تعارض بین معادله برنولی و بقای حرکت؟
ارسال شده: دوشنبه ۱۴۰۰/۱۱/۴ - ۰۷:۵۲
معادله معروف برنولی بیان می کند که $P+\frac{\rho V^2}{2}=c$
با این حال، یک بقای حرکت ساده با در نظر گرفتن P1و P2 در دو طرف عمل می کند، و سرعت از V1 به V2 تغییر می کند، $P_1+\rho_1 V_1^2=P_2+\rho_2 V_2^2$ را به دست می دهد که با ضریب 1/2 با برنولی تفاوت دارد.مشکل چیه
ضریب 1/2 از رابطه $\vec v \cdot\nabla \vec v = \nabla \frac{\vec v^2}{2} + (\nabla\times\vec v)\times \vec v$ در معادله بقای تکانه می آید.$\rho \left(\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\vec v \cdot\nabla \vec v\right)=\vec g-\nabla p$
$\vec u \equiv \vec v$میدان سرعت است
$p$میدان فشار است
$\vec g$ میدان گرانش است
اگر معادله را ایجاد کنید، با فرض اینکه میدان گرانش از پتانسیلی مانند $\vec g=-\nabla \phi$ ناشی میشود.
و این که جریان در حالت ثابت است، یعنی $\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0$ سپس:
$\nabla\left(\frac{\vec v^2}{2}+\frac p\rho+\phi\right)+\vec \omega\times\vec v=0$
، جایی که $\vec{\omega}\equiv \nabla \times \vec{v}$عملگر گردابی است
در حالت تعادل، $W=\Delta E_k + \Delta E_p$(کار نیروهای فشار، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل)
$W=p_{1}A_{1}(v_{1}\Delta t) - p_{2}A_{2}(v_{2}\Delta t)$
$\Delta E_k=\Delta m(v^{2}_{2}- v^{2}_{1})/2$
$\Delta E_p=\Delta mgh_{2}- \Delta mgh_{1}$
جواب دقیق بدم تمایز بین این دو معادله این است که: $p+ \rho u^2=constant$، فقط برای جریان تراکم پذیر 1 بعدی معتبر است در حالی که $p+(1/2) \rho u^2=constant$ است.، برای جریان تراکم ناپذیر معتبر است.
این تفاوت به دلیل جفت شدن معادله تداوم و تکانه در جریان تراکم پذیر است. این جفت برای جریان تراکم ناپذیر وجود ندارد. شما می توانید این را با یک مشتق ساده از معادله اویلر 1D ببینید. معادله اویلر اساساً معادله تکانه است که در آن نیروهای ویسکوز نادیده گرفته می شوند.$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
از نیروهای جسم نیز غافل شویم. حالا این می شود:
$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
جایی که P فشار است، ρچگالی و u سرعت 1 بعدی است. این برای هر دو جریان تراکم پذیر و غیر قابل تراکم معتبر است. برای استخراج معادله برنولی، شما به سادگی هر دو طرف را ادغام می کنید.$dP=- (\rho u) du$
اگر چگالی، ρثابت است، جریان تراکم ناپذیر است، و شما می توانید $\rho$ را بگیرید
از علامت انتگرال خارج شوید تا معادله برنولی خود را بدست آورید.
$P= -\rho \int{u du} = -\rho \frac{u^2}{2}+constant$
$P+\frac{\rho u^2}{2}=constant$
حال، مورد جریان های تراکم پذیر را در نظر بگیرید. در اینجا نمی توا$P_1 V_1 =P_2 V_2$ برای بدست آوردن $P_1 + \rho {V_1}^2=P_2 + \rho {V_2}^2$ استفاده کنید.
.استخراج از معادله اویلر فقط به دیدن تمایز بسیار آسان کمک می کند.
.من در حال انجام پروژه ای در رابطه با معادلات ناویر-استوکس، اویلر و برنولی هستم.$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u(u \cdot\nabla)\right)=-\nabla p + \rho g$, و برنولی $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 +\rho g h_2.$از اویلر شروع کنید
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+ (u\cdot \nabla) u\right)= -\nabla (p+\rho g z)$و استفاده کنید
$[(u\cdot \nabla) u]_j=(u_i\partial_i) u_j= u_i \partial_j u_i + u_i(\partial_i u_j-\partial_j u_i)$در قالب هویت برداری
$(u\cdot \nabla) u=- u\times (\nabla\times u)+\nabla \left(\frac 12 |u|^2\right)$برای نوشتن آن به عنوان
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}- u\times (\nabla\times u)\right)= -\nabla \left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)$حال جریان ثابتی را در نظر بگیرید که در آن $\partial u/\partial t=0$ است و یک ضرب نقطه ای با u در هر دو طرف بگیرید. شما دریافت می کنید
$(v\cdot \nabla)\left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)=0$که برنولی است یعنی کمیت داخل پرانتز در طول یک خط جریان ثابت است.
برای جریان تراکم پذیر باید بنویسید
$\frac 1 \rho \nabla p= \nabla h$که در آن h آنتالپی خاص است (H=E+PV در واحد جرم) و سپس برنولی تبدیل می شود
$h+ g z+\frac 12|v^2|= constant.$
توجه معادله برنولی فقط برای جریان در امتداد یک خط جریان که در حالت چسبناک، تراکم ناپذیر، ثابت و غیر چرخشی است، کاربرد دارد؟جواب ساده معادله برنولی واقعاً شبیه یک معادله بقای انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم m˙ ضرب کنید (همچنین ثابت فرض می شود) به دست می آید:$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$این معادله فقط در مورد سیالات غیر لزج کاربرد دارد زیرا سیالات با ویسکوزیته قابل توجه تلفات انرژی ویسکوزیته را تجربه می کنند، که حفظ نمی شوند: انرژی از دست رفته به دلیل اصطکاک چسبناک باید تامین شود،همچنین میتوان آن را از معادله حرکت اویلر یک عنصر سیال dm که در حال حرکت (منتقل میکند اما نمیچرخد) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا استخراج کرد:
ذره اویلر:این معادله (توازن نیروهای وارد بر عنصر سیال) به صورت زیر است:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$جمله چهارم عبارت تنش برشی برای یک سیال چسبناک است. برای یک سیال غیر لزج این جمله صفر می شود، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$با ادغام بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض تراکم ناپذیری (ρ=ثابت)، به دست می آوریم:$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و $\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
نهایتا
$\frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
استخراج واقعی معادله برنولی از شکل گردابی معادله تراکم ناپذیر ناویر-استوکس می آید. از نظر گردابی، معادله ناویر-استوکس به شکل زیر است:
$\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) + \nu \cdot \left(\nabla \times \vec{\omega}\right)$حال اگر جریان ثابت داشته باشیم، $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0$ و اگر جریان را غیر لزج فرض کنیم، معادله کاهش می یابد،
$\vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right)$بدیهی است که اگر جریان غیر چرخشی باشد، یعنی$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ در این صورت باقی میمانیم،
$\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) = 0$یا معادل آن،
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \textrm{constant}$این معروف ترین شکل معادله برنولی است که به جریان ثابت، تراکم ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی نیاز دارد. همچنین یک نکته مهم در مورد این رابطه، چون جریان غیر چرخشی است، می توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. حالا برای موردی که شما مشخص کردید، مثلاً، اگر جریان چرخشی باشد چطور؟ خوب، شما باید جهت کمیت برداری $\vec{\omega} \times \vec{V}$ را در نظر بگیرید. بردار حاصل از$\vec{\omega} \times \vec{V}$ به بردار سرعت و گرداب متعامد است. بنابراین، در امتداد یک خط ساده مقدار $\vec{\omega} \times \vec{V} = 0$بنابراین، معادله حاصل تبدیل به
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \mathrm{constant\big|_{streamline}}$بنابراین، نتیجه این است که اگر جریان ثابت، تراکمناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ داشته باشیم، میتوان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. با این حال، اگر جریان چرخشی باشد $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} \neq 0$، ما فقط می توانیم معادله برنولی را در امتداد یک خط جریان اعمال کنیم.hope I help you understand the question. Roham Hesami رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
با این حال، یک بقای حرکت ساده با در نظر گرفتن P1و P2 در دو طرف عمل می کند، و سرعت از V1 به V2 تغییر می کند، $P_1+\rho_1 V_1^2=P_2+\rho_2 V_2^2$ را به دست می دهد که با ضریب 1/2 با برنولی تفاوت دارد.مشکل چیه
ضریب 1/2 از رابطه $\vec v \cdot\nabla \vec v = \nabla \frac{\vec v^2}{2} + (\nabla\times\vec v)\times \vec v$ در معادله بقای تکانه می آید.$\rho \left(\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\vec v \cdot\nabla \vec v\right)=\vec g-\nabla p$
$\vec u \equiv \vec v$میدان سرعت است
$p$میدان فشار است
$\vec g$ میدان گرانش است
اگر معادله را ایجاد کنید، با فرض اینکه میدان گرانش از پتانسیلی مانند $\vec g=-\nabla \phi$ ناشی میشود.
و این که جریان در حالت ثابت است، یعنی $\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0$ سپس:
$\nabla\left(\frac{\vec v^2}{2}+\frac p\rho+\phi\right)+\vec \omega\times\vec v=0$
، جایی که $\vec{\omega}\equiv \nabla \times \vec{v}$عملگر گردابی است
در حالت تعادل، $W=\Delta E_k + \Delta E_p$(کار نیروهای فشار، انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل)
$W=p_{1}A_{1}(v_{1}\Delta t) - p_{2}A_{2}(v_{2}\Delta t)$
$\Delta E_k=\Delta m(v^{2}_{2}- v^{2}_{1})/2$
$\Delta E_p=\Delta mgh_{2}- \Delta mgh_{1}$
جواب دقیق بدم تمایز بین این دو معادله این است که: $p+ \rho u^2=constant$، فقط برای جریان تراکم پذیر 1 بعدی معتبر است در حالی که $p+(1/2) \rho u^2=constant$ است.، برای جریان تراکم ناپذیر معتبر است.
این تفاوت به دلیل جفت شدن معادله تداوم و تکانه در جریان تراکم پذیر است. این جفت برای جریان تراکم ناپذیر وجود ندارد. شما می توانید این را با یک مشتق ساده از معادله اویلر 1D ببینید. معادله اویلر اساساً معادله تکانه است که در آن نیروهای ویسکوز نادیده گرفته می شوند.$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
از نیروهای جسم نیز غافل شویم. حالا این می شود:
$\frac{dP}{\rho}+ u du + gdz = 0$
جایی که P فشار است، ρچگالی و u سرعت 1 بعدی است. این برای هر دو جریان تراکم پذیر و غیر قابل تراکم معتبر است. برای استخراج معادله برنولی، شما به سادگی هر دو طرف را ادغام می کنید.$dP=- (\rho u) du$
اگر چگالی، ρثابت است، جریان تراکم ناپذیر است، و شما می توانید $\rho$ را بگیرید
از علامت انتگرال خارج شوید تا معادله برنولی خود را بدست آورید.
$P= -\rho \int{u du} = -\rho \frac{u^2}{2}+constant$
$P+\frac{\rho u^2}{2}=constant$
حال، مورد جریان های تراکم پذیر را در نظر بگیرید. در اینجا نمی توا$P_1 V_1 =P_2 V_2$ برای بدست آوردن $P_1 + \rho {V_1}^2=P_2 + \rho {V_2}^2$ استفاده کنید.
.استخراج از معادله اویلر فقط به دیدن تمایز بسیار آسان کمک می کند.
.من در حال انجام پروژه ای در رابطه با معادلات ناویر-استوکس، اویلر و برنولی هستم.$\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u(u \cdot\nabla)\right)=-\nabla p + \rho g$, و برنولی $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 +\rho g h_2.$از اویلر شروع کنید
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+ (u\cdot \nabla) u\right)= -\nabla (p+\rho g z)$و استفاده کنید
$[(u\cdot \nabla) u]_j=(u_i\partial_i) u_j= u_i \partial_j u_i + u_i(\partial_i u_j-\partial_j u_i)$در قالب هویت برداری
$(u\cdot \nabla) u=- u\times (\nabla\times u)+\nabla \left(\frac 12 |u|^2\right)$برای نوشتن آن به عنوان
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}- u\times (\nabla\times u)\right)= -\nabla \left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)$حال جریان ثابتی را در نظر بگیرید که در آن $\partial u/\partial t=0$ است و یک ضرب نقطه ای با u در هر دو طرف بگیرید. شما دریافت می کنید
$(v\cdot \nabla)\left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)=0$که برنولی است یعنی کمیت داخل پرانتز در طول یک خط جریان ثابت است.
برای جریان تراکم پذیر باید بنویسید
$\frac 1 \rho \nabla p= \nabla h$که در آن h آنتالپی خاص است (H=E+PV در واحد جرم) و سپس برنولی تبدیل می شود
$h+ g z+\frac 12|v^2|= constant.$
توجه معادله برنولی فقط برای جریان در امتداد یک خط جریان که در حالت چسبناک، تراکم ناپذیر، ثابت و غیر چرخشی است، کاربرد دارد؟جواب ساده معادله برنولی واقعاً شبیه یک معادله بقای انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم m˙ ضرب کنید (همچنین ثابت فرض می شود) به دست می آید:$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$این معادله فقط در مورد سیالات غیر لزج کاربرد دارد زیرا سیالات با ویسکوزیته قابل توجه تلفات انرژی ویسکوزیته را تجربه می کنند، که حفظ نمی شوند: انرژی از دست رفته به دلیل اصطکاک چسبناک باید تامین شود،همچنین میتوان آن را از معادله حرکت اویلر یک عنصر سیال dm که در حال حرکت (منتقل میکند اما نمیچرخد) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا استخراج کرد:
ذره اویلر:این معادله (توازن نیروهای وارد بر عنصر سیال) به صورت زیر است:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$جمله چهارم عبارت تنش برشی برای یک سیال چسبناک است. برای یک سیال غیر لزج این جمله صفر می شود، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$با ادغام بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض تراکم ناپذیری (ρ=ثابت)، به دست می آوریم:$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و $\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
نهایتا
$\frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
استخراج واقعی معادله برنولی از شکل گردابی معادله تراکم ناپذیر ناویر-استوکس می آید. از نظر گردابی، معادله ناویر-استوکس به شکل زیر است:
$\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) + \nu \cdot \left(\nabla \times \vec{\omega}\right)$حال اگر جریان ثابت داشته باشیم، $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = 0$ و اگر جریان را غیر لزج فرض کنیم، معادله کاهش می یابد،
$\vec{\omega} \times \vec{V} = -\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right)$بدیهی است که اگر جریان غیر چرخشی باشد، یعنی$\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ در این صورت باقی میمانیم،
$\nabla\left(\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k\right) = 0$یا معادل آن،
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \textrm{constant}$این معروف ترین شکل معادله برنولی است که به جریان ثابت، تراکم ناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی نیاز دارد. همچنین یک نکته مهم در مورد این رابطه، چون جریان غیر چرخشی است، می توان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. حالا برای موردی که شما مشخص کردید، مثلاً، اگر جریان چرخشی باشد چطور؟ خوب، شما باید جهت کمیت برداری $\vec{\omega} \times \vec{V}$ را در نظر بگیرید. بردار حاصل از$\vec{\omega} \times \vec{V}$ به بردار سرعت و گرداب متعامد است. بنابراین، در امتداد یک خط ساده مقدار $\vec{\omega} \times \vec{V} = 0$بنابراین، معادله حاصل تبدیل به
$\frac{p}{\rho} + \frac{|\vec{V}|^2}{2} + k = \mathrm{constant\big|_{streamline}}$بنابراین، نتیجه این است که اگر جریان ثابت، تراکمناپذیر، نامرغوب و غیر چرخشی $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 0$ داشته باشیم، میتوان معادله برنولی را در سراسر خطوط جریان اعمال کرد. با این حال، اگر جریان چرخشی باشد $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} \neq 0$، ما فقط می توانیم معادله برنولی را در امتداد یک خط جریان اعمال کنیم.hope I help you understand the question. Roham Hesami رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا