صفحه 1 از 1

آونگ مرکب double pendulum

ارسال شده: یک‌شنبه ۱۴۰۰/۹/۷ - ۰۸:۱۴
توسط rohamjpl
در فیزیک و ریاضیات، در حوزه سیستم‌های دینامیکی، یک آونگ دوتایی آونگی است که آونگ دیگری به انتهای آن متصل است، در یک آونگ مرکب، جرم در طول آن توزیع می شود. اگر جرم به طور مساوی توزیع شود، مرکز جرم هر اندام در نقطه میانی خود قرار دارد و اندام دارای گشتاور اینرسی $I = \frac{1}{12}ML^2$ در مورد آن نقطه است.استفاده از زوایای بین هر اندام و عمودی به عنوان مختصات تعمیم یافته که پیکربندی سیستم را تعریف می کند راحت است. این زاویه ها θ1 و θ2 نشان داده می شوند. موقعیت مرکز جرم هر میله ممکن است بر حسب این دو مختصات نوشته شود. اگر مبدأ سیستم مختصات دکارتی را در نقطه تعلیق اولین آونگ در نظر بگیریم، مرکز جرم این آونگ در زیر است: ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$و مرکز جرم آونگ دوم ${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$خوب لاگرانژی L = kinetic energy − potential energyهست که اینطور مینویسم ${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$عبارت اول انرژی جنبشی خطی مرکز جرم اجسام و جمله دوم انرژی جنبشی دورانی حول مرکز جرم هر میله است. آخرین عبارت انرژی پتانسیل اجسام در یک میدان گرانشی یکنواخت است. علامت نقطه نشان دهنده مشتق زمانی متغیر مورد نظر است. بنا به تعریف، لاگرانژین تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. یعنی داریم:${\displaystyle L=T-V\!} $
در اینجا، تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژین کمینه شود تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژین کمینه شود. مثلاً، در ساده‌ترین حالت، کُنشِ مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر نوشته می‌شود${\displaystyle S=\int _{0}^{T}{({{1} \over {2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x))dt}}$و در اینجا x خود تابعی از زمان است${\displaystyle {\partial L \over {\partial x}}-{d \over {dt}}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0} $خوب اخرش میشه ${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\partial V \over \partial x}=F} $که همان قانون دوم نیوتن است.حال طول و جرم ها متفاوت باشند در بحث ما، نقطه ثابت O به عنوان مبدأ سیستم مختصات دکارتی با محور x در امتداد جهت افقی و محور y به صورت عمودی به سمت بالا در نظر گرفته می شود. فرض کنید θ1 و θ2 زوایایی باشند که میله های اول و دوم به ترتیب با جهت عمودی ایجاد می کنند.$\begin{eqnarray}
x_1 &=& l_1 \sin\theta_1 \quad\quad & y_1 &=& -l_1 \cos\theta_1\\[5pt]
x_2 &=& l_1 \sin\theta_1 + l_2 \sin\theta_2 \quad\quad & y_2 &=& -l_1\cos\theta_1 -l_2\cos\theta_2
\end{eqnarray}$با مقایسه مقادیر بالا با توجه به زمان، سرعت گوی ها را به دست می آوریم:$\begin{eqnarray}
\dot{x}_1 &=& l_1 \dot{\theta}_1\cos\theta_1 \quad\quad &
\dot{y}_1 &=& l_1 \dot{\theta}_1\sin\theta_1\\[5pt]
\dot{x}_2 &=& l_1 \dot{\theta}_1\cos\theta_1 + l_2 \dot{\theta}_2\cos\theta_2 \quad\quad
& \dot{y}_2 &=& l_1 \dot{\theta}_1\sin\theta_1 + l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2
\end{eqnarray}$ تغییر جزئی مقادیر اولیه زوایای (θ1,θ2) و سرعت‌های زاویه‌ای $\dot{\theta}_1,\dot{\theta}_2$ باعث می‌شود که مسیر حرکت باب‌ها بسیار متفاوت از مسیرهای اولیه باشد. لاگرانژی را برای انرژی جنبشی بیارم $\begin{eqnarray}
T &=& \displaystyle\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \nonumber \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}m_1(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2) + \frac{1}{2}m_2(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2) \nonumber \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 +
\frac{1}{2}m_2\left[l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2
\cos(\theta_1 - \theta_2)\right]
\end{eqnarray}$توجه کنید تصویر
رابطه زیر بینید$\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2 =$خوب من پتانسیل لاگرانژی را بنویسم $\begin{eqnarray}
V &=& m_1 g y_1 + m_2gy_2 \nonumber \\[5pt]
&=& -m_1 g l_1 \cos\theta_1 - m_2 g (l_1 \cos\theta_1 + l_2 \cos\theta_2) \nonumber\\[5pt]
&=& -(m_1 + m_2) g l_1 \cos\theta_1 - m_2 g l_2\cos\theta_2
\end{eqnarray}$حال لاگرانژی را مینویسم $\begin{eqnarray}
L =\frac{1}{2}(m_1 + m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 &+&
\frac{1}{2}m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2
\cos(\theta_1 - \theta_2)\nonumber\\[3pt]
&+&(m_1 + m_2) g l_1 \cos\theta_1 + m_2 g l_2\cos\theta_2
\end{eqnarray}$ به تصویر زیر نگاه کنید تصویر حال انرژی‌های پتانسیل و جنبشی آونگ که به ترتیب با T,V نشان داده می‌شوند، برابرند با:$\large {{T = \frac { { { m _1 } v_1^ 2 } } {2} + \frac{{{m_2} v _ 2 ^ 2 } } { 2} }
= {\frac{{{m_1}\left( {\dot x_1^2 + \dot y_1 ^ 2 } \right ) } } { 2 } } + { \frac { { { m _2 } \left ( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right)}}{2},\;\;}}\kern-0.3pt { { V = { m _ 1 } g { y _ 1 } + { m _ 2 } g { y _ 2 } }}$من لاگرانژی $\large \begin {align*} { L = T – V } & = { {T_1} + {T_2} – \left( { { V _ 1 } + {V_2}} \right) }
\\ & = { \frac { { { m _ 1 } } } { 2 } \left ( {\dot x _ 1 ^ 2 + \dot y_1 ^ 2 } \right ) } + { \frac { { { m _2 } } }{ 2} \left( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right) }-{ { m _1 } g { y _ 1 } – { m _ 2 } g { y _ 2 } } \end {align*}$نوشتم/میدونید که همونطور که گفتم با مشتق‌گیری از کمیت‌ها مولفه‌های سرعت افقی و عمودی بدست میاد$\large \begin {align*} { { { \dot y } _ 1 } = { l _ 1 } \sin { \alpha _1 } \cdot { { \dot \alpha } _ 1 } ,\;\;}\kern-0.3pt
{{{{\dot y}_2} = { l _ 1 } \sin { \alpha _1 } \cdot { { \dot \alpha }_1} }+{ {l_2}\sin{\alpha _2} \cdot {{\dot \alpha }_2}.}} \end {align*}$نهایتا انرژی‌های جنبشی دو جرم برابر می‌شوند با$\large \begin {align*} { T _ 1 } = \frac{{{m_1}}}{2}\left( {\dot x_1^2 + \dot y_1^2} \right)
& = {{\frac{{{m_1}}}{2}\left( {l_1^2\dot \alpha _1^2{{\cos }^2}{\alpha _1} }\right.}+{\left.{ l_1^2\dot \alpha _1^2{\sin^2}{\alpha _1}} \right) }}
\\ & = {\frac { { { m _ 1 } } } {2 } l_1^2\dot \alpha _1 ^ 2 } & \\\\ { T _ 2 } = \frac{{{m_2}}}{2}\left( {\dot x_2^2 + \dot y_2^2} \right) & = \frac{{{m_2}}}{2} \left [ {{{\left ( { { l_ 1 } { { \dot \alpha }_1}\cos {\alpha _1} + {l_2}{{\dot \alpha }_2} \cos {\alpha _2}} \right)}^2} } \right.+ \\ & \left.{ {{\left( {{l_1}{{\dot \alpha }_1}\sin{\alpha _1} + {l_2}{{\dot \alpha }_2}\sin{\alpha _2}} \right)}^2}} \right]
\\ & = {\frac{{{m_2}}}{2}\Big[ {l_1^2\dot \alpha _1^2{{\cos }^2}{\alpha _1} } + {l_2^2\dot \alpha _2^2{{\cos }^2}{\alpha _2}} }+{ 2{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos {\alpha _1}\cos {\alpha _2} } \\ & +{ l_1^2\dot \alpha _1^2{\sin^2}{\alpha _1} }
+ { {l_2^2\dot \alpha _2^2{\sin^2}{\alpha _2} }+{ 2{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2} \sin { \alpha _1} \sin{\alpha _2}} \Big] }
\\ & = {\frac{{{m_2}}}{2}\Big[ {l_1^2\dot \alpha _1^2 + l_2^2\dot \alpha _2^2 }+{ 2{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right)} \Big] } \end {align*}$به طور مشابه به همین صورت انرژی‌های پتانسیل دو جرم نیز به صورت زیر بدست می‌آیند$\large \begin {align*} { { V _ 1 } = { m _ 1 } g {y _ 1 } } = { – { m _ 1 } g { l _1 } \cos { \alpha _1} } \end {align*}$نهایتا با بدست آمدن انرژی‌ها، لاگرانژین نیز به صورت زیر بدست می‌آید.$\large \begin {align*} {L = T – V }={ {T_1} + {T_2} – \left( {{V_1} + {V_2}} \right) }
& = {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)l_1^2\dot \alpha _1^2 }
\\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 }
\\ & + {{m_2}{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) }
\\ & + {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}\cos {\alpha _1} }
\\ & + {{m_2}g{l_2}\cos {\alpha _2}.} \end {align*}$
خوب معادله معادله اویلر لاگرانژ را به صورت زیر هست$\large \begin {align*} { \frac { d } { { d t } } \frac { { \partial L}}{{\partial {{\dot \alpha } _ i} } } – \frac { { \partial L} } { { \partial {\alpha _i}}} = 0,\;\;}\kern-0.3pt{i = 1,2.} \end {align*}$
المانهای معادلات $\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_1}}} \text{ = }}\kern0pt{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right),} \end {align*}$و $\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _1}}} \text{ = }}\kern0pt{ – {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_1}{{\dot \alpha }_2}\sin\left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) }
– {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}\sin{\alpha _1} } \end {align*}$و$\large \begin {align*} {\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_2}}} \text{ = }}\kern0pt{ {m_2}l_2^2{{\dot \alpha }_2} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) } \end {align*}$و$\large \begin {align*} {\frac { { \partial L}}{{\partial {\alpha _2}}} \text{ = }}\kern0pt{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha } _ 1 } { { \dot \alpha }_2}\sin\left( {{\alpha _1} } – { {\alpha _2}} \right) }-{ {m_2}g{l_2}\sin{\alpha _2}} \end {align*}$حال با توجه به معادلات ۱و۲، معادله اول اویلر لاگرانژ را می‌توان به صورت زیر بیان کرد$\large \begin{aligned}
&\frac{d}{d t}\left[\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1}^{2} \dot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)\right] \\
&+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \dot{\alpha}_{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g l_{1} \sin \alpha_{1}=0 \\
&\Rightarrow\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1}^{2} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{1} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\
&+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g l_{1} \sin \alpha_{1}=0
\end{aligned}$بعد خذف l1 $\begin{aligned}
&\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\
&+m_{2} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g \sin \alpha_{1}=0
\end{aligned}$به طور مشابه معادلات ۳ و ۴، معادله دوم اویلر لاگرانژ را به صورت زیر نتیجه می‌دهند.$\large \begin{aligned}
&\frac{d}{d t}\left[m_{2} l_{2}^{2} \dot{\alpha}_{2}+m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)\right] \\
&-m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1} \dot{\alpha}_{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+m_{2} g l_{2} \sin \alpha_{2}=0 \\
&\Rightarrow m_{2} l_{2}^{2} \ddot{\alpha}_{2}+m_{2} l_{1} l_{2} \ddot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-m_{2} l_{1} l_{2} \dot{\alpha}_{1}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\
&+m_{2} g l_{2} \sin \alpha_{2}=0 .
\end{aligned}$بنابراین دستگاه معادلات دیفرانسیلی که توصیف کننده سیستم است، به صورت زیر بدست می‌آید.$\large \begin{aligned}
&\left(m_{1}+m_{2}\right) l_{1} \ddot{\alpha}_{1}+m_{2} l_{2} \ddot{\alpha}_{2} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) \\
&+m_{2} l_{2} \dot{\alpha}_{2}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right) g \sin \alpha_{1}=0 \\
&l_{2} \ddot{\alpha}_{2}+l_{1} \ddot{\alpha}_{1} \cos \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)-l_{1} \dot{\alpha}_{1}^{2} \sin \left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+g \sin \alpha_{2}=0
\end{aligned}$فرض کنید زوایای α1(t) , α2(t) اندک بوده و نوسان جرم‌ها حول نقطه تعادل باشد. به منظور دست‌یابی به معادلات سیستم، معادله اویلر لاگرانژ را به صورت زیر در نظر بگیرید$\large \begin {align*} {L = T – V }
& = {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac { {{ m _2 } } } { 2 } } \right)l_1 ^ 2 \dot \alpha _1^2 }
\\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 }
\\ & + {{m_2}{l_1}{l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2}\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) }
\\ & + {\left( {{m_1} + {m_2}} \right ) g{ l _ 1 } \cos {\alpha _1} }
\\ & + {{m_2}g{l_2}\cos {\alpha _2} } \end {align*}$با استفاده از بسط مک لورن، نسبت‌های مثلثاتی را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد$\large \begin {align*} {\cos {\alpha _1} \approx 1 – \frac{{\alpha _1^2}}{2},\;\;}\kern-0.3pt
{\cos {\alpha _2} \approx 1 – \frac{{\alpha _2 ^ 2 } } { 2 } ,\;\;} \\ \kern-0.3pt
{{\cos \left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right) }\approx{ 1 – \frac{{{{\left( {{\alpha _1} – {\alpha _2}} \right )
}^ 2 } }} { 2 } }\approx{ 1 }} \end {align*}$با استفاده از بسط‌های فوق، معادله ۵ نیز به صورت زیر قابل بیان است$\large \begin {align*} {L = T – V }
= {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)l_1^2\dot \alpha _1^2 }+{ \frac{{{m_2}}}{2}l_2^2\dot \alpha _2^2 }
& + { { m _ 2 } { l _ 1} { l_2}{\dot \alpha _1}{\dot \alpha _2} }
\\ & – {\left( {\frac{{{m_1}}}{2} + \frac{{{m_2}}}{2}} \right)g{l_1}\alpha _1^2 }
\\ & + {\frac{{{m_2}}}{2}g{l_2}\alpha _2 ^ 2 } \end {align*}$تا این جا لاگرانژینِ L به ازای مقادیری کوچک از α1,α2 بدست آمدند. معادله اویلر لاگرانژ نیز در حالت کلی به صورت زیر است.$\large \begin {align*} {\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_1}}} – \frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _1}}} = 0 \ \ \ , \ \ \;\;}\kern-0.3pt
{\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \alpha }_2}}} – \frac{{\partial L}}{{\partial {\alpha _2}}} = 0.} \end {align*}$مشتقات جزئی، نسبت به کمیت‌های α1,α2 برابرند$\large \begin {align*} { \frac { { \partial L} }{ {\partial {{\dot \alpha }_1}}} = \left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2},} \end {align*}$نهایتا دو معادله دیفرانسیل به صورت زیر بدست می‌آیند.$\large {\frac{d}{{dt}}\left[ {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\dot \alpha }_1} }\right.}+{\left.{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\dot \alpha }_2}} \right] }+{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}{\alpha _1} }={ 0 }$با محاسبه مشتقات فوق دو معادله دیفرانسیل به صورت زیر حاصل می‌شوند$\large {\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2{{\ddot \alpha }_1} }+{ {m_2}{l_1}{l_2}{{\ddot \alpha }_2} }+{ \left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}{\alpha _1} }={ 0 }$معادلات فوق را می‌توان در قالب معادله‌ای ماتریسی، بیان کرد. بدین منظور در ابتدا ماتریس‌های α,M,K را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.$\large {\boldsymbol{\alpha} \left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ { \alpha _1}\left( t \right)}\\
{ { \alpha _2}\left( t \right ) }
\end{array}} \right],\;\;}\kern-0.3pt
{M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)l_1^2}&{{m_2}{l_1}{l_2}}\\
{{m_2}{l_1}{l_2}}&{{m_2}l_2^2}
\end{array}} \right],\;\;}\kern-0.3pt
{K = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)g{l_1}}&0\\
0&{{m_2}g{l_2}}
\end{array}} \right],\;\;}\kern0pt
{\mathbf{0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0 \\
0
\end {array}} \right] }$با استفاده از ماتریس‌های تعریف شده در بالا، سیستم معادلات به صورت زیر در می‌آیند$\large M\boldsymbol{\ddot \alpha} + K\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{0}$معادله‌ای به صورت فوق، توصیف کننده ارتعاش یک جسم است؛ اما در این جا پاسخ دستگاه فوق، دو فرکانس مشخصه را به ما می‌دهد که به آن مود‌های نرمال گفته می‌شود.$\large {\boldsymbol{\alpha} \left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}\left( t \right)}\\
{{\alpha _2}\left( t \right)}
\end{array}} \right] }
= {\text{Re}\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\mathbf{H}_1}}\\
{{\mathbf{H}_2}}
\end{array}} \right]{e^{i\omega t}}} \right) }$در عبارت فوق H1 و H2 معادل با بردار‌های ویژه و ω برابر با فرکانس‌های حقیقی هستند. مقادیر ω1,2 با استفاده از حل دترمینان ماتریس زیر بدست می‌آیند
$ \large \det \left( {K – { \omega ^ 2 } M } \right ) = 0 $در مورد آونگ مرکب با قرار دادن ماتریس‌ها در رابطه فوق، معادله به صورت زیر بدست می‌آید$\large { \left ( { { m _1 } + { m _ 2 } } \right) { g ^ 2 } } – { {\omega ^2}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\left( {{l_1} + { l _ 2 } } \right ) g }+{ { \omega ^4}{m_1}{l_1}{l_2} = 0 }$معادله بدست آمده از درجه ۴ بوده و یافتن پاسخ آن در حالت کلی مشکل خواهد بود. بدین منظور حالتی را در نظر می‌گیریم که طول دو رابط با هم برابر باشد (l1=l2=l). با این فرض دو فرکانس مربوط به نوسان آونگ به صورت زیر بدست می‌آیند.$\large { \omega _{1,2} ^ 2 \text{ = }}\kern0pt
= {\frac{g}{l}\left[ {1 + \mu \pm \sqrt {\left( {1 + \mu } \right)\mu } } \right],\;\;}\kern-0.3pt{\text{where}\;\;\mu = \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} }$I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا