چگونه می توان میزان آب ریخته شده یک مخزن استوانه ای گردان باز را ارزیابی کرد؟
مخزن استوانه ای باز 2R متر قطر و H متر ارتفاع شامل h
متر آب تانک حول محور عمودی خودش می چرخد به گونه ای که پارابولوئید سطح آزاد پایه مخزن را لمس می کند. چقدر آب ریخته خواهد شد؟
من به برخی از شرایط اولیه رسیدم، اما هنوز نمی توانم راهی برای یافتن حداقل امگا که پارابولوئید برای آن تخت را لمس کند، فکر کنم. من با مکانیک سیالات اشنا هستم اکثر واحدهای درسی من شاامل مکانیک سیالا هست- هر کمکی قابل قدردانی میکنم اگر فرض کنم که پس از چرخش، سطح آب حاصل هم مرکز کف سیلندر و هم لبه دایره‌ای در بالای سیلندر را لمس می‌کنه دوباره اطلاعات کافی برای محاسبه حجم این شکل نهایی فرضی دارم
ارتفاع مایع در سیلندر در حال چرخش روی میز گردان با استفاده از اصل برنولی
هنگامی که یک مایع در یک سیلندر روی یک میز چرخان می چرخد، اختلاف ارتفاع مایع در حال چرخش
من دلیلی برای مقدار h دیده و فهمیده ام با گرفتن حرکت یک جزء مایع روی سطح از چارچوب مرجع استوانه و سپس با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای نشان دادن سهمی بودن منحنی.
با این حال، استاد من به من گفت که این را می توان با استفاده از اصل برنولی نشان داد (حداقل فرمول h را می توان استخراج کرد). وقتی سعی کردم از آن استفاده کنم، با فرض اینکه فشار در تمام نقاط سطح مایع یکسان است، به نتیجه رسیدم، اما h منفی است، یعنی از آنجایی که مایع نزدیک صفحه منحنی سیلندر در حال حرکت است اما مایع در مرکز ساکن است، مایع باید در مرکز بالاتر باشد زیرا انرژی پتانسیل بالاتر برابر با انرژی جنبشی مایع در انتها است.اجازه دهید$H\equiv u^2/2+p/\rho+gz=\Omega^2r^2/2+p/\rho+gz$
. از معادله ناویر-استوکس برای جریان غیر لزج ثابت از معادله برنولی استخراج کرد
$\nabla H=\mathbf{u}\times\omega$که در آن$ \mathbf{u}$
u سرعت p فشار، ρ چگالی است، g شتاب گرانشی است، z ارتفاع از یک موقعیت مرجع، Ω است سرعت چرخش حول محور عمودی، r است فاصله شعاعی از محور چرخش و سرعت$\omega\equiv\nabla\times\mathbf{u}$ گرداب است. آنچه معادله بالا می گوید این است که H در جهت عمود بر سرعت و گرداب تغییر می کند. به طور معادل، H
در امتداد خطوط جریان و گرداب ثابت است. در مورد خاص جریان غیر چرخشی، یعنی ω=0 ، ∇H=0 داریم و بنابراین h مقدار یکسانی در سراسر سیال دارد.
اما یک مایع در چرخش جسم جامد غیر چرخشی نیست. در واقع گرداب دارای مقدار ثابت $\omega=2\Omega\mathbf{e}_z$ است
همه جا در سیال، که در آن $\mathbf{e}_z$
بردار واحد در جهت عمودی رو به بالا است. بنابراین h از یک خط جریان به خط دیگر متفاوت است (خطوط جریان در چرخش جسم جامد دایره هایی متحدالمرکز با محور چرخش هستند). اگر $\mathbf{e}_\theta$ بردار واحد آزیموتال باشد سپس $\mathbf{u}=\Omega r\mathbf{e}_\theta$
. از این رو:
$\nabla H=2\Omega^2r~\mathbf{e}_\theta\times\mathbf{e}_z=2\Omega^2r~\mathbf{e}_r\\
\frac{dH}{dr}=2\Omega^2r\\
\therefore\quad H=\Omega^2r^2+\textrm{constant}$بنابراین ما معادله برنولی را برای یک خط جریان بر روی سطح آزاد که در فاصله شعاعی r قرار دارد داریم
از محور چرخش:
$H=\Omega^2r^2+\textrm{constant}=\frac{\Omega^2r^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz\\
\therefore\quad\frac{\Omega^2r^2}{2}-gz=\textrm{constant}$که در آن فشار ثابت (در سطح آزاد) به ثابت دیگر جذب شده است. این معادله سطح آزاد یک مایع در چرخش جسم جامد است.
چرا کف در یک مایع در حال چرخش در نزدیکی مرکز جمع می شود؟
اولین بار در حین نوشیدن قهوه متوجه این موضوع شدم. وقتی قهوه در فنجان می چرخید، بیشتر کف آن در نزدیکی مرکز جمع می شد. من این اثر را با مقداری آب و صابون بازسازی کردم. فوم انباشته شده گنبد زیبایی را تشکیل می داد. .من تعجب می کنم که چه چیزی باعث شکل گیری این الگو می شود. من انتظار دارم که فوم به دلیل نیروهای گریز از مرکز از مرکز دور شود، اما این چیزی نیست که من می بینم. من معتقدم چیز دیگری در آن وجود دارد. بنابراین به طور خلاصه سؤال اینجاست: چرا کف در یک مایع در حال چرخش در نزدیکی مرکز جمع می شود؟
اولین بار در حین نوشیدن قهوه متوجه این موضوع شدم. وقتی قهوه در فنجان می چرخید، بیشتر کف آن در نزدیکی مرکز جمع می شد. من این اثر را با مقداری آب و صابون بازسازی کردم. فوم انباشته شده گنبد زیبایی را تشکیل می داد. .من تعجب می کنم که چه چیزی باعث شکل گیری این الگو می شود. من انتظار دارم که فوم به دلیل نیروهای گریز از مرکز از مرکز دور شود، اما این چیزی نیست که من می بینم. من معتقدم چیز دیگری در آن وجود دارد. بنابراین به طور خلاصه سؤال اینجاست:
چرا کف نزدیک مرکز سیالات در حال چرخش جمع می شود؟
همچنین، چرا یک شکل گنبدی مشخص برای فوم انباشته شده وجود دارد؟آب نیروی گریز از مرکز بیشتر از حباب ها را تجربه می کند
هم حباب ها و هم آب نیروی گریز از مرکز را تجربه می کنند. با این حال، از آنجایی که نیروی گریز از مرکز توسط
می بینید که یک جسم پرجرمتر (آب) نیروی گریز از مرکز بیشتری را تجربه خواهد کرد. از منظر قاب چرخان، این نیروها مانند فلش های صورتی زیر به نظر می رسند: قاب چرخان حبابی
بنابراین آب در همان
همانطور که حباب در اطراف حباب جریان می یابد و آن را به مرکز چرخش نزدیک می کند. البته، حباب ها همچنان به سطح می آیند، بنابراین به صورت توده ای بالا می روند و باعث برآمدگی حباب در تصویر شما می شوند:
این همان اصل است که یک سانتریفیوژ عمل می کند، اما به جای پرتاب مواد سنگین تر به بیرون آب در حال چرخش، اجسام سبک تر را به سمت مرکز آب در حال چرخش پرتاب می کند.
خب ساده است، اول از همه اجازه دهید به یک مشکل فرعی نگاه کنیم. بیایید بپرسیم در صورت یک چرخش زاویه ای یکنواخت، سطح سیال چه شکلی خواهد داشت؟ من برای سادگی، فرض می کنم که سیال بدون تلاطم است و به طور یکنواخت متراکم است.
هر مسئله فیزیک کلاسیک را می توان با استفاده از نمودارهای بدن آزاد تجزیه و تحلیل کرد، و اگر یکی را برای آنها ترسیم کنید، متوجه می شوید که دو نیرو بر یک عنصر جرمی وارد می شود، یکی نیروی گریز از مرکز روی آن (من تجزیه و تحلیل را از چارچوب محور انجام داده ام) و نیروی گرانشی دیگر. حال از ویژگی زیر مایعات استفاده می کنیم: آنها نمی توانند نیروی برشی را تحمل کنند، یعنی به گونه ای توزیع می شوند که نیروی خالص وارد بر سیال عمود بر سطح سیال باشد.
اکنون ما برای مقابله با مشکل آماده هستیم. اگر نمودار جسم آزاد را تجزیه و تحلیل کنید، متوجه خواهید شد
$\frac{dy}{dr}=\omega^2r$
اگر این معادله دیفرانسیل را حل کنید به نتیجه زیر خواهید رسید
$y=\frac{\omega^2r^2}{2}$که اساساً به این معنی است که سطح سیال مانند یک سهمی است (از نظر فنی یک پارابولوئید است)
حالا من یک چیز دیگر را فرض می کنم: اینکه چگالی فوم در مقایسه با سیال بسیار کمتر است، به این معنی که بر توزیع سیال تأثیری نخواهد داشت.
حالا از اینجا باید مشخص شود که مایع در حال تشکیل نوعی چاه گرانشی است (قطعاً اصطلاح درستی نیست، اما کاملاً مفید است) که باعث جمع شدن کف در مرکز می شود [/img]
چرا کف نزدیک مرکز سیالات در حال چرخش جمع می شود؟
همچنین، چرا یک شکل گنبدی مشخص برای فوم انباشته شده وجود دارد؟آب نیروی گریز از مرکز بیشتر از حباب ها را تجربه می کند
هم حباب ها و هم آب نیروی گریز از مرکز را تجربه می کنند. با این حال، از آنجایی که نیروی گریز از مرکز توسط
می بینید که یک جسم پرجرمتر (آب) نیروی گریز از مرکز بیشتری را تجربه خواهد کرد. از منظر قاب چرخان، این نیروها مانند فلش های صورتی زیر به نظر می رسند: قاب چرخان حبابی
بنابراین آب در همان
همانطور که حباب در اطراف حباب جریان می یابد و آن را به مرکز چرخش نزدیک می کند. البته، حباب ها همچنان به سطح می آیند، بنابراین به صورت توده ای بالا می روند و باعث برآمدگی حباب در تصویر شما می شوند:
این همان اصل است که یک سانتریفیوژ عمل می کند، اما به جای پرتاب مواد سنگین تر به بیرون آب در حال چرخش، اجسام سبک تر را به سمت مرکز آب در حال چرخش پرتاب می کند.
خب ساده است، اول از همه اجازه دهید به یک مشکل فرعی نگاه کنیم. بیایید بپرسیم در صورت یک چرخش زاویه ای یکنواخت، سطح سیال چه شکلی خواهد داشت؟ من برای سادگی، فرض می کنم که سیال بدون تلاطم است و به طور یکنواخت متراکم است.
هر مسئله فیزیک کلاسیک را می توان با استفاده از نمودارهای بدن آزاد تجزیه و تحلیل کرد، و اگر یکی را برای آنها ترسیم کنید، متوجه می شوید که دو نیرو بر یک عنصر جرمی وارد می شود، یکی نیروی گریز از مرکز روی آن (من تجزیه و تحلیل را از چارچوب محور انجام داده ام) و نیروی گرانشی دیگر. حال از ویژگی زیر مایعات استفاده می کنیم: آنها نمی توانند نیروی برشی را تحمل کنند، یعنی به گونه ای توزیع می شوند که نیروی خالص وارد بر سیال عمود بر سطح سیال باشد.
اکنون ما برای مقابله با مشکل آماده هستیم. اگر نمودار جسم آزاد را تجزیه و تحلیل کنید، متوجه خواهید شد
$\frac{dy}{dr}=\omega^2r$
اگر این معادله دیفرانسیل را حل کنید به نتیجه زیر خواهید رسید
$y=\frac{\omega^2r^2}{2}$که اساساً به این معنی است که سطح سیال مانند یک سهمی است (از نظر فنی یک پارابولوئید است)
حالا من یک چیز دیگر را فرض می کنم: اینکه چگالی فوم در مقایسه با سیال بسیار کمتر است، به این معنی که بر توزیع سیال تأثیری نخواهد داشت.
حالا از اینجا باید مشخص شود که مایع در حال تشکیل نوعی چاه گرانشی است (قطعاً اصطلاح درستی نیست، اما کاملاً مفید است) که باعث جمع شدن کف در مرکز می شود
