نمودار جسم آزاد میله در حال سقوط را انجام دهید. سه مورد وجود دارد که باید در نظر گرفته شود و با سقوط جسم از یکی به دیگری منتقل می شود.
5 پارامتر برای در نظر گرفتن وجود دارد. موقعیت نقطه A در امتداد xA افقی و مشتقات آن، موقعیت نقطه A دور از زمین yA
و مشتقات آن، زاویه میله θ از عمودی، نیروی واکنش افقی Ax
در A و واکنش عمودی Ay همچنین در A. برای هر سناریو، باید 3 مجهول از 3 معادله حرکت حل شود.
$\begin{array}{r|l} \mbox{variable} & \mbox{state} \\ \hline \theta & \mbox{unknown} \\
y_A & \mbox{fixed at 0} \\
x_A & \mbox{fixed at 0} \\
A_y & \mbox{unknown} \\
A_x & \mbox{unknown} \\
\end{array}$
پایان ثابت
اصطکاک روی A باعث می شود آن نقطه در فضا ثابت بماند و مرکز جرم به سمت راست حرکت کند. این زمانی به پایان می رسد که$A_x \gt \mu A_y$.
متغیر$\begin{array}{r|l} \mbox{variable} & \mbox{state} \\ \hline \theta & \mbox{unknown} \\
y_A & \mbox{fixed at 0} \\
x_A & \mbox{unknown}\\
A_y & \mbox{unknown} \\
A_x & \mbox{dependend, } A_x = \mu A_y \\
\end{array}$ ثابت شده در 0 ثابت در 0 ناشناخته ناشناخته
انتهای کشویی
اصطکاک در A برطرف می شود و انتهای آن در امتداد محور افقی می لغزد. اصطکاک لغزشی باعث می شود که مرکز جرم به سمت راست حرکت کند، اما مکان نقطه A دیگر مشخص نیست.
متغیر$\begin{array}{r|l} \mbox{variable} & \mbox{state} \\ \hline \theta & \mbox{unknown} \\
y_A & \mbox{unknown} \\
x_A & \mbox{unknown}\\
A_y & \mbox{fixed at 0} \\
A_x & \mbox{fixed at 0} \\
\end{array}$ ثابت شده در ، Ax=μAy
پایان پرواز
چرخش میله آنقدر زیاد است که انتهای میله را بلند کند. مرکز جرم در این نقطه فقط تحت تأثیر گرانش در یک حرکت پرتابه حرکت می کند.
متغیر$\begin{array}{r|l} \mbox{variable} & \mbox{state} \\ \hline \theta & \mbox{unknown} \\
y_A & \mbox{unknown} \\
x_A & \mbox{unknown}\\
A_y & \mbox{fixed at 0} \\
A_x & \mbox{fixed at 0} \\
\end{array}$نامعلومناشناختهناشناستثبیت شده در 0ثابت در 0
اگر صفحه بدون اصطکاک باشد، میله بلافاصله از حالت 1 به حالت 2 تغییر می کند و Ax=0
.اگر جسمی با برخورد به لبه‌ای موازی با خودش بیفتد، آیا نیروی طبیعی است که باعث این چرخش می‌شود، اگر چنین است، چگونه می‌توان این نیرو را محاسبه کرد زیرا جسم به طور کامل متوقف نمی‌شود، حتی به سختی باعث شتاب در معنای خطی می‌شود؟
شما در مورد چنین موقعیتی صحبت می کنید
نیرویی که باعث چرخش می شود نیروی تماس با لبه است که گشتاوری را در اطراف مرکز جرم اعمال می کند.
در یک بازه زمانی کوتاه Δt این نیرو سرعت و چرخش را با مقادیر زیر تغییر می دهد
$\begin{aligned}
\Delta v & = - \frac{F}{m} \Delta t \\
\Delta \omega & = \frac{F d}{I} \Delta t
\end{aligned}$
جایی که d فاصله عمود بر مرکز جرم، m است
جرم است و I گشتاور جرمی اینرسی بدن نسبت به مرکز جرم است.
سرعت نقطه تماس A قبل از ضربه برابر است
$v_A = v - \omega d$از آنجایی که سرعت نقطه تماس پس از اعمال نیرو باید صفر باشد (نمی تواند به لبه نفوذ کند) به این معنی است که تغییرات سرعت انتقالی Δv
و سرعت دورانی Δω باید با معادله زیر مرتبط باشد
$(v+\Delta v) - (\omega + \Delta \omega) d = 0$یا
$\Delta v - d\,\Delta \omega = -v_A$
حالا مقادیر را از بالا وصل کنید تا معادله بر حسب نیروی F بدست آید
$(v+\Delta v) - (\omega + \Delta \omega) d = 0$
و برای تکانه حل کنید
$J = F \Delta t = \left( \frac{1}{m} + \frac{d^2}{I} \right)^{-1} v_A$
همانطور که می بینید هر چه ضربه کوتاه تر باشد، نیرو باید بیشتر باشد تا با همان rhs های این معادله برابر شود.
$m_{\rm eff} = \left( \frac{1}{m} + \frac{d^2}{I} \right)^{-1}$را دوست دارم
به عنوان جرم موثری که مخاطب می بیند. هر چه تماس به مرکز جرم نزدیکتر باشد جرم موثر به جرم واقعی نزدیکتر است. از طرف دیگر، هر چه تماس دورتر باشد، جرم موثر کمتر است.
همچنین می توانید به سرعت نهایی (و چرخش) به عنوان تابعی از سرعت اولیه (و چرخش) نگاه کنید.
$\pmatrix{v^\star \\ \omega^\star} = \begin{bmatrix} \frac{m d^2}{I+m d^2} & \frac{I d}{I+m d^2} \\ \frac{m d}{I+m d^2} & \frac{I}{I+m d^2} \end{bmatrix} \pmatrix{v \\ \omega}$
