ترمودینامیک: مجموعه فنر پیستونی

[rohamavation]

ما یک مجموعه پیستون (پر از گاز) داریم که به یک فنر متصل است. بالای پیستون به جو باز است. گاز به طور برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
این یک مسئله مثال در جزوه ترمودینامیک ون وايلن - سنجل من است
فرآیند برگشت پذیر است و سپس کار انجام می شود
$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV$
جابجایی فنر را می توان بر حسب تغییر حجم نوشت
$x = \frac{V-V_1}{A} = \frac{\Delta V}{A}$
تعادل نیرو بر روی پیستون تسلیم می شود
$P_{air}A = P_{ext}A + kx$
$P_{air} = P_{ext} + \frac{kx}{A^2}$
وصل کردن این معادله به معادله اول:
$W = -\int^{V_2}_{V_1}PdV = -\int^{V_2}_{V_1}P_{ext}dV -\int^{\Delta V = V_2-V_1} _{0}\frac{k \Delta V}{A^2}d({\Delta V} )$
$W = -P_{ext}(\Delta V) - \frac{k \Delta V^2}{2A^2}$
استفاده از قانون گاز ایده آل
$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} = \frac{V_2}{T_2}(P_{ext} + \frac{kx}{A^2})$
و با حل این معادله $V_2$ بدست می آید و کار پیدا می شود.
تغییر انرژی درونی توسط
$\Delta u = \int^{T_2}_{T_1}C_pdT = R\int^{T_2}_{T_1}[(A-1) + BT + DT^{-2}]dT$
$\Delta u = R[(A-1)T+\frac{B}{2}T^2 - \frac {D}{T}] | [T_2 T_1]$
با پارامترهای مربوط به ظرفیت گرمایی هوا از جداول کتاب، تغییر انرژی داخلی را می توان یافت.
سپس انتقال حرارت کل $Q=Δu−W$ است
سوال من.چگونه رفتار گذرا سیستم را مدل کنم؟ تغییر مکان فنر در طول زمان و همچنین تغییر فشار در طول زمان؟
یک خطای یکپارچه سازی در فرمول ششم رفع شد.
جابجایی پیستون.helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

[rohamavation]

فرض کنید در t=0 حجم V0 در فشار p0 و موقعیت پیستون y=0 باشد. فشار خارجی pa، سطح مقطع پیستون A و وزن پیستون m است. ما همه اصطکاک ها را نادیده می گیریم. اکنون به یک معادله حرکت نیوتنی نیاز داریم.
نیروی خالص در جهت y، در هر زمان:$F_y=pA-p_aA-ky$
قانون دوم نیوتن:$F_y=ma_y$
قانون گاز ایده آل همدما:$pV=p_0V_0$
در طول گسترش:
$p=p_0\frac{V_0}{V}$
$V=V_0+yA$
$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA}$
معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$ممکن است
قاعده زنجیره ای:$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy}$
بنابراین ما داریم:
$mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
ادغام بین مرزهای مربوطه:
$\int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$
$\frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$
$K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$
این انرژی جنبشی K(y) پس از جابجایی y است و سرعت پیستون را می توان از آن محاسبه کرد:
$v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$
با$v_y=\frac{dy}{dt}$ می توان یک عبارت برای y(t) را امتحان کرد اما عبارت:
$t=\int_0^t\frac{dy}{v_y}$
از نظر تحلیلی قابل ادغام نیست. بنابراین هیچ عبارتی برای p(t) نمی توان یافت، حداقل نه به صورت تحلیلی.helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا

[rohamavation]

سوال را کمی تغییر میدم . من تصادفاً بخشی از سؤال را حذف کردم. من از این بابت عذرخواهی می کنم. سوال جزوه ام بیان می کند که گاز به صورت برگشت پذیر تا 100 درجه سانتیگراد گرم می شود.
فشار اولیه را p0 در V0 و T0 فرض کنید، بنابراین توسط IGL:Ideal gas lawیک معادله حالت است که بیانگر رفتار یک گاز فرضی به نام گاز ایده‌آل است. این قانون به‌طور تقریبی رفتار بسیاری از گازها را پیش‌بینی می‌کند.
$p_0V_0=nRT_0$
پس از حرارت دادن به T گاز منبسط شده و اکنون در فشار p است:
$p(V_0+yA)=nRT$
بنابراین:$\frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$
و:$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1}$
اکنون می‌توانیم این عبارت را در معادله حرکت وارد کنیم، اما متأسفانه عبارتی برای T(y) نداریم. دلیلش این است که نوع انبساط مشخص نشده است: به عنوان مثال آدیاباتیک یا پلی تروپیک. بدیهی است که برای حالت همدما به محلول بالا کاهش می یابد.
بنابراین تعریف مسئله برای قسمت اول سوال کافی است اما برای قسمت دوم کافی نیست.
من بر اساس پاسخ گرت، یک جهت ممکن برای دنبال کردن دارم. گرت چنین گفت:
معادله حرکت:$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$ممکن است
آیا می توانیم معادله گرت را به شکل زیر تغییر دهیم و برای y(t) راه حلی پیدا کنیم؟
$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$یا:
$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$
اگر بتوانیم y(t) را از آن معادله دیفرانسیل پیدا کنیم، می توانیم p(t) را از این معادله پیدا کنیم:
$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A}$
اگر پیستون نوسان کند، این فرآیند قابل برگشت نیست. انرژی جنبشی مطمئناً در طول زمان توسط تنش های چسبناک (یک اثر برگشت ناپذیر) از بین می رود تا زمانی که سیستم به یک حالت پایدار جدید برسد. و چه اتفاقی برای تغییرات انرژی داخلی U گاز در هنگام انبساط یا فشرده شدن آن افتاد. که قطعا از این تحلیل ها حذف شده است. هیچ چیزی در بیان مسئله وجود ندارد که بگوید انبساط برگشت پذیر به صورت همدما انجام می شود و اگر جرم پیستون ناچیز باشد چه؟ از آنجایی که هیچ کس به نظرات من در مورد پست اصلی پاسخ نداد، در حال حاضر گفتن بیشتر مشکل است.
تعادل نیرو روی پیستون به صورت زیر است:
$PA=P_{atm}A+kx$
که در آن x در زمان صفر صفر در نظر گرفته می شود. تغییر حجم گاز به صورت زیر بدست می آید:
$V-V_0=Ax$
بنابراین با ترکیب این معادلات به دست می آید:
$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)$
سرعت انجام کار بر روی محیط اطراف به این ترتیب است
$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$
نرخ تغییر انرژی داخلی گاز به صورت زیر بدست می آید:
$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt}$
بنابراین، از قانون اول ترمودینامیک،
$nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$
اگر این را با توجه به زمان ادغام کنیم، دریافت می کنیم:
$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1}$
جایی که$T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
و$T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$
بنابراین،$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$
اگر این نتیجه را با اختلاف دما به معادله جایگزین کنم. 1 برای به دست آوردن معادله ای برای حجم صرفاً بر حسب گرمای تجمعی اضافه شده، به دست می آید:
$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q$
که در آن Q مقدار تجمعی گرمای اضافه شده در زمان t است.helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا