${\displaystyle i}$ یک عدد صحیح است که برای نشان دادن (از طریق زیرنویس) متغیر مربوط به یک ذره خاص در سیستم استفاده می شود.${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ کل نیروی اعمال شده (بدون احتساب نیروهای محدودیت) بر ذره ${\displaystyle i}$ است،${\displaystyle m_{i}}$ جرم ذره ${\displaystyle i}$ است،
${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$سرعت ذره ${\displaystyle i}$ است،
${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$جابجایی مجازی ذره$ {\displaystyle i}$ است که با محدودیت‌ها سازگار است.
از علامت نقطه نیوتن برای نشان دادن مشتق با توجه به زمان استفاده می شود. این معادله بالا اغلب اصل d'Alembert نامیده می شود، اما اولین بار توسط جوزف لوئیس لاگرانژ به این شکل متغیر نوشته شد.[4] سهم دالامبر این بود که نشان دهد در کلیت یک سیستم پویا نیروهای محدودیت ناپدید می شوند. به این معنی که نیروهای تعمیم یافته ${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}} $ نیازی به شامل نیروهای محدودیت ندارند. این معادل اصل تا حدودی دست و پا گیرتر گاوس در مورد حداقل محدودیت است.
"اصل دالامبر بیان می کند که "کل کار مجازی نیروهای تحت تاثیر به اضافه نیروهای اینرسی برای جابجایی های برگشت پذیر ناپدید می شوند [1] یا به عنوان یک بیان مجدد قانون حرکت نیوتن F-ma = 0. قانون بقای حالات انرژی [2]مقدار کل انرژی در یک سیستم ایزوله ثابت می ماند."قانون دوم بیان می کند که نیروی F که بر جسم وارد می شود برابر است با حاصل ضرب جرم m و شتاب a جسم یا F=ma. در شکل دالامبر، نیروی F به اضافه منفی جرم m ضربدر شتاب a جسم برابر با صفر است: F−ma=0. به عبارت دیگر،جسم تحت تأثیر نیروی واقعی F و نیروی فرضی -ma در تعادل است. نیروی ساختگی را نیروی اینرسی و نیروی مؤثر معکوس نیز می نامند.اگر یک بردار صفر باشد، حاصلضرب نقطه آن با بردار دیگر نیز صفر است.$(\mathbf F - m\mathbf a)\boldsymbol {.\delta r} = 0$
این عبارت، یک معادله برداری را با نمایش بردارها در جهت مناسب، به یک معادله اسکالر تبدیل می کند. به عنوان مثال، برای یک آونگ ساده، می‌توانیم جهت مماسی جرم را انتخاب کنیم، زیرا این تنها جهت جابجایی ممکن است:
$(\mathbf F - m\mathbf a)\boldsymbol {.\delta r} = (m\mathbf g + \mathbf T - m\mathbf a)\boldsymbol {.\delta r} = 0$از آنجایی که T متعامد بر δr است، حاصلضرب نقطه آن صفر است:
$m\mathbf g\boldsymbol {.\delta r} - m\mathbf a\boldsymbol {.\delta r} = 0$
$m\mathbf g\boldsymbol {.\delta r} = mgsin(\theta)L\delta \theta = mgLsin(\theta)\omega \delta t$
$m\mathbf a\boldsymbol {.\delta r} = m \frac{\mathbf {dv}}{dt}\boldsymbol {.\delta r} = m \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\boldsymbol {.\partial r}}{\partial t}\delta t = m \frac{\mathbf {dv}}{dt}\boldsymbol {.v}\delta t = \frac{1}{2}m\frac{\boldsymbol {\partial(v.v)}}{\partial t}\delta t = \frac{1}{2}m \frac{\partial (v^2)}{\partial t}\delta t$
به عنوان $v = \omega L$
$m\mathbf a\boldsymbol {.\delta r} = \frac{1}{2}mL^2 \frac{\partial (\omega^2)}{\partial t}\delta t = mL^2 \omega \frac{\partial \omega}{\partial t}\delta t$
بنابراین، معادله کامل:$mgLsin(\theta)\omega \delta t - mL^2 \omega \frac{\partial \omega}{\partial t}\delta t = 0 \implies \frac{\partial \omega}{\partial t} = \frac{g}{L}sin(\theta)$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
