چرا آب شدن یخ باعث تغییر سطح آب در ظرف نمی شود؟وآیا در صورت آب شدن یک کوه یخ سطح دریا افزایش می یابد؟
از آنجایی که یخ کمتر از آب چگالی دارد، روی آن شناور است، همه ما این را می دانیم. حال فرض کنید اگر یخ در یک ظرف شناور باشد، زمانی که یخ ذوب می شود، باید مقداری تغییر در سطح آب در ظرف ایجاد شود. سطح آب B یکسان خواهد بود.فرض کنید یک تکه یخ دارید که روی آب شناور است. چقدر حجم شناور است؟ یا به عبارت دیگر: چقدر آب جابجا شده است؟
وقتی آیس شناور است، وزن و نیروی شناور در تعادل هستند: $\rho_{i}gV_{i}=\rho_{w}gV_{d}$
به طوری که
$\frac{\rho_{i}}{\rho_{w}}V_{i}=V_{d}$
حالا حجم $V_i$ چقدر است؟ روشن است
$V_i=\frac{m_i}{\rho_i}$
در فرمول بالا قرار دهید، نشان می دهد:
$V_{d}=\frac{m_i}{\rho_w}$
این فرمول به شما می گوید که حجم جابجا شده توسط یک مکعب شناور مستقل از چگالی آن است. بنابراین، هنگامی که ذوب یخ انجام می شود، حجم جابجا شده ثابت می ماند و سطح آب بالا نمی رود
ما این اصل را اصل فلوتاسیون می نامیم
هر جسم شناور وزن سیال خود را جابجا می کند.
از آنجایی که جرم مکعب یخ ثابت می ماند - حتی اگر ذوب شود - مقدار جابجا شده نیز ثابت می ماند.
اگر یخ دریا آب شود سطح دریا بالا می رود؟
طبق این اصل می دانم که اگر یک صفحه یخی در اقیانوس آب شود، سطح دریا را تغییر نمی دهد زیرا یخ به اندازه آب ذوب شده آب را به حرکت در می آورد. خوب، ما می توانیم چیز دیگری را ببینیم، گوهر تضاد کودکان هوپا، که سطح دریا نباید بالا بیاید، زیرا اقیانوس حاوی نمک است، بنابراین آب اقیانوس از آب یخ چگال تر است. چرا اینطور است؟
درست است که وقتی یخ خالص در آب خالص ذوب می شود، سطح آب دوباره بالا نمی رود. با این حال، آنها اقیانوس شور هستند و این تفاوت بزرگی ایجاد می کند. هنگامی که آب خالص در اقیانوس شور ذوب می شود، سطح آب به طور ریاضی افزایش می یابد
جزئیات ریاضی:
بگذارید چگالی یخ و آب به ترتیب ρice و ρwater باشد
چگالی یخ کمتر از آب است، بنابراین یخ روی آب شناور است. بخشی از یخ به زیر آب می رود و بقیه در بالای سطح باقی می ماند.
قسمت شناور یخ مسئول نیروی شناور ایجاد شده توسط آب است.
بگذارید حجم کل یخ $V_{\text{tot}}$ و حجم یخ شناور زیر آب $V_{\text{sub}}$ باشد.
بر اساس اصل ارشمیدس، نیروی شناور ایجاد شده توسط آب به صورت زیر به دست می آید:
$F_{\text{buoy}} = V_{\text{sub}} \rho_{\text{water}} g$
وزن آس به صورت زیر محاسبه می شود:
$F_{\text{weight}} = m_{\text{ice}}g = \rho_{\text{ice}} V_{\text{tot}} g$
همانطور که مکعب یخ روی آب شناور است، نیروی شناور باید وزن یخ را متعادل کند.
$F_{\text{buoy}} = F_{\text{weight}}$
$V_{\text{sub}} \rho_{\text{water}} g = \rho_{\text{ice}} V_{\text{tot}} g$
$V_{\text{sub}} = V_{\text{tot}}\frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{\text{water}}} $
پس از ذوب شدن، یخ به آب مایع تبدیل می شود. چگالی تغییر می کند اما جرم تغییر نمی کند.
اجازه دهید $V_{\text{new}}$ حجمی باشد که مکعب یخ به شکل آب آن اشغال می‌کند.
$m_{\text{ice}} = V_{\text{tot}} \rho_{\text{ice}} = V_{\text{new}} \rho_{\text{water}}$
$V_{\text{new}} = V_{\text{tot}}\frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{\text{water}}} $
این نتیجه را می توان چنین تفسیر کرد: حجم اشغال شده توسط بخش غوطه ور برابر با کل حجم اشغال شده توسط یخ در شکل آب آن است.
به طور خلاصه، حجم زیر سطح دریا به دلیل ذوب شدن یخ تغییر نکرده است.
بنابراین، ذوب شدن یخ بر سطح دریا تاثیری ندارد.
چه می شد اگر یخ و آب هر دو دارای نمک های محلول بودند؟
این به هیچ وجه معادلات (1) را تغییر نمی دهد.
و (2). بنابراین، استنباط قبلی به قوت خود باقی است.
اگر یخ از آب خالص تشکیل شده باشد و دریا شور باشد چه؟
معادلات (1) و (2) به معادلات زیر تغییر می کند:
$V_{\text{sub}} = V_{\text{tot-pure-ice}}\frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{\text{water-salty}}}$
$V_{\text{new}} = V_{\text{tot-pure-ice}}\frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{\text{water-pure}}}$
از آنجایی که آب نمک چگالی تر از آب خالص است ρ-آب خالص است کوچکتر از ρآب شور است
با استفاده از عبارت قبلی و تجزیه و تحلیل معادلات می توان استنباط کرد که سطح دریا با ذوب شدن یک بلوک نمکی یخ در دریایی متشکل از آب خالص پایین می آید.
نتیجه گیری:
اگر یخی متشکل از آب خالص در اقیانوسی از آب خالص ذوب شود، سطح دریا تغییر نمی کند.
اگر یخی از آب خالص در اقیانوسی از آب شور ذوب شود، سطح دریا بالا می رود.
اگر یخی متشکل از آب شور در اقیانوسی از آب خالص ذوب شود، سطح دریا پایین می آید.
اگر یخ تشکیل شده از آب شور در اقیانوسی از آب شور ذوب شود، سطح دریا تغییر نمی کند.
ذوب شدن یخ و ارتباط آن با سطح دریا
از 4 مورد ذکر شده در نتیجه بخش جزئیات ریاضی، تنها موارد زیر سناریوهای احتمالی روی زمین هستند:
یخ خالص در اقیانوس شور ذوب می شود
یخ های شور در اقیانوس های شور ذوب می شوند
دو مورد باقی مانده کاملاً بعید است زیرا ما واقعاً آب خالص (معروف به آب شیرین) اقیانوس ها و دریاها نداریم.
یخ های یخبندان و قفسه های یخی (اینها در خشکی هستند) از برف تشکیل شده اند که آب خالص یخ زده است. به دلیل گرم شدن آب و هوا (تغییر آب و هوا!)، تکه های بزرگی از این ذخایر آب شیرین شکسته شده و در دریا شناور می شوند. به این کوه های یخ می گویند (اینها در دریا شناور هستند). بنابراین، زمانی که این نوع کوه های یخ ذوب می شوند، باعث بالا آمدن سطح دریا می شوند.
هنگامی که آب نمک شروع به یخ زدن می کند، یخ تشکیل شده حاوی نمک های محلول است. وقتی این یخ شور در اقیانوس شور ذوب می شود، سطح دریا تغییر نمی کند.
اگر این دو مورد را کنار هم قرار دهید، می‌توان نتیجه گرفت که سطح دریا می‌تواند به دلیل ذوب شدن یخ بالا بیاید یا ثابت بماند.
ما آنچه را که برای سطح آب پس از ذوب کامل یخ اتفاق می افتد برای چهار مورد مختلف تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که به دلیل تفاوت در ماهیت یخ و آب ایجاد می شود:
مورد 1: یخ ساخته شده از آب خالص که روی آب خالص شناور است
مورد دوم: یخ ساخته شده از آب خالص که روی آب نمک شناور است
مورد 3: یخ ساخته شده از آب نمک شناور روی آب خالص
مورد 4: یخ ساخته شده از آب نمک شناور روی آب نمک
در تجزیه و تحلیل هر چهار مورد، من یک مرحله میانی با برچسب (c) با استفاده از یک "محفظه خیالی" اضافه کرده ام. این ظرف برای نشان دادن علت اختلاف سطح آب در موارد 2 و 3 معرفی شده است. این در موارد 1 و 4 تفاوتی ندارد.
در مرحله (ب) ظرف خیالی بدون ایجاد اختلال در سیستم اضافه می شود. سپس اجازه داده می شود تا یخ در داخل ظرف ذوب شود. پس از ذوب شدن، سطح آب داخل ظرف خیالی ممکن است با سطح بیرونی یکسان باشد یا نباشد. سپس در مرحله (د) ظرف خیالی حذف می شود. یا برای سادگی، تصور کنید که ظرف خیالی به تنهایی به وسیله ای ناپدید می شود. آبی که ابتدا در داخل ظرف خیالی بود، اکنون با آب بیرون مخلوط می شود و سطح آب لیوان به تعادل می رسد. خط سبز افقی نشان دهنده سطح اولیه آب در بشر است. شکل 1 برای راحتی خواننده شرح داده شده است.
ابتدا، بیایید مورد 1 را در نظر بگیریم، جایی که یک تکه یخ ساخته شده از آب خالص روی آب خالص در یک بشر شناور است. طبق اصل ارشمیدس، نیروی شناور روی یخ برابر با وزن مایع جابجا شده توسط آن است. در اینجا، حجم مایع (آب) جابجا شده توسط یخ برابر است با حجم یخ غوطه ور (با برچسب قسمت 2). وزن یخ، اجزای 1 و 2 با هم، برابر است با وزن آب حجمی برابر با قسمت 2. هنگامی که یخ قسمت های حجمی 1 و 2 ذوب می شود، آب به دست آمده تنها حجمی برابر با قسمت 2 را اشغال می کند. به این دلیل است که یخ چگالی کمتری نسبت به آب دارد. نتیجه خالص این است که سطح آب در لیوان ثابت باقی می ماند.
همانطور که در ابتدای پاسخ ذکر شد، این توضیح بر اساس همین پاسخ است. حال بیایید این را به موارد دیگر تعمیم دهیم. مورد بعدی در لیست ما مورد 2 است، جایی که یک تکه یخ ساخته شده از آب خالص روی آب نمک شناور است. می دانیم که آب نمک چگالی تر از آب خالص است. بنابراین همان جرم یخ مقدار کمتری از آب نمک را جابجا می کند. یا به عبارت دیگر حجم غوطه ور کمتر از حالت قبلی است. وزن آب نمک حجم قسمت 2 برابر با وزن یخ طبق اصل ارشمیدس است. اما، همانطور که اجازه می دهیم یخ در داخل ظرف خیالی ذوب شود، آب به دست آمده حجم بیشتری از قسمت 2 را اشغال می کند. این به این دلیل است که آب خالص چگالی کمتری نسبت به آب نمک دارد. اینجاست که ظرف خیالی به ما کمک می کند تا تفاوت را ببینیم.
در (ج) می بینیم که سطح آب داخل ظرف خیالی بالاتر از سطح بیرونی است. بنابراین، وقتی ظرف خیالی را در مرحله (د) برداریم، سطح آب در بشر بالا می رود.
حالا بیایید به مورد 3 برویم، جایی که یک تکه یخ ساخته شده از آب نمک روی آب خالص شناور است. از آنجایی که یخ ساخته شده از آب نمک چگال تر از یخ ساخته شده از آب خالص است، آب بیشتری را در مقایسه با یخ خالص جابجا می کند. باز هم طبق اصل ارشمیدس، وزن یخ برابر با وزن آب خالص حجم 2 است. اما این بار با ذوب شدن یخ، آب نمک بدست آمده حجم کمتری نسبت به قسمت 2 اشغال می کند.
در (ج) می بینیم که سطح آب داخل ظرف خیالی کمتر از سطح بیرون است. هنگامی که در مرحله (د) ظرف خیالی را برداریم، سطح آب در بشر پایین می آید. مورد نهایی در تجزیه و تحلیل ما یک تکه یخ ساخته شده از آب نمک است که روی آب نمک شناور است. این مورد بسیار شبیه به مورد 1 است و سطح آن بدون تغییر باقی می ماند.
تا اینجا با تکه‌های یخ شناور روی آب در یک فنجان سروکار داشتیم. با افزایش مقیاس، نتایج به‌دست‌آمده در اینجا برای کوه‌های یخی شناور در اقیانوس‌ها اعمال می‌شود. همانطور که یاشاس توضیح داد، ما از تجربه خود می دانیم که آب دریا شور است و از این رو فقط موارد 2 و 4 امکان پذیر است. بنابراین، با ذوب شدن کوه های یخ، سطح دریا باید افزایش یابد یا ثابت بماند.
با این حال، عامل اصلی افزایش سطح دریاها به دلیل ذوب شدن یخ های شناور روی آب نیست، بلکه به دلیل ذوب شدن یخ در خشکی است که شناور نیست. این کار مانند ریختن آب در یک فنجان آب است.
با فرض عدم تلفات عملیاتی و کوچک شدن صفحه یخ به صورت مکعبی باید ثابت بماند...؟
من سعی می کنم از نظر ریاضی ثابت کنم که ارتفاع آب در یک ظرف در بسته زمانی که یک مکعب یخ در آن ذوب می شود ثابت می ماند.
در اینجا نمودار مشکل آمده است ($H=H_0$ را نشان دهید):
من از اطلاعات زیر در اثبات خود استفاده کرده ام (یک مکعب یخ آب)
کار من تا الان:
در زمان t0
$=(AH_0-yx^2 )⇒y=ρ_i/ρ_w ⋅x⇒(AH_0-x^3⋅ρ_i/ρ_w )$
جرم اولیه پرتگاه =$=x^3⋅ρ_i$
در زمان $t_f$
حجم آب $=AH-αy(αx)^2=AH-(αx)^3⋅ρ_i/ρ_w$
جرم آب$=(AH-(αx)^3⋅ρ_i/ρ_w )⋅ρ_w$
جرم ایس$=(αx)^3⋅ρ_i$
چنج جرم ایس=$=x^3⋅ρ_i-α^3 x^3⋅ρ_i=x^3 (1-α)^3⋅ρ_i$
انجام تعادل جرم: جرم آب در $t_f$ جرم آب در$ t_0 + $چنج در جرم ایس
$(AH-(αx)^3⋅ρ_i/ρ_w ) ρ_w=(AH_0-x^3⋅ρ_i/ρ_w ) ρ_w+x^3 (1-α)^3 ρ_i$
$AHρ_w-(αx)^3 ρ_i=AH_0 ρ_w-x^3 ρ_i+x^3 (1-α)^3 ρ_i$
من سعی کردم بعد از این شرایط را لغو کنم، اما هنوز برخی از آنها وجود دارد که نمی توانم از شر آنها خلاص شوم. کجا دارم اشتباه می کنم؟
خطای من اینجاست:
تغییر دهنده جرم Es$=x^3⋅ρ_i-α^3 x^3⋅ρ_i=x^3 (1-α)^3⋅ρ_i$
درست نیست: $x^3⋅ρ_i-α^3 x^3⋅ρ_i=x^3 (1-α^3)⋅ρ_i$
طبق قانون ارشمیدس، حجم آب جابجا شده توسط یخ شناور وزنی برابر با صفحه یخ دارد. این دقیقا همان حجمی است که یخ ذوب شده اشغال می کند، بنابراین تا زمانی که دما تغییر نکند، سطح تغییر نمی کند، تبخیر وجود ندارد.
توجه داشته باشید که شکل قالب و ظرف یخ (تا زمانی که یخ شناور آزاد باشد) کاملا بی ربط است.
برای شناور شدن آس، می دانیم که نیروی خالص رو به بالا روی آس برابر با وزن آس است. همچنین می دانیم که نیروی شناور برابر با وزن آب جابجا شده است. بنابراین وزن یخ برابر با وزن آب جابجا شده توسط یخ است. با دانستن این موضوع، آن را می بینیم
$\forall_{wd} \rho_{water} g = \forall_{ice} \rho_{ice} g$
$\forall_{wd} = \frac{\forall_{ice} \rho_{ice}}{\rho_{water}} = \frac{m_{ice}}{\rho_{آب}}$
از آنجایی که این یک سیستم بسته است، ما آن را می بینیم
$m_{آب} + m_{یخ} = m_{tot}$
$m_{آب} = m_{tot}-m_{یخ}$
و $m_{tot}$ ثابت است.
اجازه دهید توده یخ در حال ذوب را به عنوان تابعی از زمان نشان دهیم که در آن $m_{ice}(t_{0}) = m_{0}$ و $m_{ice}(t_{\infty}) = 0$
می بینیم که ارتفاع آب در زمان $h(t) = \frac{\forall_{water}(t)+\forall_{wd}(t)}{Area_{container}}$.
با جایگزینی حجم آب و یخ جابجا شده، می بینیم که
$h(t) = \frac{\frac{m_{water}(t)}{\rho_{water}}+\frac{m_{ice}(t)}{\rho_{water}}}{Area_{ ظرف}} = \frac{\frac{m_{tot}-m_{ice}(t)}{\rho_{water}}+\frac{m_{ice}(t)}{\rho_{آب}}} {Area_{container}} = \frac{{m_{tot}-m_{ice}(t)+m_{ice}(t)}}{\rho_{water}\times Area_{container}} = \frac{ m_{tot}}{\rho_{water} Area_{container}}$
می توان نتیجه گرفت که ارتفاع تابع زمان نیست و ثابت است...
جوابی دیگه فرض کنید یک مکعب یخ در یک لیوان آب داریم. یخ مقداری از آن آب را جابجا می کند و ارتفاع آب را به مقداری که ما h می نامیم افزایش می دهد
.اصل ارشمیدس بیان می کند که وزن آب جابجا شده برابر با نیروی شناوری رو به بالا است که توسط آن آب ایجاد می شود. در این مورد،
$\text{Weight of water displaced} = m_\text{water displaced}g = \rho Vg = \rho Ahg$
جایی که V حجم آب جابجا شده، ρ است چگالی آب است، A مساحت پایه مکعب یخ و g است شتاب ناشی از گرانش است.
بنابراین نیروی شناوری رو به بالا که روی یخ وارد می شود $ρAhg$ است.
اکنون وزن رو به پایین یخ $m_\text{ice}g$
حالا چون یخ نه فرو می رود و نه شناور است، اینها باید تعادل داشته باشند. به این معنا که:
$\rho Ahg = m_\text{ice}g$
از این رو،$h = \frac{m_\text{ice}}{\rho A}$اکنون وقتی یخ ذوب می شود، این اختلاف ارتفاع به دلیل شناوری به 0 می رسد. اما اکنون یک $m_\text{ice}$ جرم اضافی
آب به شکل آب به فنجان اضافه شده است. از آنجایی که جرم حفظ شده است، توده یخی که ذوب شده است به جرمی معادل آب تبدیل شده است.
حجم آب اضافه شده به فنجان به این صورت است:
$V = \frac{m_\text{ice}}{\rho}$
و بنابراین،$Ah = \frac{m_\text{ice}}{\rho}$
بنابراین،$h = \frac{m_\text{ice}}{\rho A}$
یعنی ارتفاعی که آب به دلیل ذوب شدن یخ افزایش یافته است دقیقاً با افزایش ارتفاع به دلیل شناوری قبل از ذوب شدن یخ برابر است.
آب شدن کوه های یخ باعث افزایش سطح آب دریاها می شود، زیرا آب موجود در آنها شور نیست.
اگرچه بیشتر سهم در افزایش سطح دریا از آب و یخ در حال حرکت از خشکی به اقیانوس است، اما معلوم شد که ذوب شدن یخ های شناور باعث افزایش کمی سطح آب دریاها نیز می شود.
آب شیرین که از آن کوه های یخ ساخته شده است، چگالی کمتری نسبت به آب شور دریا دارد. بنابراین در حالی که مقدار آب دریا جابجا شده توسط کوه یخ برابر با وزن آن است، آب شیرین ذوب شده حجم کمی بیشتر از آب نمک جابجا شده را اشغال می کند. این منجر به افزایش جزئی در سطح آب می شود.
