در ممان اینرسی چرا $r^2$ و نه r

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

در ممان اینرسی چرا $r^2$ و نه r

پست توسط rohamavation »

بنابراین کتاب مکانیک مهندسی من شامل یک بحث مختصر در مورد ممان اینرسی هست و اینرسی را می توان به عنوان خاصیت یا تمایل یک جسم توصیف کرد که در برابر هر تغییری در حالت حرکت خود مقاومت می کند. ممان اینرسی اندازه گیری مقاومت یک جسم در برابر تغییر در چرخش اونه. ممان اینرسی با توجه به یک محور چرخش انتخاب شده
متأسفانه، فصل بعدی عمدتاً ماهیت محاسباتی دارد. من درک کاملی از اینکه معادلات این موضوع از کجا آمده است ندارم. معادله مورد نظر به صورت زیر بیان می شود:
$I_x = \int_A y^2dA \space \mathrm{ and } \space I_y = \int_A x^2dA$
به دلیل معادله ساده برای گشتاور $\tau=Fd$به راحتی می توان تصور کرد که حرکت زاویه ای جسمی که حول یک محور می چرخه هر چه جرم آن از محور دورتر باشه، بیشتره به سادگی هر جسم پیوسته را به مجموعه ای از عناصر دیفرانسیل تقسیم کنین، یک انتگرال دارید که می تواند به طور مبهم با تکانه زاویه ای مطابقت داشته باشه با این حال، مشکل این است که من نمی توانم این را به دست بیاورم. در واقع، برای من منطقی تر است که با x به سادگی ادغام کنم یا y به جای $x^2$ یا $y^2$به دلیل یک ابهام از هر کسی که بتواند این را برای من توضیح دهد (یعنی روش اونو را توضیح بده) سپاسگزار خواهم بود!
خوب البته نظرم این هست
تکانه زاویه ای یک ذره با جرم m در حرکت حول یک محور، با سرعت زاویه ای ω، فاصله r از محور، $L = r (m v) = m r^2 \omega$ است هنگامی که جسم را در نظر می گیریم، جزئ ها را جمع می کنیم $m r^2$
از هر ذره در حال حرکت در داخل جسم و اینممان اینرسی است.به طور کلی
$\begin{align}
\mathbf{L} &= \sum_p m_p \mathbf{r}_p \times \mathbf{v}_p\\
& = \sum_p m_p \mathbf{r}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i)\\
& = \sum_p m_p \left( \boldsymbol{\omega} \, (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p) - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\
& = \sum_p m_p \left( (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p)\boldsymbol{\omega} - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\
L_j &= \sum_p m_p \sum_k \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right) \omega_k \\
&= \sum_k I_{jk} \omega_k \\
\end{align}$
عبارت $\sum_p m_p \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right)$
ممان تانسور اینرسی $I_{jk}$ است
توجه داشته باشید که $I_{xx} = \sum_p m_p (r^2 - x^2) = \sum_p m_p (y^2 + z^2)$
. در 2 بعدی شما فقط $z^2$ را نادیده می گیرید
بخش، بنابراین این می گوید که $I_{xx} = \sum_p m_p y^2$
. برای یک جسم پیوسته با چگالی یکنواخت$I_{xx} = \rho \int\!dA\, y^2$را بدست میارم
.حال فرض کنید این جسم حول محور z می چرخد (حتی اگر در مورد شما دو بعدی باشد و z=0 باشد.
، یک محور z قرار می دهیم تا چیزی را برای چرخاندن به آن بدهیم. در واقع ما در صفحه x-y می چرخیم.) سپس بردار سرعت زاویه ای $\boldsymbol{\omega} = \omega \,\hat{\mathbf{z}}$است.
. می نویسم $\begin{align}
L_z &= L_3\\
& = \sum_k I_{3k} \omega_k\\
& = I_{33} \omega\\
& = \rho \int\!dA\, (x^2 + y^2) \omega\\
\end{align}$
ممان اینرسی مربوط به مقاومت در برابر شتاب چرخشیه که شامل حرکته. با توجه به یک تأثیر چرخشی که در محور می‌پیچد، شعاع بر میزان این مقاومت به دو روش مجزا (اگرچه در هم تنیده) تأثیر می‌گذارد. اولاً، اگر شعاع دو برابربشه سپس مزیت مکانیکی بازوی اهرمی (شعاع) به میزان دو برابر کاهش میاد برای تولید همان نیرو در انتهای بازوی اهرمی به دو برابر گشتاور در محور نیاز داره. ثانیا، دوبرابر کردن شعاع، طول حرکت قوس را در هنگام حرکت دو برابر ممیکنه. برای هر بیت چرخشی دلخواه در محور، دوبرابر کردن شعاع، فاصله در امتداد قوس رد شده توسط انتهای بازوی اهرمی (شعاع) را دوبرابر می‌کنه و لازم است نوک بازوی اهرمی با سرعت دو برابر حرکت کنه.
بنابراین یک شعاع افزایش‌یافته در مقاومت در برابر شتاب چرخشی به دو صورت مشارکت می‌کند، که ظاهر $r^2 $را به حساب میاره.
به جای اینکه به سادگی r.به عبارت دیگر، وقتی شعاع را دو برابر می کنین، برای هر پیچی که در محور اعمال میشه سعی می کنید جرم را با سرعتی دو برابر با تنها نیمی از اهرم شتاب دهید.
در اینجا یک چیز دیگر است که ممکن است در نظر بگیرید
در یک بعد، مرکز جرم را با میانگین بالای جرم ها می یابیم
$\bar x=\frac {\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
ما شعاع ژیروسکوپی (یک بعدی ثابت) را با ریشه میانگین مربع روی جرم ها می یابیم
$x_{gyro}=\sqrt{\frac {\sum m_i x_i^2}{\sum m_i}}$
ریشه میانگین مربع به ما میگه که یک چیز چقدر گسترده است. و هر چه جرم بیشتر پخش شود، «بالا بردن دور»، چرخیدن سخت‌تر می‌شود و هنگامی که می‌چرخد، توقف آن سخت‌تر می‌شود. شعاع ژیروسکوپ فاصله‌ای از مرکز را به ما می‌دهد که همه جرم‌هایی که می‌توان به آن جابه‌جا شد و اینرسی چرخشی یکسانی داشت.
بنابراین ما به مربع در انتگرال نیاز داریم، زیرا این به ما نشان می دهد که جرم چقدر گسترده است نه اولین توانی که مرکز جرم را به ما می دهد.
در اینجا انگیزه ای برای مکان تانسور اینرسی$I=(I_{ij})$ وجود دارد.
(و با بسط گشتاورهای اینرسی) ناشی از. این کمیتی مشابه جرم برای حرکت دورانی است به این معنا که انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش اساساً متناسب با تانسور اینرسی ضربدر مربع سرعت زاویه ای جسمه. دقیق تر$\begin{align}
T(t) = \frac{1}{2} \boldsymbol \omega(t)^tI(t)\boldsymbol \omega(t). \tag{roham1}
\end{align}$
جایی که ω(t) سرعت زاویه ای آنی جسمه است. برای مثال، این را با بیان انرژی جنبشی یک ذره با جرم m مقایسه کنید
حرکت با سرعت v$\begin{align} T = \frac{1}{2}mv^2.
\end{align}$
برای اثبات عبارت رهام 1 با یک جسم صلب متشکل از نقاط $\mathbf x_i$ شروع کنید در حال چرخش خالص یک چرخش وابسته به زمان R(t) وجود داره که حرکت تمام نقاط جسم صلب را ایجاد می کنه
$\begin{align}
\mathbf x_i(t) = R(t)\mathbf x_i(0) \tag{roham hesami rad2}
\end{align}$
انرژی جنبشی جسم مجموع انرژی جنبشی تک تک ذراته.
$\begin{align}
T(t)
&= \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{\mathbf x}_i(t)\cdot\dot{\mathbf x}_i(t) \\
&= \frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big)\cdot\big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big) \\
&=\frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big)\cdot\big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big) \\
\end{align}$جایی که در آخرین برابری از این واقعیت استفاده کردم که $R^tR = I$
برای چرخش به طوری که معادله (رهام حسامی راد2) $\mathbf x_i(0) = R(t)^t \mathbf x_i(t)$ را می دهد
. اکنون، ما به آن توجه می کنیم
$\begin{align}
\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t) = \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf x_i(t)
\end{align}$
کجا ω بردار سرعت زاویه ای جسمه است. برای استخراج دقیق سرعت زاویه ای که از طریق زوایای اویلر بیان میشه پس با کنار هم قرار دادن این، ما داریم$\begin{align}
T(t)
&= \frac{1}{2}\sum_im_i\big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big)\cdot \big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big) \\
&= \frac{1}{2}\sum_im_i \sum_{j,k}\omega_j\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\omega_k \\
&= \frac{1}{2} \sum_{j,k}\omega_j\left[\sum_im_i\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\right]\omega_k \\
\end{align}$حال، اگر به سادگی توجه کنیم که تانسور اینرسی به عنوان کمیتی تعریف میشه که اجزای آن $I_{jk}$
در پرانتزهای بزرگ قرار دارن، سپس فرمول مورد نظر را داریم.به ویژه توجه داشته باشید که وقتی j=k، یعنی وقتی فقط مولفه های مورب تانسور اینرسی را در نظر بگیریم، j را به دست می آوریم.ممان اینرسی$\begin{align}
I_{jj} = \sum_i m_i\big(\mathbf x_i^2 - (x_i)_j^2\big)
\end{align}$بنابراین، برای مثال، xممان$\begin{align}
I_{xx} = \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2)
\end{align}$و اگر شی در x -yسطح، سپس z=0 و می گیریم$\begin{align}
I_{xx} = \sum_i m_i y_i^2\end{align}$
و اگر جسم پیوسته باشد، مجموع با انتگرال های مناسب جایگزین می شوند.
$\begin{align}
m_i\to dm, \qquad I_{xx}\to \int y^2 dm
\end{align}$
دینامیک ممان اینرسی
می‌خواهم بتوانم شتاب زاویه‌ای سیستمی با دو جرم دوار را تعیین کنم که به هم متصل شده‌اند تا مزیت مکانیکی متغیری بین این دو داشته باشند. سابقه من با مکانیک تا یک دوره در استاتیک پیش رفت، بنابراین مطمئن نیستم که چگونه با این کار ادامه دهم.
اگر من یک جرم منفرد به شکلی داشته باشم و گشتاوری به آن اعمال کنم، می دانم که شتاب زاویه ای به ممان اینرسی آن جسم بستگی دارد. اما فرض کنید من یک سیستم متشکل از دو جسم، مثلاً دنده، دارم و به یکی از آنها گشتاور اعمال می کنم و می خواهم شتاب زاویه ای را بدانم. من فرض می‌کنم ممان مؤثر اینرسی، در نقطه‌ای که گشتاور را اعمال می‌کنم، ممان جرم مستقیم رانده، به اضافه ممان جرم ثانویه ضرب در مزیت مکانیکی بین چرخ دنده‌ها است، و با استفاده از این لحظه موثر اینرسی با گشتاور ورودی به من می گوید جرم ورودی با چه سرعتی شتاب می گیرد. (شتاب جرم دوم دلالت دارد، زیرا فقط 1 dof در اینجا وجود دارد) مطمئن نیستم که آیا این رویکرد کلی حتی درست است یا خیر، و سپس مشکل واقعی وجود دارد.
معرفی مزیت مکانیکی متغیر چیزی است که من را در اینجا به دردسر می اندازه. اگر سهم گشتاور مؤثر اینرسی از جرم دوم را فقط به عنوان گشتاور «ذاتی» آن ضربدر مزیت مکانیکی در هر لحظه در نظر بگیرم، آیا چیزی را از دست می‌دهم؟ غرایز حساب دیفرانسیل و انتگرال به من می گویند که باید یک عبارت کمک کننده از نرخ تغییر مزیت مکانیکی نیز وجود داشته باشد.
در واقع اصطلاحی وجود دارد که مشتق زمانی تغییر جفت بین جرم هاست است.
ابتدا اجازه دهید معادله یک جرم منفرد را استخراج کنیم.$L = \frac{1}{2} I\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\, \dot{\theta}$
$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$
$\tau = \frac{d}{dt} \left( I\, \dot{\theta} \right) = I\, \ddot{\theta}$
این به شما نشان می دهد که شتاب زاویه ای متناسب با گشتاور است.
حالا فرض کنید دو جرم داریم. جرم رانده دارای گشتاور اینرسی $I_1$است و سرعت زاویه ای $\dot{\theta}$. جرم ثانویه دارای گشتاور اینرسی $I_2$ است و سرعت زاویه ای $\dot{\theta_2} = a(t)\, \dot{\theta}$˙
، که در آن در کوپلینگ در حال تغییره (مثلاً تغییر موقعیت تسمه در یک انتقال پیوسته متغیر).
$L = \frac{1}{2} I_1\, \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} I_2\, a(t)^2\, \dot{\theta}^2 - V(\theta)$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta}$
$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{dV}{d\theta} = \tau$
$\tau = \frac{d}{dt} \left( \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \dot{\theta} \right)$
$\tau = \left( I_1 + a(t)^2 I_2 \right) \ddot{\theta} + 2 I_2\, a(t) \frac{da}{dt} \dot{\theta}$˙
آخرین جمله، متناسب با $a \dot{a} \dot{\theta}$
، اصطلاح خنده‌داری است که شما به دنبال آن هستید. می گوید که وقتی کوپلینگ در حال تغییر است، فقط برای حفظ سرعت زاویه ای $\dot{\theta}$ باید مقداری گشتاور اعمال کنید. ثابت. راه دیگری برای فکر کردن به آن این است که در غیاب گشتاور خارجی، $\dot{\theta}$ دیگر ثابت نیست (همانطور که برای جرم منفرد بود)، اما در عوض $(I_1 + a(t)^2 I_2) \dot{\theta}$
ثابت است، زیرا این حرکت زاویه ای واقعی است.
تصویر

ارسال پست