دوست گرامی سوالات شما کمی گیج کننده به نظر میاد خوب در مورد سوال اول شما
اجازه دهید شتاب بالابر $γ$ باشد
$x_1, m_1$ مختصات و جرم بدن چپ.
$x_2,m_2$ مختصات و جرم بدن راست
$x_0$مختصات مرکز قرقره
طول طناب Lبرای بدنهای چپ و راست $ T-m_1 g = m_1\ddot{x} $و$T - m_2 g = m_2\ddot{x}_2$
محدودیت های جنبش وجود دارد$(x_0-x_1) + (x_0-x_2) = L$یا$\ddot{x}_0-\ddot{x}_1+\ddot{x}_0-\ddot{x}_2 = 0$پس $\ddot{x}_0 = 1/2( \ddot{x}_1 + \ddot{x}_2)$در حال حل کردن${(T-m_1 g = m_1 \ddot{x}_1),(T - m_2 g = m_2 \ddot{x}_2),(\ddot{x}_0 = 1/2(\ddot{x}_1 + \ddot{x}_2)):}$
من بدست می آورم $ {(T = 2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(\ddot{x}_0 + g)),(\ddot{x}_1 =(2 \ddot{x}_0 m_2+(m_2-m_1)g)/(m_1+m_2) ),(\ddot{x}_2 = (2 \ddot{x}_0 m_1+(m_1-m_2)g)/(m_1+m_2)):}$اما .$\ddot{x}_0 = γ$ پس $ T = 2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(γ + g)$بنابراین تراز فنر خوانده می شود$ P = 2T = 4.4 g/g = 4.4$
خوب جواب دومی دوره آونگ آویزان از نقطه متصل به دو فنر افقی و یکسان فرض کنید یک آونگ سفت و سخت مانند تصویر به یک سیستم دو فنری متصل شده است. هم من می خواهم معادلات حرکت جرم m را بسازم
با استفاده از فرم لاگرانژی ابتدا ، من انرژی جنبشی سیستم را به عنوان مجموع انرژی مرتبط با ترجمه نقطه P و حرکت زاویه ای جرم m توصیف کرده ام. اجازه دهید θ زاویه بین پاندول و خط عمودی ناشی از P و $x(t)$ موقعیت P در هر نقطه معین باشد.
$T = \frac{1}{2} m \dot{\theta}^2 l^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2$
انرژی پتانسیل برابر است با ذخیره شده در فنرها بعلاوه انرژی گرانشی ناشی از حرکت m
به اگر $L_0$ طول طبیعی فنرها باشد ، انرژی کشسانی بالقوه برابر است (اگر اشتباه نکنم):
ولاستیک$V_{elastic} = \frac{1}{2}k (L_0 + x)^2 + \frac{1}{2}k (L_0 - x)^2 = (…) = kL^2_0 + kx^2$ و به دلیل حرکت زاویه ای m، انرژی بالقوه گرانشی عبارت است از:گرانشی $V_{gravitational} = mgl \sin{\theta}$و بنابراین لاگرانژی سیستم عبارت است از:$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2 l^2 + \frac{1}{2}m \dot{x}^2 - mgl\sin\theta -kL^2_0 - kx^2$با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ ، به معادلات حرکت می رسم:
$\ddot{\theta} = -\frac{g}{l}\cos\theta $و$m\ddot{x} = -2kx$
تا جایی که میدونم 1فکر کنم نتیجه درستی گرفتم : $\tau=2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 k}+\frac{g}{l}}$
جواب سوال سوم چگونه می توان معادلات پویایی سیستم را با استفاده از روش لاگرانژ پیدا کرد$T = \frac32m\dot x^2\\
V = \frac12kx^2 + 2mgx\sin(\phi_2) - mgx\sin(\phi_1)$
و این همه خوب به نظر می رسد این می دهد
$L(t, x, \dot x) = \frac32m\dot x^2 - \frac12kx^2 - mgx(2\sin(\phi_2) - \sin(\phi_1))$
توجه داشته باشید که x = 0 موقعیت خنثی برای فنر را نشان می دهد و جهت مثبت x بستگی به ϕ1 و ϕ2 دارد: اگر فنر را بردارید ، به هر طرف بلوک ها تحت جاذبه شتاب می گیرند ، این منفی x است-جهت.با استفاده از معادله لاگرانژ اویلر ، این به ما می دهد
$\frac{\mathrm d\frac{\partial L}{\partial \dot x}}{\mathrm dt}(t, x(t), \dot x(t)) = \frac{\partial L}{\partial x}(t, x(t), \dot x(t))\\
3m\ddot x = -kx - mg(2\sin(\phi_2) - \sin(\phi_1))\\
\ddot x = -\frac{k}{3m}x - \frac g3(2\sin(\phi_2) - \sin(\phi_1))$
که اساساً حرکت هارمونیک را در مورد نقطه ای از موقعیت خنثی برای چشمه نشان می دهد (یعنی تأثیر گرانش در عمل این است که کمی مرکز چشمه را حرکت دهد).لاگرانژی برای 2 جرم متصل به فنر اصولا این طور هست
پس داریم
$ L = \frac12 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2) - \frac12 k (x-y)^2 $
انگاه $\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0 \implies m \ddot{x}=-k (x-y)$و$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = 0 \implies m \ddot{y}=k (x-y)$خوب با فرض $ u=x-y$داریم $\ddot{u} + \frac{2 k}{m} u = 0$
در حقیقت شما میخواهید دو جرم m1و m2 آزادانه در یک مسیر افقی بدون اصطکاک می لغزند و توسط یک فنر که ثابت نیروی آن K است به هم متصل می شوند.فرکانس حرکت نوسانی این سیستم را بیابید.با توجه به فنری با ثابت فنری k که امتداد آن در جهت x است ، نیرویی را که فنر وارد می کند با
$|\vec{F}| = F = k|L-l|$
جایی که L طول آن و l طول تعادل آن است. حال ، تصور کنید که دو جرم در موقعیت x1 و x2 با x2> x1$ $قرار دارند ، سپس طول فنر را با $ L = x_2 - x_1$ نشان می دهیم به طوری که قدرتی که نیرو وارد می کند توسط$|\vec{F}| = F = k|(x_2-x_1) - l|$
حال اگر $ x_2 - x_1>l$ باشد ، فنر کشیده می شود که در این صورت جرم در سمت راست نیرویی به این بزرگی در سمت چپ احساس می کند و جرم در سمت چپ نیز نیرویی با همان بزرگی در سمت راست احساس می کند.
$\begin{align}
F_1 = k(x_2-x_1 - l) \\
F_2 = -k(x_2 - x_1 - l)
\end{align}$
این امر منجر به دو معادله حرکت زیر می شود
$\begin{align}
m\ddot x_1 = -k(x_1-x_2 + l) \\
m \ddot x_2 = -k(x_2 - x_1 - l)
\end{align}$
اساساً تفاوت در علامت l
می توان آن را به قانون سوم نیوتن نسبت داد. نیروهای روی هر جرم باید مساوی و بزرگ ، اما در جهت مخالف باشند.
اما جواب سوال چهارم شما آیا در یک فنر بدون جرم که دو جسم در حال سقوط آزاد را در سطوح افقی مختلف به هم متصل می کند ، کششی وجود دارداره تنش هست در فنر تنش وجود دارد. تمدید شد و از این رو تنش وجود دارد! این مرکز جرم است که با شتاب g و نه هر جرم جداگانه سقوط می کند. بنابراین معادله$mg-T=mg$
نامعتبر است با سقوط دو توده ، آنها نوسان می کنند (نزدیکتر و دورتر می شوند) و تنش یک سیکل پیدا میکنه
اجازه دهید فاصله ای را که با جرم کاهش یافته است A بنامیم
، $ x_A$ و مقدار جرم B $x_b$ معادله حرکت برای هر جرم توسط:
$ m \ddot x_A=mg+T$
$m \ddot x_B=mg-T$
T تابعی از $x_A$ و $x_b$ است $T=k(x_B-x_A-L)$که k ثابت فنر است و L طول طبیعی است) و ما نمی توانیم فرض کنیم که $\ddot x_A=g$ یا $\ddot x_B=g$ به این نوع معادلات معادلات دیفرانسیل کوپل نامیده می شوند و می توانند به روش های مختلف حل شوند.
بزار من مثالی بزنم اگر ما یک جرم m داریم که از یک چشمه ایده آل ، به سقف آسانسور متصل شده است اگر آسانسور با شتاب ثابت بالا یا پایین را شروع کند ، چه اتفاقی می افتد؟ من دیدم که در هیچ یک از این موارد دوره تغییر نکرده است ، اما نمی دانم چرا. من تصور می کردم که به دلیل نیروی ظاهری در این سیستم ، فرکانس و دوره تغییر می کند چگونه این را درک کنیم؟ در مورد یک پاندول ، دوره تغییر می کند ، درست است؟نیروی یک فنر بدون در نظر گرفتن اینکه چه چیزی به آن متصل شده است یا سایر شرایط مرزی ، مستقیماً با امتداد فنر متناسب است. نیروی فنر همیشه $ F = F_0 + k x $ است
با پیش بار $F_0$ وثابت فنر kبه نوسان در اطراف نقطه تعادل فنر اتفاق می افتد بنابراین پیش بارگیری اهمیتی ندارد. این ثابت فنر چشمه و جرم متصل به آن است که باعث می شود با قانون زیر رفتار کند $ \ddot{x} = - \left( \tfrac{k}{m} \right) \; x$
هر چیزی با $\ddot{x} = -\omega^2\, x $ با فرکانس ω تحت SHM حرکت ساده هارمونیک (گاهی مخفف SHM)قرار می گیردبه عنوان راه حلی برای معادله فوق
هرگونه شتاب پایه ، فقط نقطه تعادل را تغییر می دهد ، اما نه آنچه در نتیجه حرکت در نزدیکی نقطه تعادل اتفاق می افتد.توجه دوره نوسان از یک پاندول ساده توسط$ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$
$ g_{\text{eff}}$مخفف شتاب گرانشی موثر است. این با توجه به چارچوب مرجع تغییر می کند. به عنوان مثال ، اگر پاندول (روی زمین) با شتاب ثابت به سمت بالا شتاب می گیرد ، شتاب گرانشی موثر $(g+a)$ است.به بنابراین فرکانس و دوره زمانی تغییر می کند.برای یک سیستم جرمی فنری ، دوره زمانی $ T=2\pi{\sqrt{\frac mk}}$است
در حالی که m جرم و k ثابت فنر است. برای یک جرم معین ، k با توجه به شتابی که احساس می کند تغییر نمی کند. بنابراین دوره زمانی ثابت است.لذا مستقل از g در فنر هست ودامنه نوسان هم $ ma/k$
من مثالی دیگر میاورم یک جرم m از یک فنر بدون جرم متصل به سقف یک جعبه با جرم M. آویزان است هنگامی که جعبه ثابت است ، سیستم جرم-فنر با فرکانس زاویه ω به صورت عمودی نوسان می کند. اگر جعبه تحت سقوط آزادانه تحت نیروی گرانش قرار می گیرد ، چرا فرکانس زاویه ای افزایش می یابد؟، جواب بازم ساده هست این فقط دو جرم است که توسط یک فنر به هم متصل شده اند و میتونیم این مشکل را با استفاده از مکانیک لاگرانژی حل کنیم. بیایید فرض کنیم که جرم ها دارای جرم M و m هستند و موقعیت آنها را به ترتیب با $x_M$ و $x_m$ هماهنگ می کند. آنها همچنین با فاصله d از هم جدا می شوند و ثابت فنر k است.از $ \alpha$ استفاده میکنم به عنوان مختصات عمومی جهت نشان دهنده فاصله توده ها از تعادل:$\alpha = x_M - x_m - d$همچنین توجه دارم که $\dot{\alpha} = \dot{x}_M - \dot{x}_m, $
زیرا d یک ثابت است ، و ما می توانیم فریمی را انتخاب کنیم که در آن کل حرکت سیستم صفر است ، که به ما می دهد$ m \dot{x}_m = -M \dot{x}_M$
می توانیم انرژی جنبشی را به صورت زیر بنویسیم $ T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \dot{x}_M^2,$
و سپس با استفاده از دو معادله بالا به مختصات تعمیم یافته $ \alpha$ تبدیل کنیم:
$ T = \frac{1}{2} m \dot{x}_m^2 + \frac{1}{2} M \Big(\dot{x}_m \frac{m}{M}\Big)^2$
$ T = \frac{1}{2} m \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big)^2 + \frac{1}{2} M \Big( \Big( -\dot{\alpha} \frac{M}{m+M}\Big) \frac{m}{M}\Big)^2 $
$T= \frac{1}{2} \frac{m M^2}{(m+M)^2} \dot{\alpha}^2+ \frac{1}{2} \frac{m^2 M}{(m+M)^2}\dot{\alpha}^2 $
$ T= \frac{1}{2} \frac{m M}{m+M} \dot{\alpha}^2$
$ T= \frac{1}{2} \mu \dot{\alpha}^2,$ ،
جایی که μ جرم کاهش یافته است. یافتن انرژی پتانسیل بسیار آسان تر است:$ U = \frac{1}{2} k \alpha^2. $ لاگرانژی ما پس میشه $ L = T-U$
میتونم بنویسم $L = \frac{1}{2}\mu \dot{\alpha}^2 - \frac{1}{2} k \alpha^2, $که می تواند به معادله اویلر-لاگرانژ متصل شود$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} - \frac{\partial L}{\partial \alpha}=0. $این معادله به راحتی با دست حل می شود:
$ \mu \ddot{\alpha}+k \alpha = 0.$این به وضوح معادله یک SHMنوسان ساز ساده هارمونیک با فرکانس زاویه ای $ \sqrt{k/\mu}$ هست.من امید دارم کمک کرده باشمhelp you understand the question. Roham Hesami
رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
