تفاوت بین انرژی گریز از مرکز پتانسیل و انرژی چرخشی / جنبشی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2140

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

تفاوت بین انرژی گریز از مرکز پتانسیل و انرژی چرخشی / جنبشی

پست توسط rohamjpl »

من برای درک تفاوت بین انرژی جنبشی و انرژی گریز از مرکز پتانسیل در برخی شرایط مشکل دارم. من یک مثال می زنم که در آن گیج شده ام.
یک جسم روی میله ای متصل به فنر حرکت می کند (طول استراحت l)، میله به یک زاویه$\alpha$متمایل است و با سرعت زاویه ای ثابت ω می چرخد. در ابتدا فنر با طول δ فشرده می شود. حداکثر طول فنر را بیابید.
تصویر
در اینجا چیزی است که من امتحان کرده ام. من از قاب میله دوار استفاده کردم، جایی که انرژی گریز از مرکز پتانسیل باید در نظر گرفته شود.
$mg[(l-\delta) Cos(\alpha)]+ \frac{1}{2} k (\delta)^2 -\frac{1}{2} m\omega^2 [(l-\delta) Sin(\alpha)]^2 = mg[(l+x) Cos(\alpha)] + \frac{1}{2} k x^2 - \frac{1}{2} m\omega^2 [(l+x)Sin(\alpha)]^2$
اما این منجر به نتیجه صحیح نمی شود. علاوه بر اشتباهات احتمالی من، نکته مبهم در اینجا این است که، اگر به جای آن از یک قاب اینرسی ثابت استفاده کنم، انرژی گریز از مرکز پتانسیل (که منفی است) نیست، بلکه انرژی جنبشی یا انرژی چرخشی دارم که دقیقاً یکسان است اما نتیجه مثبت است. البته متفاوت خواهد بود چطور ممکنه؟ آیا این دو راه برای حل مسئله معادل هستند؟
و به طور کلی تفاوت بین انرژی گریز از مرکز پتانسیل و انرژی چرخشی/ جنبشی چیست؟
هنگامی که مشکل در قاب چرخان حل شد، می توانید از بقای انرژی استفاده کنید، زیرا کار انجام شده روی جرم فقط به دلیل فنر، گرانش و نیروی ظاهری گریز از مرکز است. این آثار در پتانسیل های مربوطه ثبت می شوند.
در یک قاب اینرسی، انرژی سیستم دیگر حفظ نمی شود، زیرا برای حفظ میله در چرخش با فرکانس زاویه ای ثابت، باید روی سیستم کار کرد.
اگر این را در نظر بگیرید در هر دو فریم نتیجه یکسانی خواهید گرفت که به صراحت نشان خواهم داد.
در قاب دوار، انرژی اولیه را با انرژی در حداکثر موقعیت کشیدگی که به دست می آورید، برابر کنید
$U_{grav}[(\ell-\delta)\cos\alpha]+U_{spring}(\delta)
+U_{centr}[(\ell-\delta)\sin\alpha]
= U_{grav}[(\ell+x)\cos\alpha]+U_{spring}(x)+U_{centr}[(\ell+x)\sin\alpha]$جایی که
$U_{grav}(h)=mgh$
پتانسیل گرانشی است $U_{spring}(\delta)=\frac{1}{2}k\delta^2$
$U_{centr}(r) = -\frac{1}{2}m\omega^2 r^2$
پتانسیل گریز از مرکز است.
به صراحت یک معادله درجه دوم برای x بدست می آوریم که به راحتی قابل حل است.
در قاب اینرسی، انرژی توسط
$E=\frac{1}{2} m \left[\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 +\omega^2 (\ell+x)^2 \sin^2 \alpha \right]
+ U_{spring}(x) + U_{grav}[(\ell+x)\cos\alpha] =
\frac{1}{2} m \left(\frac{dx}{dt} \right)^2 -U_{centr}[(\ell+x)\sin\alpha]
+ U_{spring}(x) + U_{grav}[(\ell+x)\cos\alpha]$جایی که x طول فنر است. در پیکربندی اولیه و نهایی، سرعت جرم در طول میله صفر است. اما برای بدست آوردن انرژی نهایی باید کارهای انجام شده روی سیستم را به انرژی اولیه اضافه کنیم. کار را می توان به صورت نوشتاری نوشت${\cal L} = \int \vec{M}\cdot\vec{\omega} dt$
که در آن $\vec{M}$ گشتاور است که با مشتق تکانه زاویه ای نیز برابر است. بنابراین
${\cal L} = \int \frac{d\vec{L}}{dt} \cdot\vec{\omega} dt = \Delta \vec{L}\cdot\vec{\omega}$
زیرا ω ثابت است. حالا میتونیم بنویسیم
$E_{final} = E_{initial}+\Delta \vec{L}\cdot\vec{\omega} =
E_{initial}+\vec{L}_{final}\cdot\vec{\omega}-\vec{L}_{initial}\cdot\vec{\omega}$
که به این معنی است که $E -\vec{L}\cdot\vec{\omega}$
حفظ شده است. ولی $\vec{L}\cdot\vec{\omega} = m(\ell+x)^2 \omega^2 \sin^2\alpha = -2 U_{centr}[(\ell+x)\sin\alpha]$
بنابراین $E-\vec{L}\cdot\vec{\omega}$ فقط انرژی در قاب چرخان است. بدیهی است که ما همان نتیجه را بدست می آوریم..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست