طرح مسئله
بنابراین من انرژی جنبشی را به چرخ دستی و آونگ تقسیم کردم:
$T = T_C + T_P$
گاری کاملاً مستقیم است $T_C = 1/2 M \dot{x}^2$
، جایی که من x را نشان می دهم
مختصات افقی جرم نقطه گاری.مشکل من اکنون با انرژی جنبشی آونگ است. من فرض می کنم که باید انرژی انتقالی نقطه محوری را جمع کنم $T_{pivot}=1/2 m \dot{x}^2$
به انرژی دورانی آونگ $T_{rot} = 1/2 I \dot{\theta}^2$
، جایی که من ممان اینرسی آونگ نسبت به نقطه محوری است (توجه: زاویه θ
من بر خلاف تصویر بالا، با توجه به عمودی بالایی انتخاب کردم).
با این من گرفتم:$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(M+m) \dot{x}^2 + \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 - mgl\cos\theta$
و بنابراین معادلات حرکت:$I \ddot{\theta} - mgl \sin\theta = 0$
$I \ddot{\theta} - mgl \sin\theta = 0$
اگرچه این معادلات در مقایسه با معادلاتی که برای این مشکل در آنجا دیده‌ام بسیار ساده به نظر می‌رسند. اگر کسی به اشتباهات من اشاره کند واقعا ممنون می شوم.
من هم همین سوال را داشتم و بعد از خواندن چند تعاریف به جواب رسیدم: انرژی جنبشی جسم صلب که دارای حرکت مسطح است همیشه
$T=T_{Gtranslate}+T_{rotate/G}$یا$T=1/2Mv^2_G+1/2l_G\omega^2$
جایی که g مرکز جرم است. بنابراین در این آونگ باید $v_G=\sqrt{\dot{x_G}^2+\dot{y_G}^2}$ محاسبه کنید.
و $\omega=\dot{\theta}$ و سپس انرژی جنبشی خواهد بود
$T=\frac{1}{2}M(\dot{x_G}^2+\dot{y_G}^2)+\frac{1}{2}I_G\dot{\theta}^2 + T_{cart}$
بردار موقعیت به مرکز جرم است
$\vec R=\left[ \begin {array}{c} x+L\sin \left( \theta \right)
\\ L\cos \left( \theta \right) \end {array} \right]$
از اینجا سرعت CM
$\vec v=\frac{d}{dt}(\vec R)=\left[ \begin {array}{c} {\dot x}+L\cos \left( \theta \right) \dot\theta
\\ -L\sin \left( \theta \right) \dot \theta
\end {array} \right]$
بنابراین انرژی جنبشی$T=\frac m2\,\vec v\cdot \vec v+\frac{I_{\text{CM}}}{2}\,\dot\theta^2+
\frac M2\,\dot x^2$
انرژی پتانسیل عبارت است از:$U=-m\,g\,L\sin(\theta)$
