چرا معادله برنولی را می توان در امتداد دو خط جریان مختلف برای یک جریان غیر چرخشی اعمال کرد؟$p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g y = \mathrm{constant}$
به بیان دقیق، نقاطی که معادله برنولی را روی آنها اعمال میکنیم باید در امتداد یک خط جریان باشند. با این حال، اگر جریان غیر چرخشی باشد، مقدار ثابت برای تمام خطوط جریان در لوله جریان یکسان است، بنابراین معادله برنولی را می توان برای هر دو نقطه در جریان اعمال کرد.در اینجا p فشار سیال در یک نقطه، ρ چگالی (ثابت فرض شده)، v سرعت عنصر سیال، و y فاصله عمودی عنصر از یک نقطه مرجع ثابت است. از نقطه به نقطه، p، v و y تغییر خواهند کرد.
چگونه می توان ثابت کرد که ثابت در معادله برنولی در امتداد دو خط جریان برای جریان بی چرخشی تغییر نمی کند؟
سیال را می توان غیر چسبناک، تراکم ناپذیر و جریان ثابت فرض کرد.
از معادله پیوستگی می توانیم بنویسیم که$A_1 v_1 = A_2 v_2$ چگالی سیال ثابت است. اکنون کار انجام شده توسط فشار سیال را محاسبه می کنیم. کار انجام شده بر روی سیال ورودی در $A_1$ مقدار$p_1 A_1 v_1 \Delta t$است و کار انجام شده در $A_2$ مقدار$p_1 A_1 v_1 \Delta t$ است. بنابراین، کار خالص روی سیال بین $A_1$ و $A_2$ است
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t \tag1$
که باید برابر با افزایش انرژی جرم ΔM سیال در رفتن از $A_1$ به $A_2$ باشد. به عبارت دیگر،
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t = \Delta M (E_2 - E_1) \tag2$
که در آن $E_1$ انرژی در واحد جرم سیال در $A_1$ است و $E_2$ انرژی در واحد جرم در $A_2$ است. انرژی در واحد جرم سیال را می توان به صورت زیر نوشت
$E = \frac{1}{2}v^2 + \phi + U,$
که در آن $\frac{1}{2}v^2$ انرژی جنبشی در واحد جرم است، φ انرژی پتانسیل در واحد جرم است، و U یک عبارت اضافی است که نشان دهنده انرژی داخلی در واحد جرم سیال است. انرژی داخلی ممکن است به عنوان مثال با انرژی حرارتی در یک سیال تراکم پذیر یا انرژی شیمیایی مطابقت داشته باشد. همه این مقادیر می توانند از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت باشند.
حالا من فکر می کنم که این انرژی درونی می تواند انرژی چرخشی خالص تک تک مولکول ها را نیز شامل شود. بنابراین، اگر سیال غیر چرخشی باشد، سهم حرکت چرخشی تک تک ذرات صفر خواهد شد. اگر جریان چرخشی باشد، نمیتوانیم تضمین کنیم که انرژی دورانی مولکولها در واحد جرم در همه جا یکسان است.
با استفاده از این فرم برای انرژی های موجود در (2) داریم
$\frac{p_1 v_1 A_1 \Delta t}{\Delta M} - \frac{p_2 v_2 A_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_2 + U_2 - \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1$
اما $\Delta M = \rho A v \Delta t$، پس می گیریم
$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_1 + U_2,$
که نتیجه برنولی با یک عبارت اضافی برای انرژی داخلی است. اگر سیال تراکم ناپذیر و غیرقابل چرخش باشد، اصطلاح انرژی داخلی در هر دو طرف یکسان است و دوباره دریافت می کنیم که$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y$
در امتداد هر خط جریانی نگه می دارد.
برخی مقدمات
به سوالی که میپرسید، حتماً باید در بیش از یک بعد پاسخ داده شود. این به این دلیل است که یک جریان یک بعدی همیشه غیر چرخشی خواهد بود و با یک خط جریان واحد مشخص می شود. بنابراین من می خواهم مشکل را در 2 بعد فضایی x,y توصیف کنم. سپس بردارهایی مانند سرعت $\vec{v} = (v_x, v_y)$خواهیم داشت.
جریان چرخشی
من همچنین باید از مشتق جزئی استفاده کنم، مشتقی فقط با توجه به یک متغیر در حالی که بقیه ثابت نگه داشته می شوند. سپس شرایط یک جریان غیر چرخشی به صورت داده شده است$\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial x}$
وقتی وارد حساب برداری می شوید، می بینید که وقتی این شرط نقض می شود، میدان سرعت یک گرداب کوچک ایجاد می کند. بنابراین شرط چرخشی می خواهد که چنین گرداب هایی در جریان وجود نداشته باشد.
مشتق لاگرانژی
حال بیایید نگاهی به مفهوم مشتق لاگرانژی D/dt بیندازیم. این مشتق میپرسد چه اتفاقی برای یک کمیت در زمان میافتد، اگر آن را دنبال کنم که توسط خطوط جریانی کشیده میشود. به عنوان مثال، ممکن است شما یک جریان ثابت داشته باشید که در هر نقطه ثابت در فضا، متغیرها هیچ تغییری را مشاهده نکنند، اما اگر از خط جریان پیروی کنید، عنصر سرعت میگیرد، کاهش مییابد، تحت فشار قرار میگیرد، فشار کم میشود... این دقیقاً موردی است که مشتق جزئی هر متغیر با توجه به زمان t صفر خواهد بود، اما مشتق لاگرانژی غیر صفر خواهد بود.
من فقط در مورد جریان های ساکن حرف میزنم و در آن صورت مشتق لاگرانژی هر کمیت q به سادگی به این صورت تعریف می شود.
$\frac{D q}{dt} = \frac{\partial q}{\partial x} v_x + \frac{\partial q}{\partial y} v_y$
اگر میخواهید حساب بردار را یاد بگیرید، عبارت بالا فقط معادل پیشبینی گرادیان q در جهت $Dq/dt = \vec{\nabla}q \cdot \vec{v}$ است.
حفاظت از انتگرال برنولی در امتداد خطوط جریان
بنابراین انتگرال برنولی برای یک سیال تراکم ناپذیر تراکم ناپذیر در یک میدان گرانشی همگن که در جهت y شتاب می گیرد به صورت زیر تعریف می شود.
$B = \frac{1}{2} \rho (v_x^2 + v_y^2) + p + \rho g y$
حال یک جریان ثابت را فرض می کنیم و معادلات اویلر را برای آن می نویسیم
$\frac{D v_x}{dt} = - \frac{p_{,x}}{\rho}$
$\frac{D v_y}{dt} = - \frac{p_{,y}}{\rho} - g$
شما باید این معادلات را بدانید که به شما می گویند یک عنصر سیال در هنگام حرکت در شیب فشار خاص و شتاب های گرانشی چه شتابی را تجربه می کند.
حال اجازه دهید هر دو معادله اویلر را در نظر بگیریم و 1) همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم، 2) معادله x را در $\rho v_x$ و معادله y را در $\rho v_y$ ضرب کنیم، و 3) آنها را با هم جمع کنیم. چیزی که به دست می آورید همین است
$\rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + (\frac{\partial p}{\partial x} v_x + \frac{\partial p}{\partial y} v_y) + \rho g v_y = 0$
میتوانیم این را کمی بیشتر بازنویسی کنیم، با توجه به اینکه عبارات مربوط به p فقط برابر با $Dp/dt$ هستند، و همچنین با محاسبه مستقیم که میتوانیم $v_y = D y/dt$ بنویسیم. سپس دریافت می کنیم
$\rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + \frac{Dp}{dt} + \rho g \frac{D y}{dt} = 0$
حال بپرسیم اگر مشتق لاگرانژی B را بگیریم چه اتفاقی میافتد؟
$\frac{DB}{dt} = \rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + \frac{Dp}{dt} + \rho g \frac{D y}{dt}$
اما ما می بینیم که این چیزی است که ما به تازگی ثابت کرده ایم که صفر است
معادلات اویلر! یعنی ما دریافت می کنیم که تا زمانی که معادلات اویلر برآورده می شود و تا زمانی که سیال ساکن است، داریم
$\frac{D B}{dt} = 0$
اما توجه کنید که این اثبات فقط مشتق B را در امتداد خط جریان به ما می گوید!! به عنوان مثال، می توان یک ثابت B کمی متفاوت در امتداد هر خط جریانی متفاوت داشت و هیچ منافاتی با حفظ خط جریان B ندارد.
انتگرال برنولی در جریان های بی چرخشی
بیایید فرض کنیم یک جریان غیر چرخشی ثابت داریم. اکنون، اگر مشتق آن در امتداد هر جهت فضایی ناپدید شود، تابع برنولی ثابت خواهد بود
$\frac{\partial B}{\partial z} = 0\,, \,z=x,y$
بیایید ابتدا یک مشتق با توجه به x بسازیم
$\frac{\partial B}{\partial x} = \rho (v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial x}) + \frac{\partial p}{\partial x}$
حال از شرط بی چرخشی $\partial v_y/\partial x = \partial v_x/\partial y$ استفاده می کنیم و به دست می آوریم
$\frac{\partial B}{\partial x} = \rho (v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}) + \frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{D v_x}{dt} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$
که در آن برابری دوم به دلیل معادله x اویلر برقرار است. به روشی کاملاً مشابه از شرط irrotational در حالت y استفاده می کنیم و می گیریم
$\frac{\partial B}{\partial y} = \rho \frac{D v_y}{dt} + \frac{\partial p}{\partial y} + \rho g =0$
که اکنون معادله دوم به دلیل معادله y اویلر برقرار است.
به طور خلاصه، جریان های غیر چرخشی ثابت دارای مقدار ثابتی از انتگرال برنولی در اطراف جریان هستند. درک این موضوع از طریق شهود فیزیکی دشوار است، اما ممکن است راحت تر به آن فکر کنید برعکس. برای اینکه یک جریان ثابت غیر چرخشی باشد، لزوما باید مقدار انتگرال برنولی را در سرتاسر جریان یکنواخت کند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا