شتاب
ارسال شده: جمعه ۱۴۰۰/۸/۲۱ - ۱۶:۰۱
خیلی ممنون از لطفتونmaxrg.ir نوشته شده: ↑جمعه ۱۴۰۰/۸/۲۱ - ۱۸:۰۶سلام. فرض کنید اولی به راست میره و دومی به چپ. مبدأ مختصات رو روی اولی بگذارید و جهت مثبت را رو به راست بگیرید. پس تکلیف اولی روشنه:
\[
v_A=20+2t\,, \quad x_A=\frac12 (2)t^2+20 t
\]
اما دومی ... سرعت دومی در هر ثانیه ۳ متربرثانیه کم میشه. این در واقع معنای شتاب کندشونده است. یعنی
\[
v_B=30-3t
\]
ضمناً چون به سمت چپ حرکت میکنه، پس موقعیت اون هم بهمرور از ۴۵۰ کمتر میشه. یعنی با گذر زمان، موقعیت کمتر میشه، نه بیشتر. پس
\[
v_B=-\frac{dx_B}{dt}=30-3t
\]
علامت منفی که کنار $dx_B$ اومده، تضمین میکنه که با گذر زمان، موقعیت کم بشه. یا به عبارتی دیگه، رشد مختصه مکانی برخلاف مختصه زمانی هست. از معادله بالا انتگرال میگیریم.
\[
x_{0B}-x_B=30t-\frac32 t^2
\]
در لحظه شروع حرکت، جسم دوم در ۴۵۰ متری از مبدأ بوده (دقت کنید که مبدأ را روی موقعیت اولیه جسم اول گذاشتیم و جهت مثبت را رو به راست گرفتیم). پس
\[
x_{0B}-450=30(0)-\frac{3}{2} (0)^2\; \Rightarrow\; x_{0B}=450
\]
و
\[
x_B=450-30t+\frac32 t^2
\]
حالا موقعیت جسمهای اول و دوم را برابر قرار میدیم.
\[
t^2+20t=450-30t+\frac32 t^2
\]
معادله بالا دو جواب داره: $t=10$ و $t=90$ که $t=10$ درسته. ضمناً جسم دوم در $t=10$ و $x=300$ میایسته.
خیلی ممنون کامل کامل متوجه شدم.maxrg.ir نوشته شده: ↑شنبه ۱۴۰۰/۸/۲۲ - ۰۶:۳۵شما فکر کردید که:
دوتا جسم به سمت همدیگه میان. مطمئنا جایی بین نقاط شروع به هم میرسن. پس جابجایی اونا رو حساب میکنم و مجموع جابجاییها با فاصله بین نقاط شروع حرکت باید برابر بشه.
تا اینجا کاملا درسته. بعدش هم محاسبه درستی انجام دادید، اما ظاهرا متوجه نشدید چرا جواب درست رو میده! شما اومدید حرکت جسم دوم رو در راستای مثبت در نظر گرفتید. چون میخواستید درباره جابجایی صحبت کنید، فرقی نمیکرده که جسم به چپ بره یا راست. در هر صورت با اون شتاب و اون سرعت اولیه، جسم جابجایی مشخصی داره. در این حالت، شتاب کندشونده با علامت منفی و سرعت اولیه با علامت مثبته.
اما چرا سرعت اولیه با علامت مثبته؟ یک راه برای فهمیدنش اینه که به نمودار سرعت-زمان نگاه کنید. جابجایی، مساحت زیر نمودار سرعت-زمانه. حرکت چه کندشونده باشه و چه تندشونده، بخشی از مساحت زیر نمودار به صورت قدرمطلق $v_0t$ هست، اما بخش مربوط به شتاب با دو علامت ظاهر میشه (ببخشید نمیتونم تصویر بذارم که واضح ببینید. خودتون نمودار حرکت تندشونده و کندشونده رو بکشید و مساحت زیر اونا رو با هم مقایسه کنید). ضمنا اگه به معادلات خودتون هم دقت کنید، با منفی در نظر گرفتن سرعت اولیه، جابجایی همواره منفی میشه!
بله درست میگید. الان خواستم نمودار سرعت زمان کامل این سوال رو بکشم به مشکل خوردم. فردا بعد از مدرسه بازم روی نمودارش فکر میکنم. نمودارش سخته.
سلام استادmaxrg.ir نوشته شده: ↑شنبه ۱۴۰۰/۸/۲۲ - ۱۹:۰۳تندی منفی رو در نظر نگیرید. وقتی صحبت از جابجایی یا تندی میکنید، بهشون علامت منفی نسبت ندید. جابجایی همیشه نامنفیه. تندی همیشه نامنفیه.
البته هیچ اشکالی نداره که روی محور اعداد منفی داشته باشید، ولی باید حواستون باشه که منفیها چه معنایی دارن و کجای تحلیل به منفی نیاز دارید. وقتی میگیم تندی ماشین $-10$ متربرثانیه هست، معنیش اینه که ما چارچوبی انتخاب کردیم که در اون چارچوب، ماشین با تندی $10$ متربرثانیه در خلاف جهت مثبتها حرکت میکنه. ما در انتخاب چارچوب کاملاً آزادیم. حرفهایی که در چارچوبهای مختلف زده میشه، باید با هم سازگار باشن. مثلاً این مسأله رو در نظر بگیرید. فرض کنید به شما گفتن جسمی در خلاف جهت محورها داره حرکت میکنه. شتابش هم کندشونده است. حالا نمودار سرعت-زمانش چه شکلی میشه؟ میشه این:
2.pdf
چرا سرعت اولیه رو منفی گرفتیم؟ چون گفتن در خلاف جهت محور حرکت میکنه. چرا شیب خط مثبته؟ چون حرکت کندشونده بدین معناست که بعد از مدتی سرعتش صفر میشه. اگر شیب رو منفی بگیریم، هیچگاه محور زمان رو قطع نمیکنه. اما یه جور دیگه هم میشه فکر کرد. بهجای اینکه جهت حرکت رو در محاسبات جبری دخالت بدیم، فقط اندازه حرکت رو در محاسبات جبری دخالت بدیم. اندازهها نامنفی هستند. سرعت اولیه مقدار مثبتی داره و شیب خط هم باید منفی باشه تا منحنی بتونه محور زمان رو قطع کنه. با این طرز تفکر، نمودار سرعت-زمان این شکلی میشه:
1.pdf
دقت کنید که هر دو شکل بالا حرف یکسانی میزنند و کاملاً با هم سازگارند. اولاً مساحت بین اونا با محور زمان (ناحیه نقطهگذاریشده و هاشورخورده)، مقدار مساوی داره. این یعنی جابجایی در هر دو حالت یک چیزه. ثانیاً در شکل اول، مساحت مورد نظر زیر محور زمانه. یعنی جابجایی در جهت منفی انجام شده. از طرفی، شکل دوم با این فرض ساخته میشه که ما چارچوبی در نظر بگیریم که جهت مثبتش همجهت با جهت حرکت باشه؛ و برای ایجاد این چارچوب باید چارچوب قبلی رو در منفی ضرب کنیم. یعنی شکل دوم هم میگه جابجایی در راستای منفی چارچوب اول انجام میشه.
بنابراین میتونیم چارچوب رو طوری در نظر بگیریم که تندی مثبت بشه. حالا به این شکل نگاه کنید:
3.pdf
یکی از منحنیها مربوط به حرکت تندشونده و دیگری مربوط به حرکت کندشونده است. مساحت هاشورخورده (که مجموع یه مربع و یه مثلث قائمالزاویه است) این طوری بدست میاد:
\[
v_0 t+\frac{1}{2} at^2
\]
و مساحت ناحیه ستارهخورده (که اختلاف یه مربع و یه مثلث قائمالزاویه است) هم این طوری میشه:
\[
v_0 t-\frac{1}{2} at^2
\]
این دو رابطه، مقدار جابجایی رو برای هر کدوم از حرکتها مشخص میکنن. میبینید منفیهای شتاب چجوری ظاهر شدن؟
درمورد سوال اول، نظر من اینه:
سلام خسته نباشیدmaxrg.ir نوشته شده: ↑شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۵:۳۷درمورد سوال اول، نظر من اینه:
وقتی توپ سمت چپ مقداری منحرف میشه، نیروی کششی که در راستای طناب هست، همچنان $mg$ خواهد بود، ولی وزن توپ سمت چپ در کسینوس زاویه انحراف ضرب میشه. یعنی نیروی خالصی در راستای طول طناب و به سمت قرقره وجود دارد (دقت کنید که $\cos \theta <1$). درنتیجه جسم سمت راست به پایین میره. البته حرکتش نوسان هماهنگ نیست.