من معادله تداوم زیر را برای دینامیک سیال برای سیالات تراکم پذیر و همچنین تراکم ناپذیر دیده ام
$\rho_1V_1A_1 = \rho_2V_2A_2,$
و از اصل بقای جرم گرفته شده است، اما سوال من در اینجا این است که این معادله فرض می کند که جرم سیال در بخش داده شده لوله ثابت است، در حالی که این نباید برای سیالات تراکم پذیر صادق باشد، زیرا آنها می توانند چگالی متغیر داشته باشند. و از این رو مقدار جرم وارد شده به سیستم با مقدار جرم خروجی در تمام نقاط زمان برابر نیست
این معادله برای جریان های تراکم ناپذیر (پایدار یا ناپایدار) و برای جریان های تراکم پذیر در حالت پایدار معتبر است. در حالت پایدار، جرم داخل یک حجم کنترل نمی تواند با زمان تغییر کند، بنابراین جرم ورودی باید برابر با خروجی باشد.
قانون بقای جرم یکی از قوانین اساسی در جهان هستی است. تا آنجا که من می دانم،
بر اساس این فرض، یعنی معادله کلی بقای جرم در دینامیک سیالات که شما به آن اشاره می کنید، مشتق شده است. توجه داشته باشید که تا زمانی که جرم را حفظ نکنید، نمی توانید معادله ای را که در سوال خود نوشتید بدست آورید.
در مورد لوله شما صرفاً، جرم سیال موجود در بخش لوله طبق قانونی که در بالا ذکر کردم حفظ می شود. این بدان معناست که اگر من چگالی سیال را در هر نقطه از بخش لوله شما بدانم، آنگاه
$m = \int_V\rho dV = inv(t) = const$
ببینید: شما باید چگالی را در هر نقطه بدانید زیرا متغیر است و در تمام قسمت لوله ثابت نیست.
حال چگونه می توانم جرم ثابت داخل قسمت لوله را فراهم کنم؟ سیال در قسمت لوله توسط جریان در لوله تامین می شود. بنابراین، اگر جرم سیالی که در طول 1 ثانیه وارد بخش لوله می شود برابر با جرم سیال خارج شده از بخش لوله در طول 1 ثانیه باشد، جرم سیال داخل بخش لوله تغییر نمی کند. از آنجایی که جریان تراکم پذیر است، چگالی سیال در ورودی و خروجی از بخش لوله متفاوت است. اما همانطور که در بالا گفته شد، جرم ورودی و خروجی از قسمت لوله باید یکسان باشد. به همین دلیل است که حجم سیال ورودی و خروجی از قسمت لوله متفاوت است.
به منظور حفظ جرم یکسان در بخش لوله با در نظر گرفتن اینکه چگالی متفاوت است، شما فقط حجم سیالی را که وارد و خارج می شود تنظیم می کنید.
و قابل درک است: اگر چگالی در ورودی بخش لوله بیشتر از چگالی در خروجی بخش لوله باشد، به این معنی است که همان جرم در حجم های مختلف در ورودی و خروجی بسته می شود.
اطلاع:
1) من ننوشتم که "سیال تراکم پذیر است" - نوشتم "جریان تراکم پذیر است به این دلیل است که سیال نمی تواند تراکم پذیر یا غیر قابل تراکم باشد. در مکانیک سیالات فقط جریان را می توان تحت برخی شرایط تراکم ناپذیر فرض کرد.
2) من در مورد جرم در هر زمان ورود / خروج از بخش لوله صحبت می کردم.
3) هنگامی که ما در مورد بخش لوله صحبت می کنیم، به معنای کنترل حجم سیال در آن است. جرم سیال در حجم کنترل می تواند در برخی مشکلات تغییر کند (اما نه در مشکلات شما). اما وقتی در مورد قانون حفاظت از جرم صحبت می کنیم، در مورد خود ماده صحبت می کنیم - نه در مورد حجم کنترلی که این ماده در آن وجود دارد.
بقای جرم در جریان سیال
هنگام استخراج معادله پیوستگی در کلاس فیزیک برای دو سیال غیرقابل اختلاط که پشت سر هم جریان دارند، از اصل بقای جرم استفاده کردیم. سوال من این است که آیا به جای جرم نباید حجم را حفظ کرد؟برای توضیح بیشتر، فرض کنید بخش 1 لوله دارای سطح مقطع A1 است
و بخش 2 دارای منطقه A2 است. در نقطه ای که مایع 1 با چگالی r1 کاملاً در بخش 2 و مایع 2 با چگالی r2 قرار دارد
به تازگی وارد بخش 2 می شود. آیا حجم مایع در بخش 2 نباید حفظ شود، یعنی $V_\mathrm{out}$
به جای جرم؟بقای جرم باید حفظ شود زیرا هیچ ذره ای از سیستم خارج نمی شود. با این حال، اگر یک سیال قابل تراکم باشد، نیازی به حفظ حجم نیست. با افزایش فشار روی یک سیال می توانید چگالی آن را تغییر دهید و حجم آن را تغییر دهید اما جرم آن هرگز تغییر نمی کند.بقای جرم: قوانین اساسی مکانیک سیالات حکم می کند که جرم در یک حجم کنترلی برای سیالات با چگالی ثابت حفظ شود. بنابراین مجموع جرم وارد شده به حجم کنترل باید با جرم کل خروجی از حجم کنترل به اضافه جرم جمع شده در حجم کنترل برابر باشد.بقای جرم یک مفهوم اساسی فیزیک به همراه بقای انرژی و بقای تکانه است. در برخی از حوزه های مشکل، مقدار جرم ثابت می ماند - جرم نه ایجاد می شود و نه از بین می رود. این کاملاً بدیهی به نظر می رسد، . جرم هر جسم را می توان با ضرب حجم جسم در چگالی جسم تعیین کرد. هنگامی که یک جسم جامد را حرکت می دهیم، همانطور که در بالای اسلاید نشان داده شده است، جسم شکل، چگالی و حجم خود را حفظ می کند. بنابراین جرم جسم بین حالت "a" و حالت "b" ثابت می ماند.
استاتیک سیالات
در مرکز شکل، مقداری از یک سیال ساکن، مایع یا گاز را در نظر می گیریم. اگر سیال را از حالت "الف" به حالت "ب" دیگر تغییر دهیم و اجازه دهیم به حالت استراحت درآید، متوجه می شویم که بر خلاف جامد، سیال ممکن است شکل خود را تغییر دهد. مقدار مایع، با این حال، ثابت می ماند. می توانیم مقدار سیال را با ضرب چگالی در حجم محاسبه کنیم. از آنجایی که جرم ثابت می ماند، حاصلضرب چگالی و حجم نیز ثابت می ماند. (اگر چگالی ثابت بماند، حجم نیز ثابت می ماند.) شکل می تواند تغییر کند، اما جرم ثابت می ماند.
دینامیک سیالات
در نهایت، در پایین اسلاید، تغییرات را برای سیالی که در دامنه ما در حال حرکت است در نظر می گیریم. هیچ تجمع یا کاهش جرمی وجود ندارد، بنابراین جرم در دامنه حفظ می شود. از آنجایی که سیال در حال حرکت است، تعیین مقدار جرم کمی مشکل می شود. بیایید مقداری از سیال را در نظر بگیریم که در مدت زمان t از نقطه "a" دامنه ما عبور می کند. اگر سیال از ناحیه A با سرعت V عبور کند، می توانیم حجم Vol را به صورت زیر تعریف کنیم:
$Vol = A * V * t$
بررسی واحدها مساحت x طول/زمان x زمان = مساحت x طول = حجم را نشان می‌دهد. بنابراین جرم در نقطه "a" ma صرفاً چگالی r برابر حجم "a" است.
$ma = (r * A * V * t)a$
اگر جریان را در یک نقطه دیگر در حوزه، نقطه "b" برای مدت زمان مشابه t مقایسه کنیم، جرم "b" mb را برابر با چگالی ضربدر سرعت ضربدر مساحت ضربدر زمان در "b" می‌یابیم. ":
$mb = (r * A * V * t)b$
از بقای جرم، این دو جرم یکسان هستند و چون زمان ها یکسان است، می توانیم وابستگی زمانی را از بین ببریم.
$(r * A * V)a = (r * A * V)b$
یا$r * A * V = const$
بقای جرم راه آسانی را برای تعیین سرعت جریان در لوله در صورت ثابت بودن چگالی به ما می دهد. اگر بتوانیم سرعت را در یک ناحیه شناخته شده تعیین کنیم (یا تنظیم کنیم)، معادله مقدار سرعت را برای هر ناحیه دیگر به ما می گوید. در انیمیشن ما، مساحت "b" نصف مساحت "a" است. بنابراین، سرعت در "b" باید دو برابر سرعت در "a" باشد. اگر سرعت مشخصی را در یک لوله بخواهیم، می‌توانیم مساحت لازم برای به دست آوردن آن سرعت را تعیین کنیم. این اطلاعات در طراحی تونل های باد استفاده می شود. چگالی کمیت ضربدر مساحت ضربدر سرعت دارای ابعاد جرم/زمان است و دبی جرمی نامیده می شود. این کمیت یک پارامتر مهم در تعیین نیروی رانش تولید شده توسط یک پیشرانه است. با نزدیک شدن سرعت جریان به سرعت صوت، چگالی جریان دیگر ثابت نیست و ما باید از معادله سرعت جریان جرمی از شکل تراکم پذیر استفاده کنیم. بقای معادله جرم نیز به صورت دیفرانسیل به عنوان بخشی از معادلات ناویر-استوکس جریان سیال رخ می دهد.قانون بقای جرم را فقط در مکانیک کلاسیک می توان فرموله کرد که در آن مقیاس انرژی مرتبط با یک سیستم جدا شده بسیار کوچکتر از
$mc^2،$ جایی کهm جرم یک جسم معمولی در سیستم است که در چارچوب مرجع که جسم در حال استراحت است اندازه گیری می شود
c سرعت نور است.
این قانون را می توان به صورت ریاضی در زمینه های مکانیک سیالات و مکانیک پیوسته فرموله کرد، جایی که بقای جرم معمولاً با استفاده از معادله پیوستگی بیان می شود که به صورت دیفرانسیل به عنوان
${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )=0,}$
جایی که${\textstyle \rho } $چگالی (جرم در واحد حجم) است.
${\textstyle t}$ زمان است،$⋅{\textstyle \nabla \cdot }$ واگرایی است و
${\textstyle \mathbf {v} } $میدان سرعت جریان است.
تفسیر معادله پیوستگی برای جرم به شرح زیر است: برای یک سطح بسته معین در سیستم، تغییر، در هر بازه زمانی، جرم محصور شده توسط سطح برابر با جرمی است که در طول آن بازه زمانی سطح را طی می کند: اگر موضوع وارد شد مثبت و اگر موضوع از بین رفت منفی. برای کل سیستم ایزوله، این شرط حاکی از آن است که جرم کل
${\textstyle M}$، مجموع جرم همه اجزای سیستم، در طول زمان تغییر نمی کند، یعنی.
${\displaystyle {\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\ int \rho \,{\text{d}}V=0,}$
جایی که${\textstyle {\text{d}}V}$ دیفرانسیلی است که انتگرال را در کل حجم سیستم تعریف می‌کند.
معادله پیوستگی جرم بخشی از معادلات اویلر دینامیک سیالات است. بسیاری دیگر از معادلات همرفت- انتشار، بقا و جریان جرم و ماده را در یک سیستم معین توصیف می کنند.قوانین حفاظت
سه قانون حفاظت برای حل مسائل دینامیک سیالات استفاده می شود و ممکن است به شکل انتگرال یا دیفرانسیل نوشته شود. قوانین حفاظت ممکن است در ناحیه ای از جریان به نام حجم کنترل اعمال شود. حجم کنترل حجم مجزایی در فضا است که فرض می شود سیال از طریق آن جریان دارد. فرمول‌های انتگرالی قوانین بقا برای توصیف تغییر جرم، تکانه یا انرژی در حجم کنترل استفاده می‌شوند. فرمول‌بندی‌های دیفرانسیل قوانین حفاظت، قضیه استوکس را برای به دست آوردن عبارتی به کار می‌برند که ممکن است به عنوان شکل انتگرال قانون اعمال شده برای حجم بینهایت کوچک (در یک نقطه) در جریان تفسیر شود.
تداوم جرم (حفظ جرم)
سرعت تغییر جرم سیال در داخل یک حجم کنترل باید برابر با نرخ خالص جریان سیال به داخل حجم باشد. از نظر فیزیکی، این عبارت مستلزم آن است که جرم در حجم کنترل نه ایجاد شود و نه از بین برود، و می توان آن را به شکل انتگرال معادله پیوستگی منتقل کرد:${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho \,dV=-\,{}} \oiint
{\scriptstyle S}
⋅
{}\,\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} $
در بالا ρ چگالی سیال، u بردار سرعت جریان و t زمان است. سمت چپ عبارت فوق، میزان افزایش جرم در حجم است و شامل یک انتگرال سه گانه نسبت به حجم کنترل است، در حالی که سمت راست شامل یک ادغام روی سطح حجم کنترل جرم است که به حجم کنترل منتقل شده است. سیستم. جریان جرمی به سیستم مثبت تلقی می شود و از آنجایی که بردار نرمال به سطح مخالف حس جریان به سیستم است، این عبارت نفی می شود. شکل دیفرانسیل معادله پیوستگی با قضیه واگرایی به صورت زیر است:
${\displaystyle \ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$حفظ حرکت
همچنین ببینید: معادله تکانه کوشی
قانون دوم حرکت نیوتن که برای یک حجم کنترلی اعمال می شود، بیانیه ای است که هر گونه تغییر در تکانه سیال در آن حجم کنترلی به دلیل جریان خالص تکانه به داخل حجم و عمل نیروهای خارجی وارد بر سیال در داخل حجم کنترلی است.${\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {u} \,dV=-\,{} \oiint
_{\scriptstyle S}
(
)
−
(\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )\mathbf {u} -{} \oiint
{\scriptstyle S}
{}\,p\,d\mathbf {S}
+
∭
body
+
surf
\displaystyle {}+\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {f} _{\text{body}}\,dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}$
در فرمول انتگرال فوق این معادله، عبارت سمت چپ، تغییر خالص تکانه در حجم است. اولین جمله سمت راست نرخ خالصی است که تکانه به حجم منتقل می شود. دومین عبارت در سمت راست نیروی ناشی از فشار روی سطوح حجم است. دو عبارت اول در سمت راست نفی می‌شوند زیرا تکانه ورودی به سیستم مثبت در نظر گرفته می‌شود و حالت نرمال مخالف جهت سرعت u و نیروهای فشار است. جمله سوم در سمت راست، شتاب خالص جرم در حجم به دلیل هر نیروی جسم است (در اینجا با $f_body$ نشان دادم). نیروهای سطحی، مانند نیروهای چسبناک، با $F_surf$، نیروی خالص ناشی از نیروهای برشی وارد بر سطح حجم، نشان داده می شوند. موازنه تکانه را می توان برای یک ولوم کنترل متحرک نیز نوشت.
شکل دیفرانسیل معادله بقای تکانه در زیر آمده است. در اینجا، حجم به یک نقطه بینهایت کوچک کاهش می یابد، و هر دو نیروی سطح و جسم در یک نیروی کل، F به حساب می آیند. برای مثال، F ممکن است به بیانی برای نیروهای اصطکاکی و گرانشی اعمال شده در یک نقطه در یک نقطه بسط داده شود. جریان.
${\displaystyle \ {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\mathbf {F} -{\frac {\nabla p}{\rho }}}$
در آیرودینامیک، هوا یک سیال نیوتنی فرض می شود که یک رابطه خطی بین تنش برشی (به دلیل نیروهای اصطکاک داخلی) و نرخ کرنش سیال ایجاد می کند. معادله فوق یک معادله برداری در یک جریان سه بعدی است، اما می توان آن را به صورت سه معادله اسکالر در سه جهت مختصات بیان کرد. بقای معادلات تکانه برای حالت تراکم پذیر و جریان چسبناک معادلات ناویر-استوکس نامیده می شود.
بقاء انرژی
همچنین ببینید: قانون اول ترمودینامیک (مکانیک سیالات)
اگرچه انرژی می تواند از شکلی به شکل دیگر تبدیل شود، انرژی کل در یک سیستم بسته ثابت می ماند.
${\displaystyle \ \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)+\Phi }$
در بالا، h آنتالپی خاص، k هدایت حرارتی سیال، T دما، و Φ تابع اتلاف ویسکوز است. تابع اتلاف ویسکوز نرخ تبدیل انرژی مکانیکی جریان به گرما را کنترل می کند. قانون دوم ترمودینامیک مستلزم آن است که عبارت اتلاف همیشه مثبت باشد: ویسکوزیته نمی تواند انرژی را در حجم کنترل ایجاد کند.عبارت سمت چپ یک مشتق است.
