستگی دارد.
بنابراین، بله، کار یک نوع فریم است، باید باشد، همانطور که در تعریف آن آمده است.
تضاد بین تبدیل گالیله و بقای انرژی مکانیکی
در نظر بگیرید. میز بدون اصطکاک و ریسمان و قرقره بدون جرم هستند. فرض کنید در ارتفاعات h
و$\widetilde{h}$ $m_2$ مولفه های مربوط به سرعت مربوط به جرم ها$u_{1x} = u_{2y}$ هستند
و $\widetilde{u}_{1x} = \widetilde{u}_{2y}$
به ترتیب. سپس بقای انرژی این را به ما می گوید $\frac{1}{2} m_1 u_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 u_{2y}^2 + m_2gh = \frac{1}{2} m_1 \widetilde{u}_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 \widetilde{u}_{2y}^2 + m_2 g \widetilde{h}.$اگر فریم دیگری با سرعت ثابت در حال حرکت باشد v در X جهت با توجه به قاب استفاده شده قبلی، سپس تبدیل گالیله را به عنوان اعمال می کنیم
$u'_{1x} = u_{1x} - v,$ $u'_{2x} = -v,$
$u'_{2y} = u_{2y},$ $\widetilde{u}'_{1x} = \widetilde{u}_{1x} - v,$
$\widetilde{u}'_{2x} = -v,$
$\widetilde{u}'_{2y} = \widetilde{u}_{2y},$
و از آنجایی که انرژی نیز در آن قاب حفظ می شود،
$\frac{1}{2} m_1 {u'_{1x}}^2 + \frac{1}{2}m_2 {u'_{2y}}^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 + m_2 gh = \frac{1}{2} m_1 {\widetilde{u}'_{1x}}^2 + \frac{1}{2}m_2 {\widetilde{u}'_{2y}}^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 + m_2 g \widetilde{h}.$با اعمال رابطه با سرعت های اولیه و غیر اولیه بر اساس تبدیل گالیله، پس از کمی ساده سازی به این معادله می رسیم.
$\frac{1}{2} m_1 u_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 u_{2y}^2 + m_2gh - m_1 u_{1x} v = \frac{1}{2} m_1 \widetilde{u}_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 \widetilde{u}_{2y}^2 + m_2 g \widetilde{h} - m_1 \widetilde{u}_{1x} v.$با استفاده از بقای انرژی در فریم در نهایت به دست می آوریم
$u_{1x} = \widetilde{u}_{1x}.$.
که متناقض است زیرا$u_{1x}$
با تغییر ارتفاع تغییر می کند. آیا من بطور ضمنی در جایی فرض کردم که$h = \widetilde{h}$
? از درک من از تغییر ناپذیری گالیله، نباید چنین تناقضی وجود داشته باشد.
موافق با سرعت های محاسبه شده با توجه به قاب به جز${u}^{'}_{2y} = u_{2y}$
و $\tilde{u}^{'}_{2y} = \tilde{u}_{2y}$
، به طوری که به طور کلی $u^{'}_{1x} \neq u^{'}_{2y}$
اگرچه $u^{}_{1x} = u^{}_{2y}$
،توجه داشته باشید که$u^{}_{1x}(t) = u^{}_{2y}(t)$
به دلیل محدودیت هندسی مکانیسم، $u^{'}_{1x}(t) = u^{}_{1x}(t) - v$
و$u^{'}_{2y}(t) = u^{}_{2y}(t)$
در تمام لحظات زمان 0≤t
،موافق با اولین معادله بقای انرژی،
بیانگر لحظه های زمانی که با ارتفاعات h مطابقت دارد و$\tilde{h}$ توسط t1
و t2 به ترتیب و نشان دادن مقدار متغیر زمان (به طور کلی) مقدار نیروی کشش در طناب با T(t)
،ما باید قضیه کار-انرژی را با استفاده از قاب اولیه محاسبه شده به کار ببریم
$\int_{t_1}^{t_2} T(t) (u^{'}_{1x}(t) - u^{'}_{2y}(t)) \; dt = \int_{t_1}^{t_2} T(t) ((u_{1x}(t) - v) - u^{}_{2y}(t)) \; dt \\= - v \cdot \int_{t_1}^{t_2} T(t) dt = - m_1 \tilde{u}^{'}_{1x} v + m_1 {u}^{'}_{1x} v = m_1 ({u}^{'}_{1x} - \tilde{u}^{'}_{1x}) v \leq 0,$در صورتی که$0 \leq v$
در نتیجه برابری$\int_{t_1}^{t_2} T(t) \; dt = m_1 (\tilde{u}^{'}_{1x} - {u}^{'}_{1x})$
. اعمال قانون دوم حرکت نیوتن بر جرم m1
که به این معنی است که$T(t) = m_1 a_{1x}$
جایی که $a_{1x} := \dot{u}^{'}_{1x}$
، می توانیم با ادغام معادله حرکت برای به دست آوردن تغییر تکانه خطی به صورت$\int_{t_1}^{t_2} T(t) \; dt = m_1 \cdot \int_{t_1}^{t_2} \dot{u}^{'}_{1x}(t) \; dt = m_1 (\tilde{u}^{'}_{1x} - {u}^{'}_{1x})$برابری را بدست آوریم و در نتیجه تایید کنیم.
.درک مورد تاکید تضاد ظاهری ارائه شده توضیح ارائه شده در بالا این است که نیروی کشش به طور کلی غیر محافظه کار است و معادله بقای انرژی مکانیکی را نمی توان برای سیستم هایی با نیروهای غیر محافظه کار اعمال کرد. با این حال، می‌توانیم از نوشتن سهم کار انجام شده توسط نیروی کشش ناشی از قضیه کار-انرژی در هنگام استفاده از چارچوب مرجع بدون پرایم اولیه غفلت کنیم، زیرا رابطه $u_{1x}(t) = u_{2y}(t)$
برای همه$0 \leq t$
مشاهده شده هنگام استفاده از آن چارچوب مرجع باعث می شود که کار انجام شده توسط نیروی کشش به صورت$\int_{t_1}^{t_2} T(t) (u_{1x}(t) - u_{2y}(t)) \; dt \equiv 0$بی اهمیت شود.
. بنابراین، در مورد خاص مکانیزم در نظر گرفته شده در پست، معادله بقای انرژی مکانیکی علیرغم وجود نیروهای غیر محافظه کار به دلیل در دسترس بودن انتخاب منحصر به فرد قاب مرجع، از نظر ریاضی معتبر است. این انتخاب منحصر به فرد از قاب مرجع، قاب است که در حالت ثابت قرار دارد. قرقره و منجر به برابری سرعت دو جرم در اعمال محدودیت طول طناب ثابت می شود زیرا $x_1 - y_1 = \textit{length of rope} = \textit{constant}$ است.
به معنای$\dot{x}_1 - \dot{y_2} = 0 = u_{1x} - u_{2y}$ است
، جایی که x1 X را نشان می دهد مختصات و y2 Y را نشان می دهد
مختصات m2 (به راحتی با فرض نقطه محوری قرقره به عنوان مبدا مشاهده می شود، اگرچه انتخاب هر نقطه در XY
صفحه ای که بالاتر از ارتفاع اولیه m1 است همانطور که منشاء به همین نتیجه منجر می شود).
انرژی مکانیکی یک سیستم از ذرات به سرعت و شتاب چارچوب مرجع مورد استفاده برای محاسبه آن بستگی دارد. اگرچه بقای انرژی مکانیکی برای سیستم‌هایی که در آنها نیروهای غیرمحافظه‌ای بر (حداقل) برخی از ذرات سیستم اعمال می‌شود، درست نیست، قضیه انرژی کار- i است.
آیا انرژی در یک چارچوب مرجع متحرک حفظ می شود
وقتی جعبه در پایین شیب بدون اصطکاک قرار دارد، سرعتی برابر با $v_f$خواهد داشت
. شخص یک چارچوب مرجع اینرسی است که با سرعت ثابت $v_f$ حرکت می کند
.از چارچوب مرجع شخص، جعبه زمانی که در بالای سطح شیب دار قرار دارد دارای انرژی جنبشی است. حتی اگر در جهت منفی حرکت کند، سرعت در$KE = mv^2/2$مجذور خواهد شد
بنابراین اکنون جعبه دارای انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی است.
وقتی جعبه در پایین شیب قرار دارد، هیچ انرژی جنبشی از چارچوب مرجع فرد نخواهد داشت. چگونه است که جعبه دارای هر دو انرژی پتانسیل $mgh$
) و انرژی جنبشی$mv^2/2$
) در بالای شیب بدون اصطکاک اما نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی در پایین داشت؟
$mgh + \frac{mv^2}{2} = 0$
قانون بقای انرژی می گوید انرژی منتقل می شود، اما از بین نمی رود. انرژی کجا رفته؟
اساساً قانون بقای انرژی صرف نظر از چارچوب مرجع نباید نقض شود، اما فرمول نهایی این کار را انجام می دهد. انرژی کجا رفته؟اگر سوال شما در مورد مکانیک نیوتنی (غیر نسبیتی) است، پاسخ این است:
در هر چارچوب مرجع اینرسی، انرژی حفظ می شود.
می توان چارچوب مرجع اینرسی را به عنوان چارچوب مرجعی تعریف کرد که با سرعت ثابت حرکت می کند، یعنی شتاب چنین چارچوب مرجع صفر است. در چارچوب مرجع اینرسی، همه قوانین نیوتن معتبر هستند، و از آنجایی که انرژی به عنوان اثر نیروی محافظه کار تعریف می شود، انرژی باید حفظ شود.
اساساً، چندین راه برای توضیح اینکه چرا به نظر می‌رسد انرژی حفظ نمی‌شود وجود دارد، اما در نهایت همه چیز یکسان می‌شود: نه تنها شیب بر روی جعبه با نیروی طبیعی $\vec{N}$ عمل می‌کند.
، اما جعبه همچنین بر روی شیب با نیروی مخالف $-\vec{N}$ عمل می کند
(قانون سوم نیوتن). در نتیجه، انرژی جنبشی شیب (و در واقع کل زمین) نیز تغییر می کند.
الف. اولین راه ممکن برای توضیح این پارادوکس، دیدن شیب و زمین به عنوان نوعی نیروی خارجی است $\vec{N}$
) که حرکت جعبه را محدود می کند. در چارچوب مرجع شیب، این کار به سادگی صفر است، زیرا نیرو بر حرکت عمود است:$\vec{N} \cdot \textrm{d}\vec{s} = 0, \vec{N} \perp \textrm{d}\vec{s}$
. با این حال، در چارچوب مرجع فرد، کار دیگر صفر نیست $\vec{N} \cdot \textrm{d}\vec{s} \ne 0$
) ، بنابراین کار اضافی دارید که باید محاسبه کنید. محاسبه این کار اضافی بسیار پیچیده است و من ترجیح می دهم به توضیح ساده تر بعدی بپردازم.
ب) دومین راه ممکن برای توضیح این پارادوکس، محاسبه انرژی کل جهان است، یعنی انرژی جعبه و همچنین انرژی زمین + شیب. در چارچوب مرجع شخص، زمین همیشه به سمت چپ حرکت می کند، بنابراین واضح است که ما تفاوت انرژی جنبشی را محاسبه می کنیم. معلوم می شود که اگر انرژی جنبشی زمین را در چارچوب مرجع شخص محاسبه کنید، متوجه خواهید شد که انرژی جنبشی کوچکتر جعبه و انرژی پتانسیل کوچکتر را افزایش می دهد و جبران می کند.
چرا محاسبه انرژی جنبشی زمین فقط در چارچوب مرجع فرد مهم است؟ بیایید تفاوت انرژی جنبشی آن را محاسبه کنیم، اگر M جرم زمین،$m$ جرم جعبه است، V سرعت زمین و $v$
سرعت جعبه پس از انجام فرآیند در چارچوب + جعبه مرجع. توجه داشته باشید که سرعت شخص نیز v است
. بدیهی است و V≪v و M≫m و از پایستگی لحظه MV=mv .در چارچوب مرجع Earth+box:
$\Delta KE'_\textrm{Earth} = \frac{1}{2} M V^2 - \frac{1}{2} M 0^2 = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} m v V \ll \frac{1}{2} m v^2$در چارچوب مرجع شخص (با استفاده از تبدیل های گالیله):
$\Delta KE_\textrm{Earth} = KE^\text{final}_\text{Earth} - KE^\text{init}_\text{Earth} = \frac{1}{2} M (V+v)^2 - \frac{1}{2} M v^2 \approx M V v = m v^2 = 2 (\frac{1}{2} m v^2)$.
بدیهی است $\Delta KE'_\textrm{Earth}$
به صورت ناچیز از طرف دیگر$\Delta KE_\textrm{Earth}$
ناچیز نیست و برابر با دو برابر انرژی جنبشی نهایی جعبه در چارچوب مرجع زمین است. این دقیقاً انرژی پتانسیل شروع جعبه به اضافه انرژی جنبشی نهایی جعبه است (KE+PE
)، این همان انرژی است که در سوال از دست رفته":
$KE^\text{init}_\text{Earth} + mgh + \frac{1}{2} m v^2 = KE^\text{final}_\text{Earth}$
بقای انرژی به صورت$\frac 1 2 mv^2 + \phi(\vec r) =const$نوشته شده است
در قاب متحرک نمی ماند زیرا پتانسیل $\phi(\vec r)$
زیرا نیروی خالص وارد بر جعبه اکنون به زمان بستگی دارد، نه فقط موقعیت.
اگر نیروی F محافظه کارانه است، پس یک ϕ پتانسیل وجود دارد
به طوری که$F = -\nabla\phi$ و بقای انرژی را می توان به صورت
$\frac 1 2mv^2 + \phi(\vec r) = const$
برای گرانش، می توانیم $\phi = mgy$ بنویسیم
به طوری که$F_g = -\left(\frac {\partial} {\partial x}mgy, \frac {\partial} {\partial y}mgy, \frac {\partial} {\partial z}mgy\right) = (0, -mg,0)$در قاب متحرک، پتانسیل گرانشی را نیز می توان به این صورت نوشت تا بقای انرژی فقط برای نیروی گرانشی وارد بر جعبه همچنان پابرجا باشد.
$\frac 1 2 mv^2 +mgy = const$همچنین یک $\phi_p$ وجود دارد
برای نیروی واکنش$mg\cos\theta$
از صفحه شیبدار روی جعبه، زیرا در فریم صفحه محافظه کار است
$\phi_p(\vec r) = -mg\cos\theta(y\cos\theta + x\sin\theta)$به طوری که پایستگی انرژی در قاب هواپیما، از جمله گرانش، در نهایت است
$\frac 1 2 mv^2 + mgy - mg\cos\theta(y\cos\theta + x\sin\theta) = const$با این حال، در قاب متحرک، $\phi_p$
به دلیل وابستگی آن به x به زمان بستگی دارد
در قاب صفحه شیبدار، و بنابراین بقای انرژی را نمی توان نوشت
بقا در انرژی دقیقاً چیه
حفظ انرژی در چارچوب های مرجع مختلف
توضیح انرژی مکانیکی یک سیستم را می توان در یک قاب مرجع اینرسی معین حفظ کرد و در قاب مرجع اینرسی دیگری نمی توان آن را حفظ کرد. در غیاب نیروهای غیرمحافظه، انرژی مکانیکی در تمامی قاب های مرجع اینرسی حفظ می شود.
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان فریم است. این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S'، که در آن S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانت است. در S و حفظ نشود.
در واقع این موضوع بقا در انرژی نیست. این موضوعی است که به نام تغییرپذیری میگیم. انرژی همیشه حفظ می شود، اما ثابت نیست، به این معنی که بسته به چارچوب مرجع خود، آن را متفاوت اندازه گیری می کنید. هر جسمی که با همان سرعت شما حرکت می کند، به نظر می رسد که انرژی جنبشی ندارد درست است؟ اما متوجه خواهید شد که از هر چارچوب مرجعی که استفاده می کنید، قوانین حفاظت پابرجا هستند.
آیا انرژی مکانیکی در تمام قاب های اینرسی حفظ می شود؟
آیا انرژی مکانیکی کل، یعنی انرژی جنبشی + انرژیپتانسیل، در یک قاب که با سرعت ثابت نسبت به زمین حرکت می کند، حفظ می شود.
توپی را در نظر بگیرید که از یک ساختمان رها شده است. توپ و زمین سیستم هستند.
اجازه دهید دو فریم را در نظر بگیریم. یکی به زمین متصل است و دیگری نسبت به زمین با سرعت ثابت، مثلاً 1 متر بر ثانیه، حرکت می کند. برای یک بازه زمانی
اگر انرژی مکانیکی کل به صورت جداگانه در دو فریم حفظ شود، به این معنی است که از دست دادن انرژی پتانسیل در فریم های مربوطه برابر با بزرگی تغییر انرژی جنبشی در همان فریم است. حال از آنجایی که تغییر در انرژی جنبشی در هر دو متفاوت است، تغییر در انرژی پتانسیل نیز باید متفاوت باشد. ، انرژی پتانسیل به پیکربندی ذرات سیستم بستگی دارد، بنابراین مستقل از فریم است.
به نظر می رسد که این نشان می دهد که انرژی مکانیکی کل در تمام قاب های اینرسی حفظ نمی شود.
سپس دوباره، اگر انرژی پتانسیل را به عنوان کار انجام شده توسط نیروی گرانشی تعریف کنیم، زیرا در فریم های مختلف، به دلیل فاصله ای که نیرو درفریمهای مختلف عمل می کند، متفاوت است... آنگاه انرژی مکانیکی حفظ می شود و معادلات برآورده می شوند. اما این بدان معناست که انرژی پتانسیل با توجه به فریم تعریف می شود.
: در مکانیک نیوتنی تغییر در انرژی پتانسیل مستقل ازفریم است و در غیاب اتلاف، انرژی مکانیکی کل در همه فریم ها حفظ می شود. سردرگمی که با آن مواجه می شوید به دلیل مشکلی در تعریف انرژی پتانسیل یا انرژی مکانیکی نیست، به دلیل در نظر نگرفتن کل انرژی مکانیکی است.
متأسفانه باید مخالف باشم. این یک موضوع گیج کننده است، اما نادرست است که:
کار انجام شده توسط گرانش (که اکنون نیز تغییر در انرژی پتانسیل است)تغییر در انرژی پتانسیل $mg\Delta h$ باقی می ماند
h اگرچه کار انجام شده توسط گرانش اینطور نیست. انرژی پتانسیل باید ثابت بماند یا می‌توانید با فشرده کردن فنر در حالت استراحت و سپس رها کردن آن در حین حرکت، یک ماشین حرکت دائمی ایجاد کنید.
بیایید این موضوع را کاملتر بررسی کنیم. برای تغییرات کوچک در جداسازی، Δh بین توپ و زمین تغییر در انرژی پتانسیل گرانشی $ΔU=mgΔh $است
. توجه داشته باشید که این انرژی پتانسیل متعلق به خود توپ نیست، بلکه به سیستم توپ-زمین تعلق دارد. به عبارت دیگر Δh فقط یک ویژگی توپ نیست، بلکه یک ویژگی سیستم توپ-زمین، پیکربندی این دو است. این بدان معناست که اگر انرژی پتانسیل گرانشی را در نظر بگیرید، باید کل سیستم توپ و زمین را در نظر بگیرید. تحلیل های دیگر زمین را حذف کردند.
انرژی مکانیکی حاصل جمع انرژی جنبشی زمین، انرژی جنبشی توپ و انرژی پتانسیل $E=T_E+T_B+U$ است.
، جایی که $T_E=\frac{1}{2}M V^2$
$T_B=\frac{1}{2} m v^2$
و U=mgh. در چارچوبی که زمین و توپ در ابتدا به سمت u حرکت می کنند
می توان نشان داد که$T_E(t)=\frac{1}{2}Mu^2+mgut+\frac{1}{2}\frac{m^2}{M}g^2 t^2$
$T_B(t)=\frac{1}{2}mu^2-mgut+\frac{1}{2}mg^2 t^2$
$U(t)=mgh_0 - \frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{M}+m\right)g^2 t^2$
$E(t)=\frac{1}{2}(m+M)u^2+mgh_0=const.$
بنابراین کل انرژی مکانیکی $E=T_E+T_B+U$
حفظ شده است، اما $T_B+U$ نیست.
با توجه به این موضوع، چرا می‌توانیم تنها با استفاده از $T_B+U$ کنار بیاییم
در کادری که u=0 است ? توجه داشته باشید، اگر m≪M سپس آخرین ترم TE
حذف می شود و آن را ساده می کند $T_E=\frac{1}{2}Mu^2+mgut$این غیر صفر است مگر در موردی که u=0 باشد
و مهمتر از آن در طول زمان تغییر می کند اگر u≠0 . بنابراین می‌توانیم از «تقلب» فرار کنیم، زیرا زمین بسیار بزرگ‌تر از توپ است و به TE=0=const منجر می‌شود.
اما فقط در کادری که u=0 است به طور معمول می گوییم که تغییر انرژی پتانسیل یک جسم $mg$ است
برابر تغییر ارتفاع، و این تغییر در انرژی پتانسیل را با کار انجام شده توسط گرانش روی آن جسم برابر میدانیم. این در یک چارچوب مرجع که ثابت است (یا حداقل سرعت عمودی آن صفر است) نسبت به زمین صادق است - به همین دلیل است که کار در چنین چارچوب مرجع بسیار راحت است و ما تقریباً همیشه این کار را انجام می دهیم. .
با این حال، در یک چارچوب مرجع که دارای سرعت عمودی غیر صفر نسبت به زمین است، mgΔh
دیگر با کار انجام شده توسط گرانش برابری نمی کند و ما باید به اصول اولیه بازگردیم.
برای مثال،دیگرم بچه های هوپایی اگر جسمی با جرم m دارای سرعت اولیه u است
(به سمت بالا) با توجه به زمین، سپس می‌توانیم در چارچوب مرجعی کار کنیم که در آن جسم در ابتدا ساکن است. می دانیم که در این چارچوب مرجع، سرعت جسم در زمان t
$-gt$ استبنابراین تغییر انرژی جنبشی آن$\frac 1 2 m g^2 t^2$ است . جابجایی آن در زمان t $-\frac 1 2 g t^2$ است
، بنابراین کار انجام شده توسط گرانش بر روی جسم است
$(-mg) \times (- \frac 1 2 g t^2) = \frac 1 2 m g^2 t^2$
و بنابراین می بینیم که کار انجام شده توسط گرانش برابر با تغییر انرژی جنبشی است، همانطور که ما انتظار داریم.
از طرف دیگر، می‌توانیم در چارچوب مرجعی کار کنیم که نسبت به زمین ثابت است. در اینفریم جسم دارای انرژی جنبشی اولیه $\frac 1 2 mu^2$ است
و انرژی جنبشی نهایی $\frac 1 2 m (u-gt)^2$ ، بنابراین تغییر در انرژی جنبشی است
$\frac 1 2 m \left( (u-gt)^2 - u^2 \right) = \frac 1 2 mg^2 t^2 - mugt$ در این قاب جابجایی جسم در زمان t $ut - \frac 1 2 gt^2$است
بنابراین کار انجام شده توسط گرانش (که اکنون نیز تغییر در انرژی پتانسیل است) است
$(-mg) \times (ut - \frac 1 2 gt^2) = \frac 1 2 mg^2t^2 - mugt$
و بار دیگر می بینیم که کار انجام شده توسط گرانش برابر با تغییر انرژی جنبشی است.
بنابراین این اصل که کار انجام شده توسط گرانش برابر است با تغییر انرژی جنبشی (در صورت عدم وجود اصطکاک یا سایر نیروهای اتلاف کننده) در هر دو قاب صادق است، اگرچه مقدار در هر طرف معادله وابسته به فریم است.
در متنی که من نشان داده ام که «به طور کلی، در یک چارچوب مرجع اینرسی، در حضور نیروهای غیر محافظه کار مانند نیروهای اصطکاکی، نرمال و کششی، اگر کار انجام شده توسط نیروهای غیر محافظه کار روی یک سیستم صفر باشد، انرژی مکانیکی حفظ می شود. کار انجام شده توسط همان نیروهای غیرمحافظه در یک فریم مرجع اینرسی دیگری ممکن است غیر صفر باشد. بنابراین، در چارچوب مرجع دوم انرژی مکانیکی حفظ نمی شود.قضیه انرژی مکانیکی-کار غیر محافظه کار تعریف شده توسط $∆E = W_{nc}$
تحت تحولات گالیله ای کوواریانت است.انرژی مکانیکی یک سیستم را می توان در یک قاب مرجع اینرسی معین حفظ کرد و در قاب مرجع اینرسی دیگری نمی توان آن را حفظ کرد. در غیاب نیروهای غیر محافظه کار، انرژی مکانیکی در تمام فریم های مرجع اینرسی حفظ می شود.تبدیل‌های بین فریم‌ها همگی تبدیل‌های مختصات دلخواه (برگشت‌پذیر و قابل تمایز) هستند. کمیت های کوواریانت میدان های اسکالر، میدان های برداری، میدان های تانسور و غیره هستند که در فضازمان به عنوان یک منیفولد تعریف می شوند.
آیا تغییر در انرژی جنبشی ثابت است؟
برخورد غیر کشسان بین دو جسم را در نظر بگیرید.
این سوال از این نتیجه می گیرد: آیا ضریبفریم استرداد مستقل و بقا انرژی است؟
که ΔE باید در قاب CofM باشد. اما ΔE است
در هر فریم یکسان نیست؟ (می دانم که صرفاً برای تغییر انرژی جنبشی یک جسم یکسان نیست، اما برای برخوردی مانند این مانند ΔE به نظر می رسد.
در اینجا استدلال من است که قاب S را در نظر بگیرید
حرکت با سرعت v با توجه به $S'$
(با نادیده گرفتن اثرات نسبیتی)، سپس تغییر در انرژی جنبشی در S' از رابطه زیر بدست می آید:
$\Delta E'=\frac{1}{2}m_1 u^{'2}_1+\frac{1}{2}m_2 u^{'2}_2-\frac{1}{2}m_1 v^{'2}_1-\frac{1}{2}m_2 v^{'2}_2$
$=\frac{1}{2}m_1 (u_1-v)^2+\frac{1}{2}m_2 (u_2-v)^2-\frac{1}{2}m_1 (v_1-v)^2-\frac{1}{2}m_2 (v_2-v)^2$
$=(\frac{1}{2}m_1 u^{2}_1+\frac{1}{2}m_2 u^{2}_2-\frac{1}{2}m_1 v^{2}_1-\frac{1}{2}m_2 v^{2}_2)+2v(m_1v_1+m_1v_2-m_1u_1-m_2u_2)+0$
اما به دلیل پایستگی تکانه، چیزی که در پرانتز دوم قرار دارد 0 است، بنابراین ما باقی می‌مانیم:
ΔE′=ΔE آیا این درست است زیرا به نظر درست نیست؟ اگر ممکن است لطفاً توضیح دهید که چرا اینطور است، اجازه دهید S
و S' دو فریم اینرسی و S' باشد حرکت با سرعت ثابت v فریم اکنون یک نیروی F بر روی ذره در نقطه A اثر می گذارد
و آن را به نقطه B منتقل کنید . اگر موقعیت x مختصات نقطه A و نقطه B در S' فریم هستند$(x_1',x_2')$
و در S فریم هستند $(x_1,x_2)$ سپس در هر زمان t $x_1=x_1'+vt$ و$x_2=x_2'+vt$
از آنجایی که $F=F'$ ، کار انجام شده برای جابجایی جسم از نقطه A به B: 1. در S' قاب F' است.$F'.(x_2'-x_1')$
در S قاب $F. (x_2-x_1)=F'.{(x_2'+vt)-(x_1'+vt)}=F'. (x_2'-x_1')$
بنابراین کار انجام شده در هر دو قاب یکسان است. بنابراین می توان گفت که تغییر انرژی جسم در هر دوفریم نیز یکسان است.
بررسی جزئیات مطالبم در یک مثال جذاب برای هوپایی ها
فرض کنید من بالای یک تپه هستم و توپی را از ارتفاعی رها می کنم. از آنجایی که هیچ نیروی خارجی بر روی سیستم توپ زمینی عمل نمی کند، می توانم با خیال راحت ادعا کنم که انرژی کل حفظ شده است. من می دانم که وقتی توپ از ارتفاع مشخصی سقوط می کند، (سیستم) انرژی پتانسیل را از دست می دهد و انرژی جنبشی به دست می آورد.
بسته به جایی که من سطح چارچوب مرجع خود را گرفته ام، مقدار انرژی پتانسیل در تمام نقاط مختلف تغییر می کند. با این حال، تغییر انرژی پتانسیل مستقل از سطح مرجع من است. به طور مشابه، سرعت به جایی که من ایستاده ام بستگی ندارد. بنابراین می توانم بگویم $K_f+U_f=K_i+U_i$ . به طور کلی تر، می توانم بگویم ΔK+ΔU=0$$
.در هر نقطه در طول سقوط، انرژی کل انرژی جنبشی در آن نقطه است که به انرژی پتانسیل آن نقطه اضافه می شود. این یک مشکل کوچک ایجاد می کند. حتی اگر تغییر انرژی کل 0 باشد
، مقدار کل انرژی بستگی به این دارد که سطح مرجع خود را کجا گرفته ام. در این مورد، این مقدار انرژی پتانسیل است که به انتخاب مرجع من بستگی دارد.
مورد دیگر این است که فرض کنید من، ناظر، با توپ می پرم، به طوری که با مقداری سرعت حرکت می کنم. در این فریم توپ با سرعت متفاوتی نسبت به فریم اول حرکت می کند. از آنجایی که کار انجام شده توسط گرانش ثابت می ماند، می توانم استدلال کنم که انرژی پتانسیل سیستم ثابت می ماند (بسته به سطح مرجع ما).مشکل اکنون این است که توپ مقداری انرژی جنبشی متفاوت از انرژی جنبشی در مثال اول دارد. بنابراین، حتی اگر کل تغییر انرژی 0 باشد، ارزش کل انرژی دیگر یکسان نیست.مثال دیگر، ماشینی را در نظر بگیرید که در x حرکت می کند
جهت. انرژی کل برابر با انرژی جنبشی است و آن E است فرض کنید با توجه به برخی از ناظران در خودرو، انرژی جنبشی و در نتیجه انرژی کل برابر با 0 است
. بنابراین، با حرکت از یک فریم به فریم دیگر، انرژی کل تغییر کرده است.
پس بقا در انرژی دقیقاً به چه معناست؟
آیا این بدان معناست که انرژی مکانیکی کل در تمام فریمهای اینرسی دقیقاً یکسان باقی می ماند؟ برای مثال اگر E1 باشد
در یک فریم باید E1 باشد در تمام فریم های دیگر یا به این معنی است که اگر انرژی کل در یک قاب اینرسی حفظ شود، یعنی تغییر انرژی کل 0 باشد.
در یک فریم، پس تغییر انرژی کل نیز باید 0 باشد
در همه فریم های اینرسی دیگر؟
بنابراین به نظر می رسد مقدار انرژی کل در یک نقطه به سرعت قاب اینرسی ناظر (انرژی جنبشی به این بستگی دارد) و سطح مرجعی که ناظر پتانسیل را 0 فرض می کند بستگی دارد.
(انرژی پتانسیل در یک نقطه به این بستگی دارد).
یعنی ΔE=0 ، یا اگر حساب دیفرانسیل و انتگرال را می دانید$\frac{d}{dt}E=0$
. انرژی کل ثابت است، با گذشت زمان تغییر نمی کند.آیا این بدان معناست که انرژی مکانیکی کل در تمام قاب های اینرسی دقیقاً یکسان باقی می ماند؟ مثلاً اگر در یک فریم 1 باشد، در همه فریم های دیگر باید 1 باشد؟آنچه را که شما متو.جه شدین ، تغییر ناپذیری فریم نامیده می شود. انرژی حفظ می شود، اما ثابت نیست. فریم های اینرسی مختلف در مورد مقدار انرژی با هم اختلاف نظر دارند، اما همه آنها موافق هستند که در طول زمان ثابت است.
یا به این معناست که اگر انرژی کل در یک قاب اینرسی حفظ شود، یعنی تغییر انرژی کل در یک فریم 0 باشد، پس تغییر انرژی کل در تمام فریم های اینرسی دیگر نیز باید صفر باشد؟
آره..مردی را در نظر بگیرید که یک کیسه سنگین را به صورت عمودی با سرعت ثابت بلند می کند، در حالی که سوار آسانسوری می شود که خود با سرعت ثابت در حال بالا رفتن است. نیروی وارد شده توسط مرد به کیسه، در هر قاب، فقط وزن کیسه است. فاصله ای که این نیرو بر روی آن اعمال می شود به چارچوب مرجع بستگی دارد: در قاب آسانسور، مرد کیسه را از زانو تا ارتفاع شانه در یک دوره زمانی معین حرکت می دهد - مثلاً جابجایی یک متری در طول پنج ثانیه. در قاب زمین، آسانسور ممکن است در همان پنج ثانیه دو طبقه (شش متر) بالا آمده باشد، بنابراین کل جابجایی کیسه هفت متر است و کار انجام شده روی کیسه هفت برابر بیشتر از قاب آسانسور است. در ضمن در قاب کیف جابجایی و در نتیجه کار صفر است.
. چیزی که شما پیشنهاد کردید فیزیک بد ودرک غلطه است زیرا پایستگی انرژی را از بین می برد.
اوقتی حرکت جسم دیگری را مشاهده میکنم و مقداری K به آن جسم نسبت می‌دهم که معیاری برای کار است، می‌توانم از آن خارج شوم. منطقی است که هر ناظر دیگری پاسخ متفاوتی به دست بیاورد، زیرا K در قاب آنها معیاری از کار ممکنی است که می توانند از شی در یک فرآیند در صورت تعامل با آن دریافت کنند. هر ناظری که به تعامل دو جسم متحرک نگاه می کند باید همان تغییر انرژی داخلی و انتقال تکانه بین آنها را در یک فرآیند برخورد محاسبه کند. حال، انرژی درونی چیست؟ انرژی کل را می توان به انرژی مرکز جرم سیستم و انرژی نسبی بین قطعات متحرک داخلی تقسیم کرد.
این فقط یک مثال است که به منظور پرداختن به هر نوع احتمالی E و فرآیند نیست، اما به این نکته اشاره می‌کند که این مقادیر ممکن است به فریم بستگی داشته باشند، چیزی مطلق در اینجا وجود دارد. شما باید
، اما من فکر می کنم که جزئیات بیش از حد دارند. پاسخ ساده این است که سرعت ها وابسته به چارچوب مرجع هستند، در حالی که طول ها وابسته نیستند. انرژی جنبشی به سرعت بستگی دارد، بنابراین وابسته به چارچوب مرجع است. انرژی های بالقوه به طول بین دو جسم (یا از یک نقطه مرجع) بستگی دارد، بنابراین آنها وابسته به چارچوب مرجع نیستند.
انتقال انرژی بین این اشکال نیازمند انجام کاری است که به تغییر طول (یا سرعت در طول زمان) از طریق انتگرال $\int\mathbf F\cdot\text d\mathbf x$ بستگی دارد.
، تغییر انرژی سیستم در هر دو فریم 0 است.در فیزیک، کار محصول نیرو و جابجایی است.
یا به بیان ریاضی
$\overrightarrow W =\int_{\overrightarrow x_{i}} ^{\overrightarrow x_{f}}\overrightarrow F\cdot \overrightarrow {ds}$اینجا ${\overrightarrow x_{i}}$
و ${\overrightarrow x_{f}}$
بردار موقعیت اولیه و نهایی هستند و آن نقطه حاصل ضرب نقطه است.
به عنوان هر دو $\overrightarrow F$
و $\overrightarrow {ds}$ هر دو به فریم وابسته هستند، بنابراین محصول آنها با تبدیل قاب تغییر می کند (مگر اینکه دلیل خاصی وجود داشته باشد). این واقعا به زمینه بستگی دارد.
بنابراین، بله، کار یک نوع فریم است، باید باشد، همانطور که در تعریف آن آمده است.
تضاد بین تبدیل گالیله و بقای انرژی مکانیکی
در نظر بگیرید. میز بدون اصطکاک و ریسمان و قرقره بدون جرم هستند. فرض کنید در ارتفاعات h
و$\widetilde{h}$ $m_2$ مولفه های مربوط به سرعت مربوط به جرم ها$u_{1x} = u_{2y}$ هستند
و $\widetilde{u}_{1x} = \widetilde{u}_{2y}$
به ترتیب. سپس بقای انرژی این را به ما می گوید $\frac{1}{2} m_1 u_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 u_{2y}^2 + m_2gh = \frac{1}{2} m_1 \widetilde{u}_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 \widetilde{u}_{2y}^2 + m_2 g \widetilde{h}.$اگر فریم دیگری با سرعت ثابت در حال حرکت باشد v در X جهت با توجه به قاب استفاده شده قبلی، سپس تبدیل گالیله را به عنوان اعمال می کنیم
$u'_{1x} = u_{1x} - v,$ $u'_{2x} = -v,$
$u'_{2y} = u_{2y},$ $\widetilde{u}'_{1x} = \widetilde{u}_{1x} - v,$
$\widetilde{u}'_{2x} = -v,$
$\widetilde{u}'_{2y} = \widetilde{u}_{2y},$
و از آنجایی که انرژی نیز در آن قاب حفظ می شود،
$\frac{1}{2} m_1 {u'_{1x}}^2 + \frac{1}{2}m_2 {u'_{2y}}^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 + m_2 gh = \frac{1}{2} m_1 {\widetilde{u}'_{1x}}^2 + \frac{1}{2}m_2 {\widetilde{u}'_{2y}}^2 + \frac{1}{2}m_2 v^2 + m_2 g \widetilde{h}.$با اعمال رابطه با سرعت های اولیه و غیر اولیه بر اساس تبدیل گالیله، پس از کمی ساده سازی به این معادله می رسیم.
$\frac{1}{2} m_1 u_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 u_{2y}^2 + m_2gh - m_1 u_{1x} v = \frac{1}{2} m_1 \widetilde{u}_{1x}^2 + \frac{1}{2}m_2 \widetilde{u}_{2y}^2 + m_2 g \widetilde{h} - m_1 \widetilde{u}_{1x} v.$با استفاده از بقای انرژی در فریم در نهایت به دست می آوریم
$u_{1x} = \widetilde{u}_{1x}.$.
که متناقض است زیرا$u_{1x}$
با تغییر ارتفاع تغییر می کند. آیا من بطور ضمنی در جایی فرض کردم که$h = \widetilde{h}$
? از درک من از تغییر ناپذیری گالیله، نباید چنین تناقضی وجود داشته باشد.
موافق با سرعت های محاسبه شده با توجه به قاب به جز${u}^{'}_{2y} = u_{2y}$
و $\tilde{u}^{'}_{2y} = \tilde{u}_{2y}$
، به طوری که به طور کلی $u^{'}_{1x} \neq u^{'}_{2y}$
اگرچه $u^{}_{1x} = u^{}_{2y}$
،توجه داشته باشید که$u^{}_{1x}(t) = u^{}_{2y}(t)$
به دلیل محدودیت هندسی مکانیسم، $u^{'}_{1x}(t) = u^{}_{1x}(t) - v$
و$u^{'}_{2y}(t) = u^{}_{2y}(t)$
در تمام لحظات زمان 0≤t
،موافق با اولین معادله بقای انرژی،
بیانگر لحظه های زمانی که با ارتفاعات h مطابقت دارد و$\tilde{h}$ توسط t1
و t2 به ترتیب و نشان دادن مقدار متغیر زمان (به طور کلی) مقدار نیروی کشش در طناب با T(t)
،ما باید قضیه کار-انرژی را با استفاده از قاب اولیه محاسبه شده به کار ببریم
$\int_{t_1}^{t_2} T(t) (u^{'}_{1x}(t) - u^{'}_{2y}(t)) \; dt = \int_{t_1}^{t_2} T(t) ((u_{1x}(t) - v) - u^{}_{2y}(t)) \; dt \\= - v \cdot \int_{t_1}^{t_2} T(t) dt = - m_1 \tilde{u}^{'}_{1x} v + m_1 {u}^{'}_{1x} v = m_1 ({u}^{'}_{1x} - \tilde{u}^{'}_{1x}) v \leq 0,$در صورتی که$0 \leq v$
در نتیجه برابری$\int_{t_1}^{t_2} T(t) \; dt = m_1 (\tilde{u}^{'}_{1x} - {u}^{'}_{1x})$
. اعمال قانون دوم حرکت نیوتن بر جرم m1
که به این معنی است که$T(t) = m_1 a_{1x}$
جایی که $a_{1x} := \dot{u}^{'}_{1x}$
، می توانیم با ادغام معادله حرکت برای به دست آوردن تغییر تکانه خطی به صورت$\int_{t_1}^{t_2} T(t) \; dt = m_1 \cdot \int_{t_1}^{t_2} \dot{u}^{'}_{1x}(t) \; dt = m_1 (\tilde{u}^{'}_{1x} - {u}^{'}_{1x})$برابری را بدست آوریم و در نتیجه تایید کنیم.
.درک مورد تاکید تضاد ظاهری ارائه شده توضیح ارائه شده در بالا این است که نیروی کشش به طور کلی غیر محافظه کار است و معادله بقای انرژی مکانیکی را نمی توان برای سیستم هایی با نیروهای غیر محافظه کار اعمال کرد. با این حال، می‌توانیم از نوشتن سهم کار انجام شده توسط نیروی کشش ناشی از قضیه کار-انرژی در هنگام استفاده از چارچوب مرجع بدون پرایم اولیه غفلت کنیم، زیرا رابطه $u_{1x}(t) = u_{2y}(t)$
برای همه$0 \leq t$
مشاهده شده هنگام استفاده از آن چارچوب مرجع باعث می شود که کار انجام شده توسط نیروی کشش به صورت$\int_{t_1}^{t_2} T(t) (u_{1x}(t) - u_{2y}(t)) \; dt \equiv 0$بی اهمیت شود.
. بنابراین، در مورد خاص مکانیزم در نظر گرفته شده در پست، معادله بقای انرژی مکانیکی علیرغم وجود نیروهای غیر محافظه کار به دلیل در دسترس بودن انتخاب منحصر به فرد قاب مرجع، از نظر ریاضی معتبر است. این انتخاب منحصر به فرد از قاب مرجع، قاب است که در حالت ثابت قرار دارد. قرقره و منجر به برابری سرعت دو جرم در اعمال محدودیت طول طناب ثابت می شود زیرا $x_1 - y_1 = \textit{length of rope} = \textit{constant}$ است.
به معنای$\dot{x}_1 - \dot{y_2} = 0 = u_{1x} - u_{2y}$ است
، جایی که x1 X را نشان می دهد مختصات و y2 Y را نشان می دهد
مختصات m2 (به راحتی با فرض نقطه محوری قرقره به عنوان مبدا مشاهده می شود، اگرچه انتخاب هر نقطه در XY
صفحه ای که بالاتر از ارتفاع اولیه m1 است همانطور که منشاء به همین نتیجه منجر می شود).
انرژی مکانیکی یک سیستم از ذرات به سرعت و شتاب چارچوب مرجع مورد استفاده برای محاسبه آن بستگی دارد. اگرچه بقای انرژی مکانیکی برای سیستم‌هایی که در آنها نیروهای غیرمحافظه‌ای بر (حداقل) برخی از ذرات سیستم اعمال می‌شود، درست نیست، قضیه انرژی کار- i است.
آیا انرژی در یک چارچوب مرجع متحرک حفظ می شود
وقتی جعبه در پایین شیب بدون اصطکاک قرار دارد، سرعتی برابر با $v_f$خواهد داشت
. شخص یک چارچوب مرجع اینرسی است که با سرعت ثابت $v_f$ حرکت می کند
.از چارچوب مرجع شخص، جعبه زمانی که در بالای سطح شیب دار قرار دارد دارای انرژی جنبشی است. حتی اگر در جهت منفی حرکت کند، سرعت در$KE = mv^2/2$مجذور خواهد شد
بنابراین اکنون جعبه دارای انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی است.
وقتی جعبه در پایین شیب قرار دارد، هیچ انرژی جنبشی از چارچوب مرجع فرد نخواهد داشت. چگونه است که جعبه دارای هر دو انرژی پتانسیل $mgh$
) و انرژی جنبشی$mv^2/2$
) در بالای شیب بدون اصطکاک اما نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی در پایین داشت؟
$mgh + \frac{mv^2}{2} = 0$
قانون بقای انرژی می گوید انرژی منتقل می شود، اما از بین نمی رود. انرژی کجا رفته؟
اساساً قانون بقای انرژی صرف نظر از چارچوب مرجع نباید نقض شود، اما فرمول نهایی این کار را انجام می دهد. انرژی کجا رفته؟اگر سوال شما در مورد مکانیک نیوتنی (غیر نسبیتی) است، پاسخ این است:
در هر چارچوب مرجع اینرسی، انرژی حفظ می شود.
می توان چارچوب مرجع اینرسی را به عنوان چارچوب مرجعی تعریف کرد که با سرعت ثابت حرکت می کند، یعنی شتاب چنین چارچوب مرجع صفر است. در چارچوب مرجع اینرسی، همه قوانین نیوتن معتبر هستند، و از آنجایی که انرژی به عنوان اثر نیروی محافظه کار تعریف می شود، انرژی باید حفظ شود.
اساساً، چندین راه برای توضیح اینکه چرا به نظر می‌رسد انرژی حفظ نمی‌شود وجود دارد، اما در نهایت همه چیز یکسان می‌شود: نه تنها شیب بر روی جعبه با نیروی طبیعی $\vec{N}$ عمل می‌کند.
، اما جعبه همچنین بر روی شیب با نیروی مخالف $-\vec{N}$ عمل می کند
(قانون سوم نیوتن). در نتیجه، انرژی جنبشی شیب (و در واقع کل زمین) نیز تغییر می کند.
الف. اولین راه ممکن برای توضیح این پارادوکس، دیدن شیب و زمین به عنوان نوعی نیروی خارجی است $\vec{N}$
) که حرکت جعبه را محدود می کند. در چارچوب مرجع شیب، این کار به سادگی صفر است، زیرا نیرو بر حرکت عمود است:$\vec{N} \cdot \textrm{d}\vec{s} = 0, \vec{N} \perp \textrm{d}\vec{s}$
. با این حال، در چارچوب مرجع فرد، کار دیگر صفر نیست $\vec{N} \cdot \textrm{d}\vec{s} \ne 0$
) ، بنابراین کار اضافی دارید که باید محاسبه کنید. محاسبه این کار اضافی بسیار پیچیده است و من ترجیح می دهم به توضیح ساده تر بعدی بپردازم.
ب) دومین راه ممکن برای توضیح این پارادوکس، محاسبه انرژی کل جهان است، یعنی انرژی جعبه و همچنین انرژی زمین + شیب. در چارچوب مرجع شخص، زمین همیشه به سمت چپ حرکت می کند، بنابراین واضح است که ما تفاوت انرژی جنبشی را محاسبه می کنیم. معلوم می شود که اگر انرژی جنبشی زمین را در چارچوب مرجع شخص محاسبه کنید، متوجه خواهید شد که انرژی جنبشی کوچکتر جعبه و انرژی پتانسیل کوچکتر را افزایش می دهد و جبران می کند.
چرا محاسبه انرژی جنبشی زمین فقط در چارچوب مرجع فرد مهم است؟ بیایید تفاوت انرژی جنبشی آن را محاسبه کنیم، اگر M جرم زمین،$m$ جرم جعبه است، V سرعت زمین و $v$
سرعت جعبه پس از انجام فرآیند در چارچوب + جعبه مرجع. توجه داشته باشید که سرعت شخص نیز v است
. بدیهی است و V≪v و M≫m و از پایستگی لحظه MV=mv .در چارچوب مرجع Earth+box:
$\Delta KE'_\textrm{Earth} = \frac{1}{2} M V^2 - \frac{1}{2} M 0^2 = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} m v V \ll \frac{1}{2} m v^2$در چارچوب مرجع شخص (با استفاده از تبدیل های گالیله):
$\Delta KE_\textrm{Earth} = KE^\text{final}_\text{Earth} - KE^\text{init}_\text{Earth} = \frac{1}{2} M (V+v)^2 - \frac{1}{2} M v^2 \approx M V v = m v^2 = 2 (\frac{1}{2} m v^2)$.
بدیهی است $\Delta KE'_\textrm{Earth}$
به صورت ناچیز از طرف دیگر$\Delta KE_\textrm{Earth}$
ناچیز نیست و برابر با دو برابر انرژی جنبشی نهایی جعبه در چارچوب مرجع زمین است. این دقیقاً انرژی پتانسیل شروع جعبه به اضافه انرژی جنبشی نهایی جعبه است (KE+PE
)، این همان انرژی است که در سوال از دست رفته":
$KE^\text{init}_\text{Earth} + mgh + \frac{1}{2} m v^2 = KE^\text{final}_\text{Earth}$
بقای انرژی به صورت$\frac 1 2 mv^2 + \phi(\vec r) =const$نوشته شده است
در قاب متحرک نمی ماند زیرا پتانسیل $\phi(\vec r)$
زیرا نیروی خالص وارد بر جعبه اکنون به زمان بستگی دارد، نه فقط موقعیت.
اگر نیروی F محافظه کارانه است، پس یک ϕ پتانسیل وجود دارد
به طوری که$F = -\nabla\phi$ و بقای انرژی را می توان به صورت
$\frac 1 2mv^2 + \phi(\vec r) = const$
برای گرانش، می توانیم $\phi = mgy$ بنویسیم
به طوری که$F_g = -\left(\frac {\partial} {\partial x}mgy, \frac {\partial} {\partial y}mgy, \frac {\partial} {\partial z}mgy\right) = (0, -mg,0)$در قاب متحرک، پتانسیل گرانشی را نیز می توان به این صورت نوشت تا بقای انرژی فقط برای نیروی گرانشی وارد بر جعبه همچنان پابرجا باشد.
$\frac 1 2 mv^2 +mgy = const$همچنین یک $\phi_p$ وجود دارد
برای نیروی واکنش$mg\cos\theta$
از صفحه شیبدار روی جعبه، زیرا در فریم صفحه محافظه کار است
$\phi_p(\vec r) = -mg\cos\theta(y\cos\theta + x\sin\theta)$به طوری که پایستگی انرژی در قاب هواپیما، از جمله گرانش، در نهایت است
$\frac 1 2 mv^2 + mgy - mg\cos\theta(y\cos\theta + x\sin\theta) = const$با این حال، در قاب متحرک، $\phi_p$
به دلیل وابستگی آن به x به زمان بستگی دارد
در قاب صفحه شیبدار، و بنابراین بقای انرژی را نمی توان نوشت
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۲/۵/۱۸ - ۰۸:۵۷, ویرایش شده کلا 1 بار
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
انرژی جنبشی با توجه به فریم های مرجع مختلف
در هر چارچوب مرجع متفاوت، انرژی جنبشی اضافی مربوط به کل جرم است که با سرعت مرکز جرم حرکت می کند. انرژی جنبشی سیستم در مرکز قاب تکانه کمیتی است که ثابت است (همه ناظران آن را یکسان می بینند).آیا انرژی جنبشی در همه فریم های مرجع اینرسی یکسان است؟
از آنجایی که قوانین فیزیک در هر چارچوب مرجع یکسان است، یک جسم باید انرژی جنبشی یکسانی را در تمام چارچوب های مرجع اینرسی داشته باشد. از آنجایی که قوانین فیزیک در هر قاب مرجع اینرسی یکسان است، برای حفظ انرژی در تمام قاب های مرجع اینرسی باید یک تعامل بین اجسام مشاهده شود.
من در درک وضعیت زیر مشکل دارم. فرض کنید دو خودروی 1 تنی با جهت گیری های یکسان اما حواس مخالف، هر کدام 50 کیلومتر در ساعت نسبت به جاده حرکت می کنند. سپس کل انرژی است
حالا اگر از دید یکی از ماشین ها به آن نگاه کنیم، کل انرژی است$2500=E=E_1+E_$ }
$500=E=E_1+E$
من می دانم که انرژی جنبشی قرار است با تغییر چارچوب مرجع تغییر کند. اما من درک می کنم که در این صورت باید نوع دیگری از انرژی برای جبران آن وجود داشته باشد تا انرژی در سیستم بدون تغییر بماند. اما من هیچ نوع انرژی دیگری در اینجا نمی بینم. من فقط دو انرژی کلی از یک سیستم را می بینم که به نظر متفاوت هستند.
که انرژی جنبشی به چارچوب مرجع بستگی دارد.
این در واقع درست است. با این حال، آنچه شگفت‌انگیز است این است که در حالی که مقدار انرژی به فریم وابسته است، هنگامی که یک چارچوب مرجع اینرسی را انتخاب کردید، قانون بقای انرژی به خودی خود وابسته به چارچوب مرجع نیست - هر قاب مرجع اینرسی یک قاب مرجع اینرسی را مشاهده می‌کند. انرژی ثابت، حتی اگر عدد دقیقی که اندازه گیری می کنند متفاوت باشد. بنابراین، وقتی معادله بقای انرژی خود را در دو فریم متعادل کنید، اعداد مختلفی برای انرژی کل پیدا خواهید کرد، اما همچنین خواهید دید که انرژی قبل و بعد از یک برخورد کشسان همان عدد خواهد بود.
بنابراین، اجازه دهید بقای انرژی را در دو چارچوب مرجع استخراج کنیم. من قصد دارم یک برخورد الاستیک بین دو ذره را مدل کنم. در چارچوب مرجع اول، من می‌خواهم فرض کنم که ذره دوم ساکن است و داریم:
$\frac{1}{2}m_{1}v_{i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}0^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\$
$m_{1}v_{i}^2 = m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2}$
برای صرفه جویی در وقت و انرژی خود،$\frac{m_{2}}{m_{1}} = R$ را مینامم
، و ما داریم:$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2}$
حال، چه اتفاقی می‌افتد اگر به یک چارچوب مرجع دیگر تغییر مکان دهیم و با سرعت v به سمت راست حرکت کنیم؟ این در اصل همان چیزی است که با تفریق v
از همه این اصطلاحات بنابراین ما داریم:
$(v_{i}-v)^{2} + R(-v)^{2} = (v_{1}-v)^{2} + R(v_{2}-v)^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v + v^{2} + Rv^{2} = v_{1}^{2} - 2 vv_{1} + v^{2} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v + Rv^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v = v_{1}^{2}- 2vv_{1} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v\\$
$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2} + 2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
بنابراین، چه چیزی می دهد؟ به نظر می رسد معادله اول باشد، با این تفاوت که ما این اضافی را داریم$2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
مدت، اصطلاح؟ خوب، به یاد داشته باشید که این حرکت نیز باید حفظ شود. در فریم اول ما، معادله بقای حرکت را داریم (به یاد داشته باشید که سرعت اولیه ذره صفر است:
$m_{1}v_{i} + m_{2}(0) = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}\\
$
$v_{i} = v_{1} + Rv_{2}$
$v_{i} - v_{1} - Rv_{2} =0$
شما بروید! اگر تکانه در اولین فریم ما حفظ شود، پس ظاهراً انرژی در همه فریم ها حفظ می شود!همانطور که شما می گویید، انرژی تحت تغییر چارچوب مرجع ثابت نیست.
نکته
یکی از تأثیرگذارترین قضایا در تمام فیزیک، قضیه نوتر است. او ثابت کرد که کمیت های حفظ شده از نوعی تقارن دیفرانسیل کنش متناظر ناشی می شوند (البته با این فرض که قوانین فیزیک را می توان به عنوان یک اصل عمل فرموله کرد).
در مورد پایستگی انرژی، تقارن مربوطه، تقارن زمانی است. به عبارت دیگر، اگر لاگرانژ در طول زمان متقارن باشد، انرژی حفظ شده وجود دارد، به این معنی که اگر قوانین فیزیک دیروز، امروز و فردا یکسان باشند، انرژی حفظ می شود.
قاب های اینرسی دارای این ویژگی هستند، بنابراین انرژی در قاب های اینرسی حفظ می شود. با این حال، فریم های غیر اینرسی متنوع تر هستند. برخی از فریم های غیر اینرسی دارای تقارن زمانی خواهند بود و برخی دیگر فاقد تقارن زمانی هستند.
مثال هایی با تقارن زمانی (انرژی حفظ شده): شتاب یکنواخت، چرخش با سرعت زاویه ای ثابت
مثال هایی بدون تقارن زمانی (بدون انرژی ذخیره شده): نوسان، شتاب ناگهانی، چرخش با سرعت زاویه ای غیر ثابت
اگر قوانین حرکت نیوتن در یک قاب مرجع معتبر باشد، آن قاب را یک قاب اینرسی می نامید. هر فریمی که با سرعت ثابت نسبت به این قاب حرکت کند نیز یک قاب اینرسی است زیرا قوانین نیوتن در آن قاب ها نیز به یک اندازه معتبر خواهند بود.
اگر قوانین حرکت نیوتن خوب باشد، یک قاب یک قاب اینرسی است. اینها فریم هایی هستند که فقط در صورت عدم وجود جاذبه بدست می آیند.
در هر چارچوب مرجع متفاوت، انرژی جنبشی اضافی مربوط به کل جرم است که با سرعت مرکز جرم حرکت می کند. انرژی جنبشی سیستم در مرکز قاب تکانه کمیتی است که ثابت است (همه ناظران آن را یکسان می بینند).آیا انرژی جنبشی در همه فریم های مرجع اینرسی یکسان است؟
از آنجایی که قوانین فیزیک در هر چارچوب مرجع یکسان است، یک جسم باید انرژی جنبشی یکسانی را در تمام چارچوب های مرجع اینرسی داشته باشد. از آنجایی که قوانین فیزیک در هر قاب مرجع اینرسی یکسان است، برای حفظ انرژی در تمام قاب های مرجع اینرسی باید یک تعامل بین اجسام مشاهده شود.
من در درک وضعیت زیر مشکل دارم. فرض کنید دو خودروی 1 تنی با جهت گیری های یکسان اما حواس مخالف، هر کدام 50 کیلومتر در ساعت نسبت به جاده حرکت می کنند. سپس کل انرژی است
حالا اگر از دید یکی از ماشین ها به آن نگاه کنیم، کل انرژی است$2500=E=E_1+E_$ }
$500=E=E_1+E$
من می دانم که انرژی جنبشی قرار است با تغییر چارچوب مرجع تغییر کند. اما من درک می کنم که در این صورت باید نوع دیگری از انرژی برای جبران آن وجود داشته باشد تا انرژی در سیستم بدون تغییر بماند. اما من هیچ نوع انرژی دیگری در اینجا نمی بینم. من فقط دو انرژی کلی از یک سیستم را می بینم که به نظر متفاوت هستند.
که انرژی جنبشی به چارچوب مرجع بستگی دارد.
این در واقع درست است. با این حال، آنچه شگفت‌انگیز است این است که در حالی که مقدار انرژی به فریم وابسته است، هنگامی که یک چارچوب مرجع اینرسی را انتخاب کردید، قانون بقای انرژی به خودی خود وابسته به چارچوب مرجع نیست - هر قاب مرجع اینرسی یک قاب مرجع اینرسی را مشاهده می‌کند. انرژی ثابت، حتی اگر عدد دقیقی که اندازه گیری می کنند متفاوت باشد. بنابراین، وقتی معادله بقای انرژی خود را در دو فریم متعادل کنید، اعداد مختلفی برای انرژی کل پیدا خواهید کرد، اما همچنین خواهید دید که انرژی قبل و بعد از یک برخورد کشسان همان عدد خواهد بود.
بنابراین، اجازه دهید بقای انرژی را در دو چارچوب مرجع استخراج کنیم. من قصد دارم یک برخورد الاستیک بین دو ذره را مدل کنم. در چارچوب مرجع اول، من می‌خواهم فرض کنم که ذره دوم ساکن است و داریم:
$\frac{1}{2}m_{1}v_{i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}0^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\$
$m_{1}v_{i}^2 = m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2}$
برای صرفه جویی در وقت و انرژی خود،$\frac{m_{2}}{m_{1}} = R$ را مینامم
، و ما داریم:$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2}$
حال، چه اتفاقی می‌افتد اگر به یک چارچوب مرجع دیگر تغییر مکان دهیم و با سرعت v به سمت راست حرکت کنیم؟ این در اصل همان چیزی است که با تفریق v
از همه این اصطلاحات بنابراین ما داریم:
$(v_{i}-v)^{2} + R(-v)^{2} = (v_{1}-v)^{2} + R(v_{2}-v)^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v + v^{2} + Rv^{2} = v_{1}^{2} - 2 vv_{1} + v^{2} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v + Rv^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v = v_{1}^{2}- 2vv_{1} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v\\$
$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2} + 2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
بنابراین، چه چیزی می دهد؟ به نظر می رسد معادله اول باشد، با این تفاوت که ما این اضافی را داریم$2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
مدت، اصطلاح؟ خوب، به یاد داشته باشید که این حرکت نیز باید حفظ شود. در فریم اول ما، معادله بقای حرکت را داریم (به یاد داشته باشید که سرعت اولیه ذره صفر است:
$m_{1}v_{i} + m_{2}(0) = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}\\
$
$v_{i} = v_{1} + Rv_{2}$
$v_{i} - v_{1} - Rv_{2} =0$
شما بروید! اگر تکانه در اولین فریم ما حفظ شود، پس ظاهراً انرژی در همه فریم ها حفظ می شود!همانطور که شما می گویید، انرژی تحت تغییر چارچوب مرجع ثابت نیست.
نکته
یکی از تأثیرگذارترین قضایا در تمام فیزیک، قضیه نوتر است. او ثابت کرد که کمیت های حفظ شده از نوعی تقارن دیفرانسیل کنش متناظر ناشی می شوند (البته با این فرض که قوانین فیزیک را می توان به عنوان یک اصل عمل فرموله کرد).
در مورد پایستگی انرژی، تقارن مربوطه، تقارن زمانی است. به عبارت دیگر، اگر لاگرانژ در طول زمان متقارن باشد، انرژی حفظ شده وجود دارد، به این معنی که اگر قوانین فیزیک دیروز، امروز و فردا یکسان باشند، انرژی حفظ می شود.
قاب های اینرسی دارای این ویژگی هستند، بنابراین انرژی در قاب های اینرسی حفظ می شود. با این حال، فریم های غیر اینرسی متنوع تر هستند. برخی از فریم های غیر اینرسی دارای تقارن زمانی خواهند بود و برخی دیگر فاقد تقارن زمانی هستند.
مثال هایی با تقارن زمانی (انرژی حفظ شده): شتاب یکنواخت، چرخش با سرعت زاویه ای ثابت
مثال هایی بدون تقارن زمانی (بدون انرژی ذخیره شده): نوسان، شتاب ناگهانی، چرخش با سرعت زاویه ای غیر ثابت
اگر قوانین حرکت نیوتن در یک قاب مرجع معتبر باشد، آن قاب را یک قاب اینرسی می نامید. هر فریمی که با سرعت ثابت نسبت به این قاب حرکت کند نیز یک قاب اینرسی است زیرا قوانین نیوتن در آن قاب ها نیز به یک اندازه معتبر خواهند بود.
اگر قوانین حرکت نیوتن خوب باشد، یک قاب یک قاب اینرسی است. اینها فریم هایی هستند که فقط در صورت عدم وجود جاذبه بدست می آیند.
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۲/۵/۱۸ - ۰۹:۰۳, ویرایش شده کلا 1 بار
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
انرژی شیمیایی و گرمایی هم به‌نوعی ناشی از حرکت هستند. بنابراین عجیب نیست که ناظران مختلف نظر متفاوتی درباره اونا بدهند.
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
rohamavation نوشته شده: ↑چهارشنبه ۱۴۰۲/۵/۱۸ - ۰۸:۰۶انرژی جنبشی با توجه به فریم های مرجع مختلف
در هر چارچوب مرجع متفاوت، انرژی جنبشی اضافی مربوط به کل جرم است که با سرعت مرکز جرم حرکت می کند. انرژی جنبشی سیستم در مرکز قاب تکانه کمیتی است که ثابت است (همه ناظران آن را یکسان می بینند).آیا انرژی جنبشی در همه فریم های مرجع اینرسی یکسان است؟
از آنجایی که قوانین فیزیک در هر چارچوب مرجع یکسان است، یک جسم باید انرژی جنبشی یکسانی را در تمام چارچوب های مرجع اینرسی داشته باشد. از آنجایی که قوانین فیزیک در هر قاب مرجع اینرسی یکسان است، برای حفظ انرژی در تمام قاب های مرجع اینرسی باید یک تعامل بین اجسام مشاهده شود.
من در درک وضعیت زیر مشکل دارم. فرض کنید دو خودروی 1 تنی با جهت گیری های یکسان اما حواس مخالف، هر کدام 50 کیلومتر در ساعت نسبت به جاده حرکت می کنند. سپس کل انرژی است
حالا اگر از دید یکی از ماشین ها به آن نگاه کنیم، کل انرژی است$2500=E=E_1+E_$ }
$500=E=E_1+E$
من می دانم که انرژی جنبشی قرار است با تغییر چارچوب مرجع تغییر کند. اما من درک می کنم که در این صورت باید نوع دیگری از انرژی برای جبران آن وجود داشته باشد تا انرژی در سیستم بدون تغییر بماند. اما من هیچ نوع انرژی دیگری در اینجا نمی بینم. من فقط دو انرژی کلی از یک سیستم را می بینم که به نظر متفاوت هستند.
که انرژی جنبشی به چارچوب مرجع بستگی دارد.
این در واقع درست است. با این حال، آنچه شگفت‌انگیز است این است که در حالی که مقدار انرژی به فریم وابسته است، هنگامی که یک چارچوب مرجع اینرسی را انتخاب کردید، قانون بقای انرژی به خودی خود وابسته به چارچوب مرجع نیست - هر قاب مرجع اینرسی یک قاب مرجع اینرسی را مشاهده می‌کند. انرژی ثابت، حتی اگر عدد دقیقی که اندازه گیری می کنند متفاوت باشد. بنابراین، وقتی معادله بقای انرژی خود را در دو فریم متعادل کنید، اعداد مختلفی برای انرژی کل پیدا خواهید کرد، اما همچنین خواهید دید که انرژی قبل و بعد از یک برخورد کشسان همان عدد خواهد بود.
بنابراین، اجازه دهید بقای انرژی را در دو چارچوب مرجع استخراج کنیم. من قصد دارم یک برخورد الاستیک بین دو ذره را مدل کنم. در چارچوب مرجع اول، من می‌خواهم فرض کنم که ذره دوم ساکن است و داریم:
$\frac{1}{2}m_{1}v_{i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}0^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\$
$m_{1}v_{i}^2 = m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2}$
برای صرفه جویی در وقت و انرژی خود،$\frac{m_{2}}{m_{1}} = R$ را مینامم
، و ما داریم:$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2}$
حال، چه اتفاقی می‌افتد اگر به یک چارچوب مرجع دیگر تغییر مکان دهیم و با سرعت v به سمت راست حرکت کنیم؟ این در اصل همان چیزی است که با تفریق v
از همه این اصطلاحات بنابراین ما داریم:
$(v_{i}-v)^{2} + R(-v)^{2} = (v_{1}-v)^{2} + R(v_{2}-v)^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v + v^{2} + Rv^{2} = v_{1}^{2} - 2 vv_{1} + v^{2} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v + Rv^{2}\\$
$v_{i}^{2} -2v_{i}v = v_{1}^{2}- 2vv_{1} + Rv_{2}^{2}-2Rv_{2}v\\$
$v_{i}^{2} = v_{1}^{2} + Rv_{2}^{2} + 2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
بنابراین، چه چیزی می دهد؟ به نظر می رسد معادله اول باشد، با این تفاوت که ما این اضافی را داریم$2v(v_{i} - v_{1} - R v_{2})$
مدت، اصطلاح؟ خوب، به یاد داشته باشید که این حرکت نیز باید حفظ شود. در فریم اول ما، معادله بقای حرکت را داریم (به یاد داشته باشید که سرعت اولیه ذره صفر است:
$m_{1}v_{i} + m_{2}(0) = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}\\
$
$v_{i} = v_{1} + Rv_{2}$
$v_{i} - v_{1} - Rv_{2} =0$
شما بروید! اگر تکانه در اولین فریم ما حفظ شود، پس ظاهراً انرژی در همه فریم ها حفظ می شود!همانطور که شما می گویید، انرژی تحت تغییر چارچوب مرجع ثابت نیست.
نکته
یکی از تأثیرگذارترین قضایا در تمام فیزیک، قضیه نوتر است. او ثابت کرد که کمیت های حفظ شده از نوعی تقارن دیفرانسیل کنش متناظر ناشی می شوند (البته با این فرض که قوانین فیزیک را می توان به عنوان یک اصل عمل فرموله کرد).
در مورد پایستگی انرژی، تقارن مربوطه، تقارن زمانی است. به عبارت دیگر، اگر لاگرانژ در طول زمان متقارن باشد، انرژی حفظ شده وجود دارد، به این معنی که اگر قوانین فیزیک دیروز، امروز و فردا یکسان باشند، انرژی حفظ می شود.
قاب های اینرسی دارای این ویژگی هستند، بنابراین انرژی در قاب های اینرسی حفظ می شود. با این حال، فریم های غیر اینرسی متنوع تر هستند. برخی از فریم های غیر اینرسی دارای تقارن زمانی خواهند بود و برخی دیگر فاقد تقارن زمانی هستند.
مثال هایی با تقارن زمانی (انرژی حفظ شده): شتاب یکنواخت، چرخش با سرعت زاویه ای ثابت
مثال هایی بدون تقارن زمانی (بدون انرژی ذخیره شده): نوسان، شتاب ناگهانی، چرخش با سرعت زاویه ای غیر ثابت
اگر قوانین حرکت نیوتن در یک قاب مرجع معتبر باشد، آن قاب را یک قاب اینرسی می نامید. هر فریمی که با سرعت ثابت نسبت به این قاب حرکت کند نیز یک قاب اینرسی است زیرا قوانین نیوتن در آن قاب ها نیز به یک اندازه معتبر خواهند بود.
اگر قوانین حرکت نیوتن خوب باشد، یک قاب یک قاب اینرسی است. اینها فریم هایی هستند که فقط در صورت عدم وجود جاذبه بدست می آیند.
با سلام. جوابتون خیلی طولانی بود ولی خوندم. مرسی از توضیحاتتون
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: چارچوب های لخت و قانون پایستگی انرژی
پاسخ شمابنابراین طبق قوانین حرکت نیوتن تحت تبدیل گالیله ثابته، یعنی جرم اینرسی تحت تبدیل گالیله بدون تغییره. ... این تغییر ناپذیری گالیله هستش
تغییر در این دو کمیت (انرژی جنبشی و کار) در سیستم های مرجع مختلف تنها با تعریف کار همانطور که قبلا تو پست قبلی ام از بین میره. این نشون میده که انرژی برای افزایش‌های گالیله ثابته
در چارچوب مرجع اینرسی، تمام قوانین نیوتن معتبر هستند و از آنجایی که انرژی به عنوان نیروی محافظه کار تعریف میشن انرژی باید حفظ بشه
انرژی جنبشی به چارچوب مرجع یک ناظر بستگی داره. بنابراین، انرژی جنبشی تنها ویژگی یک جسم نیستش: اگر همراه با یک جسم حرکت می کنید و خود را به عنوان مرجع تعریف می کنید، انرژی جنبشی جسم صفره
یک ویژگی مهم انرژی اینه که یک کمیت نسبیه. همانطور که ناظرانی که با سرعت های مختلف حرکت می کنند مقادیر متفاوتی را برای انرژی جنبشی یک ذره مشاهده می کنن، برای مثال ناظران در ارتفاع متفاوت مقادیر متفاوتی را برای انرژی پتانسیل گرانشی مشاهده می کن
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان فریمه این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S' که S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانته.
انرژی جنبشی هر چیزی به چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود بستگی داره. با این حال، انرژی کل یک سیستم ایزوله، یعنی سیستمی که انرژی نه می تواند وارد شود و نه می تواند از آن خارج شود، در طول زمان در چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود، تغییر نمیکنه
باز هم، چرا انرژی جنبشی و سرعت مستقل از مختصات موقعیت در مختصات دکارتیه
در مکانیک کلاسیک محاسبه تکامل یک ذره به معنای دانستن موقعیت و سرعت آن برای هر زمانه به طور کلی اگر بگویم یک ذره در موقعیت x قرار داره و دارای سرعت v است
و از شما در مورد انرژی جنبشی سوال می کند. یعنی $\frac{1}{2}mv^2$ و این مستقل از سیستمی است که شما دارید. پاسخ همیشه صحیح است.
حل معادلات سیستم به معنای یافتن موقعیت و سرعت هر لحظه از زمان است. هنگامی که معادلات را حل کردید، برای هر بار t یک موقعیت و سرعت خواهید داشت
. بنابراین به این معنیه که شما می توانید برای هر سیستمی، نه تنها برای سیستمی که توضیح دادین، سرعت را به عنوان تابعی از موقعیت بنویسین
انرژی جنبشی، با این حال، هرگز به صراحت به موقعیت بستگی ندارد، بلکه به ضمنی بستگی دارد. به طور غیررسمی این بدان معنی است که مستقیماً به موقعیت بستگی ندارد، اما اگر بتوانید به هر موقعیت یک سرعت مرتبط کنین به طور غیر مستقیم بستگی داره. در واقع مشتق جزئی را همانطور که ذکر کردم $\frac{∂T}{∂x}$ می گیریم
یعنی "اگر موقعیت را تغییر دهم در حالی که سرعت را ثابت نگه دارم، انرژی جنبشی چقدر تغییر می کند" و این همیشه صفر است. اگر شما انجام دهید با این حال$\frac{dT}{dx}$
شما می گویید "اگر موقعیت را تغییر دهم در حالی که سرعت را متناسب با آن تغییر دهم، انرژی جنبشی چقدر تغییر می کند" و این غیر صفره
برای مثال خاص شما، انرژی جنبشی توپ در واقع به ارتفاع توپ بستگی دارد. انرژی کل توپ ثابته و انرژی پتانسیل توپ در هر ارتفاع مختلف y متفاوته. در نتیجه، انرژی جنبشی توپ باید در هر y مختلف تنظیم بشه تا انرژی کل ثابت بماند. شما می توانید این را از معادله خود ببینید$v_1=\sqrt {\frac{1}{2}mv_0^2-mgy}$
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان قاب است. این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S'، که در آن S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانت غیرمحافظه کار است. مربوط به نیروهایی مانند اصطکاک که انرژی را حفظ یا ذخیره نمی کنندآره. نیروی خارجی یک نیروی غیر محافظه کار است و نیروی محافظه کار یک نیروی درونی است. یک نیروی خارجی انرژی یک سیستم را افزایش یا کاهش می دهد، بنابراین یک نیروی غیر محافظه کار است. یک نیروی محافظه کار انرژی مکانیکی کلی را تغییر نمی دهد، فقط شکل آن را از جنبشی به پتانسیل تغییر می دهد، بنابراین درونی است.
توجه داشته باشید که آنچه من گفتم برعکس نیست: نیروهای داخلی لزوما محافظه کار نیستند و همچنین نیروهای غیر محافظه کار لزوماً بیرونی نیستند. به عنوان مثال، اصطکاک غیر محافظه کارانه است و می تواند داخلی باشد..در S و حفظ نشود.ببیناعداد موجود در لیست به انتخاب سیستم مختصات بستگی داره. به عنوان مثال، اگر بردار موقعیت را نسبت به یک ناظر نشان دهد (بردار موقعیت)، آنگاه سیستم مختصات ممکن است از سیستمی از میله های صلب یا محورهای مرجع به دست آید که در امتداد آن اجزای v1، v2 و v3 اندازه گیری می شوند. برای اینکه یک بردار یک شی هندسی را نشان دهد، باید بتوان نحوه ظاهر آن را در هر سیستم مختصات دیگری توصیف کرد. به این معنا که اجزای بردارها در عبور از یک سیستم مختصات به سیستم مختصات دیگر به نحوی تبدیل می شوند.
پس در واقع
انرژی جنبشی هر موجودی به چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود بستگی دارد. با این حال، انرژی کل یک سیستم ایزوله، یعنی سیستمی که انرژی نه می تواند وارد شود و نه می تواند از آن خارج شود، در طول زمان در چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود، تغییر نمی کند. بنابراین، انرژی شیمیایی تبدیل شده به انرژی جنبشی توسط یک موتور موشک، بسته به چارچوب مرجع انتخابی، بین کشتی موشکی و جریان خروجی آن تقسیم می‌شود. این اثر Oberth هستش. اما انرژی کل سیستم شامل انرژی جنبشی، انرژی شیمیایی سوخت، گرما و غیره بدون توجه به انتخاب چارچوب مرجع در طول زمان حفظ می شود. با این حال، ناظران مختلف که با چارچوب های مرجع متفاوت حرکت می کنند، در مورد ارزش این انرژی ذخیره شده اختلاف نظر دارند.همان اصول فیزیک مقدماتی هنگامی که در مکانیک پروازهای فضایی به کار می رود به نتیجه قابل توجهی منجر می شود - اثر Oberth - که به موجب آن یک تکانه کوچک می تواند باعث تغییر بزرگی در انرژی مداری موشک بدون نقض قوانین حفاظت بشه.
انرژی جنبشی چنین سیستم هایی به انتخاب قاب مرجع بستگی دارد: قاب مرجعی که حداقل مقدار آن انرژی را می دهد مرکز قاب تکانه است، یعنی قاب مرجعی که در آن تکانه کل سیستم صفر است. این حداقل انرژی جنبشی به جرم ثابت سیستم به عنوان یک کل کمک می کند.چارچوب مرجع
سرعت، و در نتیجه انرژی جنبشی یک جسم منفرد وابسته به قاب (نسبی) است: با انتخاب یک چارچوب مرجع اینرسی مناسب، می تواند هر مقدار غیر منفی را بگیرد. به عنوان مثال، گلوله ای که از روی ناظر عبور می کند دارای انرژی جنبشی در چارچوب مرجع این ناظر است. همان گلوله در برابر ناظری که با همان سرعت گلوله حرکت می کند، ساکن است و بنابراین انرژی جنبشی صفر دارد.مقابل، انرژی جنبشی کل یک سیستم از اجسام را نمی توان با انتخاب مناسب چارچوب مرجع اینرسی به صفر کاهش داد، مگر اینکه سرعت تمام اجسام یکسان باشد. در هر حالت دیگر، انرژی جنبشی کل دارای حداقل غیر صفر است، زیرا هیچ چارچوب مرجع اینرسی را نمی توان انتخاب کرد که در آن تمام اجسام ساکن باشند. این حداقل انرژی جنبشی به جرم ثابت سیستم کمک می کند که مستقل از چارچوب مرجع است.
انرژی جنبشی کل یک سیستم به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد: این انرژی مجموع انرژی جنبشی کل در یک مرکز قاب تکانه و انرژی جنبشی است که جرم کل اگر در مرکز جرم متمرکز شود، خواهد داشت.
پس انرژی جنبشی به چارچوب مرجع یک ناظر بستگی دارد. بنابراین، انرژی جنبشی فقط یک ویژگی یک جسم نیست: اگر همراه با یک جسم حرکت می کنید و خود را مرجع تعریف می کنید، انرژی جنبشی جسم صفر است (در این چارچوب مرجع خاص).
آیا مفهوم کار انرژی جنبشی گالیله ای را ثابت می کنه؟
انرژی جنبشی ثابت نیست: مقدار آن می تواند از یک سیستم به سیستم دیگر تغییر کند. با این حال، رابطه ای که کار انجام شده توسط یک نیرو را به هم متصل می کنه و تغییر در انرژی جنبشی باید در هر چارچوب مرجع اینرسی برقرار باشه!
روشن است که انرژی جنبشی در همه سیستم ها یکسان نیست: اگر در ماشینی هستید که با سرعت ثابت v0 در حال حرکته
انرژی شما $1/2mv_0^2$است
(من توده شما هستم). اما شما در داخل ماشین و در حالت استراحت، اگر انرژی جنبشی خود را محاسبه کنید، می‌گویید 0 است - زیرا در حالت استراحت هستید! بنابراین انرژی جنبشی در چارچوب های مرجع تغییر می کند، اما در چارچوب بینابینی رابطه انرژی جنبشی کار و جنبش همچنان برقرار است.
بزاارین منظورم را بیان کنیم: من در یک سیستم مرجع (اینرسی) هستم. جسمی را می بینم که حرکت می کند. من کار انجام شده را W1 اندازه می‌گیرم
. من تغییر انرژی جنبشی ناشی از آن کار ؤK1 را اندازه می‌گیرم
. دو کمیت باید یکسان باشند وگرنه فیزیک اشتباه است! من به چارچوب مرجع اینرسی دیگری می روم. دوباره W2 را اندازه می‌گیرم
و ؤK2 در قاب جدید این دو کمیت جدید می توانند (و خواهند بود) با کمیت های قبلی متفاوت باشند، اما $\Delta K_2 = W_2$
باید همچنان باقی بمونه زیرا ما در یک قاب اینرسی هستیم که در آن F=ma تغییر نکرده است.
این به این دلیل است که کار به گونه ای تعریف شده است که W=ؤK در تمام چارچوب های مرجع اینرسی به جز مقدار مجزای W وجود دارد
می تواند تغییر کند. اگر اینطور است، ؤK نیز باید تغییر کند تا برابر با W بماند
. تعریف کار مستقیماً از F=ma نشات میگیره بنابراین اگر رابطه انرژی جنبشی کار و جنبشی قطع شود، F=ma نیز قطع می شود
یعنی مکانیک نیوتنی هم همینطور! با این حال، توجه داشته باشین که این فقط برای مراجع بین‌المللی درسته
بیایید یک مثال (طولانی) بزارم فرض کنید نیروی ثابت F1 دارین هل دادن یک جسم، ابتدا در حالت سکون در مبدا، در یک سیستم مرجع که برای طول x1 در حالت استراحت است
در یک زمان t . کار انجام شده خواهد بود
$W_1(t)=F_1x_1(t)$زیرا با نیروی ثابت و بدون سرعت اولیه، شتاب را بر روی $F_1=ma_1$قرار میدم قانون نیوتن) و با استفاده از معادله حرکت $x_1(t)={1\over 2}at^2={1\over 2}{F_1\over m}t^2$ما گرفتیم
$W_1(t)={1\over 2}{F^2_1\over m}t^2$ این کمیت باید همان تغییر انرژی جنبشی باشه $\Delta K_1(t)={1/2}mv_1^2(t)$در واقع، چون نیرو ثابت است، جسم مطابق با (دوباره معادله حرکت) حرکت خواهد کرد.$v_1(t)=a_1t={F_1\over m}t$[این رابطه را برای بعد به خاطر بسپارید بعدا میگم] تا $\Delta K_1(t)={1\over 2}mv_1^2(t)={1\over 2}m({F/m}t)^2$به طوری که
$\Delta K_1(t)={1\over 2}{F^2_1\over m}t^2$یعنی ر$\Delta K_1=W_1$
حالا بیاین وارد چارچوب مرجع دیگری شویم که با سرعت $v_0$ در حال حرکته در همین راستا این بدان معنیه که سرعت جسمی که در این قاب مشاهده می کنید در ابتدا $v_2(t)=v_1(t)-v_0$خواهد بود.
، به این معنی که در ابتدا (زمانی که $v_1=0$ ) $v_2=0$. این همچنین به این معنی است که اگر پس از یک زمان t ناظر تغییر انرژی جنبشی (نهایی منهای اولیه) را اندازه گیری می کند
$\Delta K_2={1\over2}mv_2(t)^2-{1\over2}m(-v_0)^2$که هست ${1\over2}m(v_1^2-2v_1v_0)$بنابراین
$\Delta K_2=\Delta K_1-mv_1v_0$که با فاکتور $mv_1v_0$ با چیزی که در فریم اول اندازه گرفتیم متفاوته
. اوه نه: مشکل کجاست؟! "مشکل" این است که W2 نیز کار می کند
در این چارچوب مرجع متفاوت خواهد بود. بیایید ببینیم ... بیایید نیرویی را که ناظر در سیستم مرجع خود اندازه گیری می کند اندازه گیری کنم
از آنجایی که ناظر در حال حرکت است، سرعت $v_2(t)=v_1(t)-v_0$ را اندازه گیری می کند
، همانطور که گفتیم. علاوه بر این، در ابتدا، چون جسم در قاب اول استراحت داشت، سرعت اولیه جسم در فریم دوم −$-v_0$ خواهد بود.
(مشاهده شیء را می بیند که در جهت منفی حرکت می کند: اما اینطور نیست، در واقع ناظر در حال حرکت است!). علاوه بر این، همانطور که ناظر می بیینه a سرعت افزایش خطی در زمان، او می تواند فرض کند که یک نیروی ثابت F2 وجود داره عمل بر روی شی با استفاده از قانون نیوتن می توانیم آن را بنویسم $v_1(t)-v_0=v_2(t)=v_2(0)+a_2t=-v_0+{F_2\over m}t$این یعنی
$F_2=v_1(t)m/t$که همان عبارتی است که قبلا برای F1 پیدا کردم به طوری که F2=F1
نیرو در هر دو سیستم یکسان است - و این منطقی است، زیرا ما با سرعت ثابت حرکت می کنیم و شتابی که جسم می بیند باید یکسان باشد، بنابراین نیرو نیز یکسان باشد. با این حال، در حالی که نیرو یکسان است، جابجایی جسم یکسان نخواهد بود زیرا ما آن را از مرجع (متحرک) دیگری نگاه می کنیم. این قبلاً نشان می دهد که آن عامل در انرژی جنبشی که از دست رفته است ناشی از این واقعیت است که در این سیستم مرجع جدید من جابجایی کوچکتری را می بینم، یعنی یک کار کوچکتر، بنابراین "سرعت" باید آن را جبران کنه. بیایید بررسی کنیم که این دو مقدار واقعاً برابر هستند!
ما میدانیم
$x_2(t)=x_1(t)-v_0t$به طوری که کار [من اکنون (t) را رها می کنم $W_2=F_2x_2=F_2(x_1-v_0t)$اکنون با استفاده از F2=F1
من گرفتم $W_2=F_1x_1-F_1v_0t$و با استفاده از $W_1=F_1x_1$
و$F_1=mv_1/t$ [گفتم این یکی را به خاطر بسپار]:
$W_2=W_1-mv_0v_1$که اکنون راضی می کند $\Delta K_2=W_2$با وجود $W_1\ne W_2$و
$\Delta K_2 \ne \Delta K_1$ به طور خلاصه، در یک چارچوب مرجع، مقدار مطلق انرژی جنبشی می تواند تغییر کند، اما اگر من نیروها، سرعت ها و جابجایی ها را در همان سیستم مرجع اندازه گیری کنم، ؤK=W همیشه نگه دارید این به این دلیل است که تعریف کار مستقیماً از F=ma می آید و F=ma طبق تعریف در همه سیستم های مرجع بین المللی وجود دارد.
. اگر سیستم مرجع دوم در حال شتاب یا چرخش بود، چیزها کمی پیچیده تر بودند و نیروهای ظاهری را شامل می شدند، اما نتایج یکسان بود: ؤK=W همیشه نگه دارید، اما به دلیل اینرسی نبودن سیستم، باید "نیروهای ویژه" را در نظر بگیرید.
. این همچنین به این معنی است که برای اعمال بقای انرژی، باید آن را در همان چارچوب مرجع انجام دهید.
من کاملاً مطمئن هستم که آن مرد انرژی را مد نظر داشت و نه فقط انرژی جنبشی. همانطور که در مثالی که ارائه کردم است، به نظر می رسد که انرژی در برخی از سیستم های مرجع حفظ نشده است. با تعریف کار انجام شده توسط یک نیرو به این صورت:
$W(\vec F,\gamma):=\int_\gamma \langle \vec{F},\cdot\rangle = \int_I \langle \vec F\circ \gamma, \dot{\gamma}\rangle dt$شما به طور ضمنی می گویید که $\gamma$یا $\int_{a}^{b} \nabla F \cdot \vec{dr} = F(r(b)) - F(r(a))$من میگم را باید فهمید$W_{net} = \int\limits_\text{path} \vec{F}_{net} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \;.$
، مسیری که توسط یک جسم ایجاد می شود، به سیستم مرجع بستگی دارد، و همچنین کار انجام شده توسط یک نیروی روی آن جسم نیز بستگی دارد. تغییر سیستم مرجع، کار انجام شده توسط نیرو و همچنین انرژی جنبشی خود جسم را تغییر می دهد. تغییر در این دو کمیت (انرژی جنبشی و کار) در سیستم های مرجع مختلف تنها با تعریف کار همانطور که گفتیم از بین می رود. این نشان می‌دهد که انرژی برای افزایش‌های گالیله ثابت است.
از آنجایی که فاصله طی شده هنگام اعمال نیرو به یک جسم به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد، بنابراین به کار انجام شده نیز بستگی داره. با توجه به قانون اعمال متقابل نیوتن، یک نیروی واکنش وجود داره بسته به چارچوب مرجع اینرسی به روشی مخالف کار می کند. کل کار انجام شده مستقل از چارچوب مرجع اینرسی است.
به همین ترتیب انرژی جنبشی یک جسم، و حتی تغییر در این انرژی به دلیل تغییر در سرعت، به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد. انرژی جنبشی کل یک سیستم جدا شده به چارچوب مرجع اینرسی نیز بستگی دارد: این انرژی مجموع انرژی جنبشی کل در یک قاب مرکز تکانه و انرژی جنبشی است که جرم کل اگر در مرکز متمرکز بشه. جرم به دلیل پایستگی تکانه، دومی با زمان تغییر نمی کنه، بنابراین تغییرات با زمان کل انرژی جنبشی به چارچوب مرجع اینرسی بستگی نداره
در مقابل، در حالی که تکانه یک جسم به چارچوب مرجع اینرسی نیز بستگی دارد، تغییر آن به دلیل تغییر در سرعت اینطور نیست.
رابطه تحت تبدیل گالیله را بین مختصات (x, y, z, t) و (x', y', z', t') یک رویداد دلخواه توصیف می کنه که در دو سیستم مختصات S و اندازه گیری شده است. S'، در حرکت نسبی یکنواخت (سرعت v) در جهات مشترک x و x'، با مبدا فضایی آنها در زمان t = t' = 0: منطبق است.$x'=x-vt$و$y'=y$و$z'=z$تو جبر خطی، این تبدیل یک نگاشت برشی در نظر گرفته میشه و با ماتریسی که بر روی یک بردار عمل می کند توصیف میشه با حرکت موازی با محور x، تبدیل تنها بر روی دو جزء عمل میکنه${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}$
تغییر در این دو کمیت (انرژی جنبشی و کار) در سیستم های مرجع مختلف تنها با تعریف کار همانطور که قبلا تو پست قبلی ام از بین میره. این نشون میده که انرژی برای افزایش‌های گالیله ثابته
در چارچوب مرجع اینرسی، تمام قوانین نیوتن معتبر هستند و از آنجایی که انرژی به عنوان نیروی محافظه کار تعریف میشن انرژی باید حفظ بشه
انرژی جنبشی به چارچوب مرجع یک ناظر بستگی داره. بنابراین، انرژی جنبشی تنها ویژگی یک جسم نیستش: اگر همراه با یک جسم حرکت می کنید و خود را به عنوان مرجع تعریف می کنید، انرژی جنبشی جسم صفره
یک ویژگی مهم انرژی اینه که یک کمیت نسبیه. همانطور که ناظرانی که با سرعت های مختلف حرکت می کنند مقادیر متفاوتی را برای انرژی جنبشی یک ذره مشاهده می کنن، برای مثال ناظران در ارتفاع متفاوت مقادیر متفاوتی را برای انرژی پتانسیل گرانشی مشاهده می کن
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان فریمه این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S' که S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانته.
انرژی جنبشی هر چیزی به چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود بستگی داره. با این حال، انرژی کل یک سیستم ایزوله، یعنی سیستمی که انرژی نه می تواند وارد شود و نه می تواند از آن خارج شود، در طول زمان در چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود، تغییر نمیکنه
باز هم، چرا انرژی جنبشی و سرعت مستقل از مختصات موقعیت در مختصات دکارتیه
در مکانیک کلاسیک محاسبه تکامل یک ذره به معنای دانستن موقعیت و سرعت آن برای هر زمانه به طور کلی اگر بگویم یک ذره در موقعیت x قرار داره و دارای سرعت v است
و از شما در مورد انرژی جنبشی سوال می کند. یعنی $\frac{1}{2}mv^2$ و این مستقل از سیستمی است که شما دارید. پاسخ همیشه صحیح است.
حل معادلات سیستم به معنای یافتن موقعیت و سرعت هر لحظه از زمان است. هنگامی که معادلات را حل کردید، برای هر بار t یک موقعیت و سرعت خواهید داشت
. بنابراین به این معنیه که شما می توانید برای هر سیستمی، نه تنها برای سیستمی که توضیح دادین، سرعت را به عنوان تابعی از موقعیت بنویسین
انرژی جنبشی، با این حال، هرگز به صراحت به موقعیت بستگی ندارد، بلکه به ضمنی بستگی دارد. به طور غیررسمی این بدان معنی است که مستقیماً به موقعیت بستگی ندارد، اما اگر بتوانید به هر موقعیت یک سرعت مرتبط کنین به طور غیر مستقیم بستگی داره. در واقع مشتق جزئی را همانطور که ذکر کردم $\frac{∂T}{∂x}$ می گیریم
یعنی "اگر موقعیت را تغییر دهم در حالی که سرعت را ثابت نگه دارم، انرژی جنبشی چقدر تغییر می کند" و این همیشه صفر است. اگر شما انجام دهید با این حال$\frac{dT}{dx}$
شما می گویید "اگر موقعیت را تغییر دهم در حالی که سرعت را متناسب با آن تغییر دهم، انرژی جنبشی چقدر تغییر می کند" و این غیر صفره
برای مثال خاص شما، انرژی جنبشی توپ در واقع به ارتفاع توپ بستگی دارد. انرژی کل توپ ثابته و انرژی پتانسیل توپ در هر ارتفاع مختلف y متفاوته. در نتیجه، انرژی جنبشی توپ باید در هر y مختلف تنظیم بشه تا انرژی کل ثابت بماند. شما می توانید این را از معادله خود ببینید$v_1=\sqrt {\frac{1}{2}mv_0^2-mgy}$
تغییر انرژی مکانیکی یک سیستم در یک چارچوب مرجع اینرسی برابر با کار انجام شده توسط کل نیروی غیر محافظه کار در همان قاب است. این رابطه تحت تبدیل‌های گالیله از قاب اینرسی S به S'، که در آن S' با سرعت ثابت نسبت به S حرکت می‌کند، کوواریانت غیرمحافظه کار است. مربوط به نیروهایی مانند اصطکاک که انرژی را حفظ یا ذخیره نمی کنندآره. نیروی خارجی یک نیروی غیر محافظه کار است و نیروی محافظه کار یک نیروی درونی است. یک نیروی خارجی انرژی یک سیستم را افزایش یا کاهش می دهد، بنابراین یک نیروی غیر محافظه کار است. یک نیروی محافظه کار انرژی مکانیکی کلی را تغییر نمی دهد، فقط شکل آن را از جنبشی به پتانسیل تغییر می دهد، بنابراین درونی است.
توجه داشته باشید که آنچه من گفتم برعکس نیست: نیروهای داخلی لزوما محافظه کار نیستند و همچنین نیروهای غیر محافظه کار لزوماً بیرونی نیستند. به عنوان مثال، اصطکاک غیر محافظه کارانه است و می تواند داخلی باشد..در S و حفظ نشود.ببیناعداد موجود در لیست به انتخاب سیستم مختصات بستگی داره. به عنوان مثال، اگر بردار موقعیت را نسبت به یک ناظر نشان دهد (بردار موقعیت)، آنگاه سیستم مختصات ممکن است از سیستمی از میله های صلب یا محورهای مرجع به دست آید که در امتداد آن اجزای v1، v2 و v3 اندازه گیری می شوند. برای اینکه یک بردار یک شی هندسی را نشان دهد، باید بتوان نحوه ظاهر آن را در هر سیستم مختصات دیگری توصیف کرد. به این معنا که اجزای بردارها در عبور از یک سیستم مختصات به سیستم مختصات دیگر به نحوی تبدیل می شوند.
پس در واقع
انرژی جنبشی هر موجودی به چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود بستگی دارد. با این حال، انرژی کل یک سیستم ایزوله، یعنی سیستمی که انرژی نه می تواند وارد شود و نه می تواند از آن خارج شود، در طول زمان در چارچوب مرجعی که در آن اندازه گیری می شود، تغییر نمی کند. بنابراین، انرژی شیمیایی تبدیل شده به انرژی جنبشی توسط یک موتور موشک، بسته به چارچوب مرجع انتخابی، بین کشتی موشکی و جریان خروجی آن تقسیم می‌شود. این اثر Oberth هستش. اما انرژی کل سیستم شامل انرژی جنبشی، انرژی شیمیایی سوخت، گرما و غیره بدون توجه به انتخاب چارچوب مرجع در طول زمان حفظ می شود. با این حال، ناظران مختلف که با چارچوب های مرجع متفاوت حرکت می کنند، در مورد ارزش این انرژی ذخیره شده اختلاف نظر دارند.همان اصول فیزیک مقدماتی هنگامی که در مکانیک پروازهای فضایی به کار می رود به نتیجه قابل توجهی منجر می شود - اثر Oberth - که به موجب آن یک تکانه کوچک می تواند باعث تغییر بزرگی در انرژی مداری موشک بدون نقض قوانین حفاظت بشه.
انرژی جنبشی چنین سیستم هایی به انتخاب قاب مرجع بستگی دارد: قاب مرجعی که حداقل مقدار آن انرژی را می دهد مرکز قاب تکانه است، یعنی قاب مرجعی که در آن تکانه کل سیستم صفر است. این حداقل انرژی جنبشی به جرم ثابت سیستم به عنوان یک کل کمک می کند.چارچوب مرجع
سرعت، و در نتیجه انرژی جنبشی یک جسم منفرد وابسته به قاب (نسبی) است: با انتخاب یک چارچوب مرجع اینرسی مناسب، می تواند هر مقدار غیر منفی را بگیرد. به عنوان مثال، گلوله ای که از روی ناظر عبور می کند دارای انرژی جنبشی در چارچوب مرجع این ناظر است. همان گلوله در برابر ناظری که با همان سرعت گلوله حرکت می کند، ساکن است و بنابراین انرژی جنبشی صفر دارد.مقابل، انرژی جنبشی کل یک سیستم از اجسام را نمی توان با انتخاب مناسب چارچوب مرجع اینرسی به صفر کاهش داد، مگر اینکه سرعت تمام اجسام یکسان باشد. در هر حالت دیگر، انرژی جنبشی کل دارای حداقل غیر صفر است، زیرا هیچ چارچوب مرجع اینرسی را نمی توان انتخاب کرد که در آن تمام اجسام ساکن باشند. این حداقل انرژی جنبشی به جرم ثابت سیستم کمک می کند که مستقل از چارچوب مرجع است.
انرژی جنبشی کل یک سیستم به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد: این انرژی مجموع انرژی جنبشی کل در یک مرکز قاب تکانه و انرژی جنبشی است که جرم کل اگر در مرکز جرم متمرکز شود، خواهد داشت.
پس انرژی جنبشی به چارچوب مرجع یک ناظر بستگی دارد. بنابراین، انرژی جنبشی فقط یک ویژگی یک جسم نیست: اگر همراه با یک جسم حرکت می کنید و خود را مرجع تعریف می کنید، انرژی جنبشی جسم صفر است (در این چارچوب مرجع خاص).
آیا مفهوم کار انرژی جنبشی گالیله ای را ثابت می کنه؟
انرژی جنبشی ثابت نیست: مقدار آن می تواند از یک سیستم به سیستم دیگر تغییر کند. با این حال، رابطه ای که کار انجام شده توسط یک نیرو را به هم متصل می کنه و تغییر در انرژی جنبشی باید در هر چارچوب مرجع اینرسی برقرار باشه!
روشن است که انرژی جنبشی در همه سیستم ها یکسان نیست: اگر در ماشینی هستید که با سرعت ثابت v0 در حال حرکته
انرژی شما $1/2mv_0^2$است
(من توده شما هستم). اما شما در داخل ماشین و در حالت استراحت، اگر انرژی جنبشی خود را محاسبه کنید، می‌گویید 0 است - زیرا در حالت استراحت هستید! بنابراین انرژی جنبشی در چارچوب های مرجع تغییر می کند، اما در چارچوب بینابینی رابطه انرژی جنبشی کار و جنبش همچنان برقرار است.
بزاارین منظورم را بیان کنیم: من در یک سیستم مرجع (اینرسی) هستم. جسمی را می بینم که حرکت می کند. من کار انجام شده را W1 اندازه می‌گیرم
. من تغییر انرژی جنبشی ناشی از آن کار ؤK1 را اندازه می‌گیرم
. دو کمیت باید یکسان باشند وگرنه فیزیک اشتباه است! من به چارچوب مرجع اینرسی دیگری می روم. دوباره W2 را اندازه می‌گیرم
و ؤK2 در قاب جدید این دو کمیت جدید می توانند (و خواهند بود) با کمیت های قبلی متفاوت باشند، اما $\Delta K_2 = W_2$
باید همچنان باقی بمونه زیرا ما در یک قاب اینرسی هستیم که در آن F=ma تغییر نکرده است.
این به این دلیل است که کار به گونه ای تعریف شده است که W=ؤK در تمام چارچوب های مرجع اینرسی به جز مقدار مجزای W وجود دارد
می تواند تغییر کند. اگر اینطور است، ؤK نیز باید تغییر کند تا برابر با W بماند
. تعریف کار مستقیماً از F=ma نشات میگیره بنابراین اگر رابطه انرژی جنبشی کار و جنبشی قطع شود، F=ma نیز قطع می شود
یعنی مکانیک نیوتنی هم همینطور! با این حال، توجه داشته باشین که این فقط برای مراجع بین‌المللی درسته
بیایید یک مثال (طولانی) بزارم فرض کنید نیروی ثابت F1 دارین هل دادن یک جسم، ابتدا در حالت سکون در مبدا، در یک سیستم مرجع که برای طول x1 در حالت استراحت است
در یک زمان t . کار انجام شده خواهد بود
$W_1(t)=F_1x_1(t)$زیرا با نیروی ثابت و بدون سرعت اولیه، شتاب را بر روی $F_1=ma_1$قرار میدم قانون نیوتن) و با استفاده از معادله حرکت $x_1(t)={1\over 2}at^2={1\over 2}{F_1\over m}t^2$ما گرفتیم
$W_1(t)={1\over 2}{F^2_1\over m}t^2$ این کمیت باید همان تغییر انرژی جنبشی باشه $\Delta K_1(t)={1/2}mv_1^2(t)$در واقع، چون نیرو ثابت است، جسم مطابق با (دوباره معادله حرکت) حرکت خواهد کرد.$v_1(t)=a_1t={F_1\over m}t$[این رابطه را برای بعد به خاطر بسپارید بعدا میگم] تا $\Delta K_1(t)={1\over 2}mv_1^2(t)={1\over 2}m({F/m}t)^2$به طوری که
$\Delta K_1(t)={1\over 2}{F^2_1\over m}t^2$یعنی ر$\Delta K_1=W_1$
حالا بیاین وارد چارچوب مرجع دیگری شویم که با سرعت $v_0$ در حال حرکته در همین راستا این بدان معنیه که سرعت جسمی که در این قاب مشاهده می کنید در ابتدا $v_2(t)=v_1(t)-v_0$خواهد بود.
، به این معنی که در ابتدا (زمانی که $v_1=0$ ) $v_2=0$. این همچنین به این معنی است که اگر پس از یک زمان t ناظر تغییر انرژی جنبشی (نهایی منهای اولیه) را اندازه گیری می کند
$\Delta K_2={1\over2}mv_2(t)^2-{1\over2}m(-v_0)^2$که هست ${1\over2}m(v_1^2-2v_1v_0)$بنابراین
$\Delta K_2=\Delta K_1-mv_1v_0$که با فاکتور $mv_1v_0$ با چیزی که در فریم اول اندازه گرفتیم متفاوته
. اوه نه: مشکل کجاست؟! "مشکل" این است که W2 نیز کار می کند
در این چارچوب مرجع متفاوت خواهد بود. بیایید ببینیم ... بیایید نیرویی را که ناظر در سیستم مرجع خود اندازه گیری می کند اندازه گیری کنم
از آنجایی که ناظر در حال حرکت است، سرعت $v_2(t)=v_1(t)-v_0$ را اندازه گیری می کند
، همانطور که گفتیم. علاوه بر این، در ابتدا، چون جسم در قاب اول استراحت داشت، سرعت اولیه جسم در فریم دوم −$-v_0$ خواهد بود.
(مشاهده شیء را می بیند که در جهت منفی حرکت می کند: اما اینطور نیست، در واقع ناظر در حال حرکت است!). علاوه بر این، همانطور که ناظر می بیینه a سرعت افزایش خطی در زمان، او می تواند فرض کند که یک نیروی ثابت F2 وجود داره عمل بر روی شی با استفاده از قانون نیوتن می توانیم آن را بنویسم $v_1(t)-v_0=v_2(t)=v_2(0)+a_2t=-v_0+{F_2\over m}t$این یعنی
$F_2=v_1(t)m/t$که همان عبارتی است که قبلا برای F1 پیدا کردم به طوری که F2=F1
نیرو در هر دو سیستم یکسان است - و این منطقی است، زیرا ما با سرعت ثابت حرکت می کنیم و شتابی که جسم می بیند باید یکسان باشد، بنابراین نیرو نیز یکسان باشد. با این حال، در حالی که نیرو یکسان است، جابجایی جسم یکسان نخواهد بود زیرا ما آن را از مرجع (متحرک) دیگری نگاه می کنیم. این قبلاً نشان می دهد که آن عامل در انرژی جنبشی که از دست رفته است ناشی از این واقعیت است که در این سیستم مرجع جدید من جابجایی کوچکتری را می بینم، یعنی یک کار کوچکتر، بنابراین "سرعت" باید آن را جبران کنه. بیایید بررسی کنیم که این دو مقدار واقعاً برابر هستند!
ما میدانیم
$x_2(t)=x_1(t)-v_0t$به طوری که کار [من اکنون (t) را رها می کنم $W_2=F_2x_2=F_2(x_1-v_0t)$اکنون با استفاده از F2=F1
من گرفتم $W_2=F_1x_1-F_1v_0t$و با استفاده از $W_1=F_1x_1$
و$F_1=mv_1/t$ [گفتم این یکی را به خاطر بسپار]:
$W_2=W_1-mv_0v_1$که اکنون راضی می کند $\Delta K_2=W_2$با وجود $W_1\ne W_2$و
$\Delta K_2 \ne \Delta K_1$ به طور خلاصه، در یک چارچوب مرجع، مقدار مطلق انرژی جنبشی می تواند تغییر کند، اما اگر من نیروها، سرعت ها و جابجایی ها را در همان سیستم مرجع اندازه گیری کنم، ؤK=W همیشه نگه دارید این به این دلیل است که تعریف کار مستقیماً از F=ma می آید و F=ma طبق تعریف در همه سیستم های مرجع بین المللی وجود دارد.
. اگر سیستم مرجع دوم در حال شتاب یا چرخش بود، چیزها کمی پیچیده تر بودند و نیروهای ظاهری را شامل می شدند، اما نتایج یکسان بود: ؤK=W همیشه نگه دارید، اما به دلیل اینرسی نبودن سیستم، باید "نیروهای ویژه" را در نظر بگیرید.
. این همچنین به این معنی است که برای اعمال بقای انرژی، باید آن را در همان چارچوب مرجع انجام دهید.
من کاملاً مطمئن هستم که آن مرد انرژی را مد نظر داشت و نه فقط انرژی جنبشی. همانطور که در مثالی که ارائه کردم است، به نظر می رسد که انرژی در برخی از سیستم های مرجع حفظ نشده است. با تعریف کار انجام شده توسط یک نیرو به این صورت:
$W(\vec F,\gamma):=\int_\gamma \langle \vec{F},\cdot\rangle = \int_I \langle \vec F\circ \gamma, \dot{\gamma}\rangle dt$شما به طور ضمنی می گویید که $\gamma$یا $\int_{a}^{b} \nabla F \cdot \vec{dr} = F(r(b)) - F(r(a))$من میگم را باید فهمید$W_{net} = \int\limits_\text{path} \vec{F}_{net} \cdot \mathrm{d}\vec{s} \;.$
، مسیری که توسط یک جسم ایجاد می شود، به سیستم مرجع بستگی دارد، و همچنین کار انجام شده توسط یک نیروی روی آن جسم نیز بستگی دارد. تغییر سیستم مرجع، کار انجام شده توسط نیرو و همچنین انرژی جنبشی خود جسم را تغییر می دهد. تغییر در این دو کمیت (انرژی جنبشی و کار) در سیستم های مرجع مختلف تنها با تعریف کار همانطور که گفتیم از بین می رود. این نشان می‌دهد که انرژی برای افزایش‌های گالیله ثابت است.
از آنجایی که فاصله طی شده هنگام اعمال نیرو به یک جسم به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد، بنابراین به کار انجام شده نیز بستگی داره. با توجه به قانون اعمال متقابل نیوتن، یک نیروی واکنش وجود داره بسته به چارچوب مرجع اینرسی به روشی مخالف کار می کند. کل کار انجام شده مستقل از چارچوب مرجع اینرسی است.
به همین ترتیب انرژی جنبشی یک جسم، و حتی تغییر در این انرژی به دلیل تغییر در سرعت، به چارچوب مرجع اینرسی بستگی دارد. انرژی جنبشی کل یک سیستم جدا شده به چارچوب مرجع اینرسی نیز بستگی دارد: این انرژی مجموع انرژی جنبشی کل در یک قاب مرکز تکانه و انرژی جنبشی است که جرم کل اگر در مرکز متمرکز بشه. جرم به دلیل پایستگی تکانه، دومی با زمان تغییر نمی کنه، بنابراین تغییرات با زمان کل انرژی جنبشی به چارچوب مرجع اینرسی بستگی نداره
در مقابل، در حالی که تکانه یک جسم به چارچوب مرجع اینرسی نیز بستگی دارد، تغییر آن به دلیل تغییر در سرعت اینطور نیست.
رابطه تحت تبدیل گالیله را بین مختصات (x, y, z, t) و (x', y', z', t') یک رویداد دلخواه توصیف می کنه که در دو سیستم مختصات S و اندازه گیری شده است. S'، در حرکت نسبی یکنواخت (سرعت v) در جهات مشترک x و x'، با مبدا فضایی آنها در زمان t = t' = 0: منطبق است.$x'=x-vt$و$y'=y$و$z'=z$تو جبر خطی، این تبدیل یک نگاشت برشی در نظر گرفته میشه و با ماتریسی که بر روی یک بردار عمل می کند توصیف میشه با حرکت موازی با محور x، تبدیل تنها بر روی دو جزء عمل میکنه${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}$