سیستم
فرض بر این است که یک مدل ساده از یک هواپیما با بدنه آن به عنوان جرم متمرکز M0 ایده آل است.
و بال‌ها به‌عنوان میله‌های صلب مدل‌سازی شده‌اند که وزن‌هایی را در انتهای جرم M حمل می‌کنند
. انعطاف پذیری بال ها با فنرهایی با سختی پیچشی $k_t$ مدل شده است.جسم برای انتقال در x آزاد است جهت در حالی که جرم کوچک حول جرم بزرگتر در θ می چرخد
جهت. می توان معادلات حرکت سیستم را با معادله لاگرانژ با x استخراج کرد
و θ به عنوان مختصات تعمیم یافته یکی از راه های استخراج انرژی جنبشی جرم کوچک $K_m$
) برای به دست آوردن سرعت آن است $\dot{x}_m$) به عنوان تابعی از سرعت جرم بزرگتر $(x˙) $و سرعت زاویه ای$ (θ˙).$
$\dot{x}_m = \dot{x} + l\dot{\theta}\\
K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}_m^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + 2l\dot{x}\dot{\theta} + l^2\dot{\theta}^2)$با این حال، اگر بخواهیم از تعریف انرژی جنبشی یک جسم صلب استفاده کنیم
چرخش حول یک نقطه متحرک C در قاب اینرسی F (نگاه کنید به یادداشت hi roham, (to stave off some possible objections: where did your second expression (kb) come from)، که عبارت است از:
$K_B = \frac{1}{2}m_B\dot{x}_C^2 + \frac{1}{2}I_B\dot{\theta}_B^2$در مورد این سوال، انرژی جنبشی جرم کوچک برابر است با:
$K_m = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I_m\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M\dot{x}^2 + \frac{1}{2}(Ml^2)\dot{\theta}^2 = \frac{1}{2}M(\dot{x}^2 + l^2\dot{\theta}^2)$به نظر می رسد انرژی جنبشی به دست آمده توسط 2 روش منجر به 2 عبارت مختلف می شود. پاسخ صحیح ارائه شده توسط مدرسه من، پاسخ قبلی است. اما چه چیزی در رویکرد دوم که منجر به تفاوت می شود گم شده است؟
نکته 1: این تعریف از «مقدمه ای بر دینامیک سازه و آئروالاستیسیته» از Hodges and Pierce اوردم. این تعریف را می توان معمولاً در سایر کتاب های درسی فیزیک مانند "مقدمه ای بر مکانیک کلاسیک" توسط D. Morin نیز یافت.
این ناسازگاری به این دلیل است که هنجار بردار سرعت اشتباه محاسبه شده است.
فرمول انرژی جنبشی $T=\frac{1}{2}m\cdot \overrightarrow{{v}}^2$ است
.حال برای مقادیر کوچک θ حرکت جرم M هم خط با جهت محور x است. در آن صورت $\overrightarrow{v}=[v_x, v_y, v_z] = [\dot{x}+l\dot{\theta}, 0, 0]$
یک تقریب خوب و اولین فرمول OP برای$K_m$ است
در آن تقریب صحیح است.برای شکل دوم $K_m$OP فرمول $x˙$ را اضافه می کنند و $l\dot{\theta}$ به صورت درجه دوم، که تنها در صورتی صحیح است که دو بردار مربوطه با یکدیگر متعامد باشند. برای مثال در $\theta\approx \pi/2$ تقریباً درست است
.
