استخراج معادله برنولی از ناویر استوکس

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 925

سپاس: 595

جنسیت:

تماس:

استخراج معادله برنولی از ناویر استوکس

پست توسط rohamjpl »

چرا معادله برنولی فقط برای جریان در امتداد خطی جریان دارد که بصورت چسبناک ، تراکم ناپذیر ، ثابت و غیرقابل چرخش است؟
متوجه شدم که در فرآیند استخراج معادله برنولی ،
$constant=P/d+gh+1/2v^2$
باید در تراکم ضرب شود برای ثابت نگه داشتن سمت چپ ، چگالی سیال باید ثابت باشد و بنابراین قابل تراکم نیست.
اما ویژگیهای دیگر مانند گرانوری یا چسبندگی و غیرقابل چرخش چیست؟ منظورشون چیه؟ و چرا آنها ضروری هستند؟معادله ارنولی در واقع شبیه یک معادله حفاظت از انرژی است: اگر هر دو طرف را در جریان جرم $\dot{m}$ ضرب کنید (همچنین ثابت است) بدست می آورید:
$\frac12 \dot{m}v^2+\dot{m}gh+\dot{m}\frac{p}{d}=C$
اصطلاحات همه انرژی در واحد زمان است. اولین مورد ، $\frac12 \dot{m}v^2$ ، نشان دهنده انرژی جنبشی انتقال (در واحد زمان) سیال است. اما اصطلاحی برای انرژی جنبشی چرخشی در نظر گرفته نشده است (به هر حال ، سیالی که از طریق مجاری عبور می کند به ندرت می چرخد!) بنابراین با استفاده از برنولی ، ما فقط حرکت انتقالی سیال را فرض می کنیم.
این معادله فقط در مورد مایعات نامنظم صدق می کند زیرا مایعات با ویسکوزیته قابل توجه ، اتلاف انرژی چسبناکی را تجربه می کنند ، که حفظ نمی شود: انرژی از دست رفته در اثر اصطکاک ویسکوز باید برای جلوگیری از کاهش $\dot{m}$ کاهش) ، به عنوان مثال با فشار اضافی ، تأمین شود.
من فکر می کنم استخراج معادله برنولی به روشن شدن مسائل کمک می کند.
ما با معادلات ناویر استوکس شروع می کنیم
$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u} =-\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p +\nu \nabla^2 \vec{u},$
جایی که $\rho$ چگالی ،$ p$ فشار و $\nu$ گرانروی سینماتیکی است. اصطلاح جاذبه را می توان به صورت بازنویسی کرد
$\vec{u}\cdot \vec{\nabla}\vec{u}=\vec{\nabla}(\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u})-\vec{u}\times \vec{\omega}$
جایی که$\vec{\omega}=\vec{\nabla}\times \vec{u}$ گرداب است.
اکنون می توانیم این معادله را با فرضیات مختلف بررسی کنیم.
برای مثال ، فرض کنیم چگالی ثابت است. علاوه بر این ، ما جریان را غیرقابل چرخش می دانیم. طبق تعریف این بدان معناست
$\vec{\nabla}\times\vec{u}=0\implies \vec{u}=\vec{\nabla}\phi$
$\phi$ یک تابع اسکالر سرانجام جریان را نامرئی کنید (یعنی $\nu =0$.
با این مفروضات می توان معادلات ناویر استوکس را به صورت زیر بازنویسی کرد
$\vec{\nabla}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}+\frac{1}{\rho}p\right)=0.$
این دلالت می کنه که
$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u}+\frac{1}{\rho}p=B(t)$
جایی که B فقط تابعی از زمان است. این معمولاً جذب $\phi$ می شود ، اما نمونه هایی وجود دارد که باید به ارزش سر برنولی توجه کرد
ساده سازی های دیگری نیز وجود دارد (مانند زمان مستقل ، اما احتمالاً چرخشی) که می توانید از آنها برای بدست آوردن معادله برنولی استفاده کنید.
همچنین می توان از معادله حرکت اویلر برای حرکت یک عنصر سیال dm در حال حرکت (انتقال اما بدون چرخش) در امتداد یک خط جریان از طریق یک مجرا مشتق شد:
ذره اویلر:
این معادله (تعادل نیروهایی که بر عنصر سیال وارد می شود) عبارت است از:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh+\frac{d\sigma_w}{\rho g}=0$
چهارمین اصطلاح عبارت تنش برشی برای یک مایع چسبناک است. برای یک مایع نامرئی آن عبارت صفر می شود ، بنابراین:
$\frac{dp}{\rho g}+\frac{vdv}{g}+dh=0$
بین دو نقطه در امتداد یک خط جریان و با فرض عدم تراکم پذیری (ρ = ثابت) ، بدست می آوریم:
$\int_{p_1}^{p_2}\frac{dp}{\rho g}+\int_{v_1}^{v_2}\frac{vdv}{g}+\int_{h_1}^{h_2}dh=0$و$\implies \frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{v_2^2-v_1^2}{2g}+(h_2-h_1)=0$
کمی بازسازی شده:
$\frac{p_2}{\rho}+\frac12 v_2^2+gh_2=\frac{p_1}{\rho}+\frac12 v_1^2+gh_1$
تفاوت بین Navier-Stokes و معادله Bernoulli چیست؟
معادله برنولی زمانی به دست می آید که معادلات ناویر استوکس را با مجموعه مفروضات مناسب ساده کنید. ویسکوزیته را برابر صفر (جریان نامرئی) و مشتقات زمانی را صفر (جریان ثابت) قرار می دهید. همچنین چگالی ρ را ثابت می دانید تا مشتق فضایی ρ صفر شود. اصطلاحات مانند مگس افت می کنند و معادلات N-S به معادله برنولی تبدیل می شود.معادله برنولی برای یک سیال ایده آل (ویسکوزیته صفر و هدایت حرارتی صفر) معتبر است. به منظور استفاده از آن برای مایعات واقعی (چسبناک) ، ما معمولاً آن را از طریق ضرایب مهندسی (تلفات اصطکاک ، تلفات شکل و غیره) تصحیح می کنیم ، که با انجام آزمایشات به دست آمده و در کتابهای راهنما جدول بندی شده یا در نمودارها ارائه شده است
معادلات ناویر استوکس در ترکیب با قانون حفظ جرم (معادله تداوم) جریان سیال را کاملاً توصیف می کند. هنگامی که حل می شود ، همه جزئیات جریان (فشار و سرعت جریان در همه جا). از آنجا که معادله ناویر استوکس تنها با استفاده از روشهای عددی با استفاده از منابع رایانه ای زیاد قابل حل است ، هنوز از معادله برنولی برای محاسبات استاندارد استفاده می شود.
استخراج معادله برنولی از معادله ناویر استوکس
من می توانم معادله برنولی را به صورت ابتدایی (یعنی با استفاده از قانون حفاظت از انرژی) اثبات کنم. اما از من خواسته شد تا معادله برنولی را از معادلات ناویر استوکس استخراج کنم ، و من هیچ نظری ندارم که چگونه باید پیش بروم. من سعی کردم در اینترنت جستجو کنم ، اما توضیحات خوبی پیدا نکردم.
به من گفته شد که معادله برنولی است
${v^{2} \over 2}+gh+{p \over \varrho }={\mathrm {const}}$و در کلاس ما این شکل از ناویر استوکس را داشتیم:
$-\nabla p+\varrho \boldsymbol{b}=\varrho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v\nabla v\right).$
اگر کسی می تواند به من نشان دهد که چگونه معادله برنولی را بدست آورم
استخراج معادله برنولی از معادله اولر $\rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} + u(u \cdot\nabla)\right)=-\nabla p + \rho g$به $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 +\rho g h_2.$
از اویلر شروع کنید (درست نوشته شده است- شما کاملاً درست نیست)
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+ (u\cdot \nabla) u\right)= -\nabla (p+\rho g z)$
و استفاده کنید
$[(u\cdot \nabla) u]_j=(u_i\partial_i) u_j= u_i \partial_j u_i + u_i(\partial_i u_j-\partial_j u_i)$
در قالب هویت بردار
$(u\cdot \nabla) u=- u\times (\nabla\times u)+\nabla \left(\frac 12 |u|^2\right)$
برای نوشتن آن به صورت
$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}- u\times (\nabla\times u)\right)= -\nabla \left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)$
حال جریان ثابتی را که در آن$\partial u/\partial t=0$ در نظر گرفته شده است در نظر بگیرید و یک محصول نقطه ای با u در هر دو طرف بگیرید. شما دریافت کنید
$(v\cdot \nabla)\left(p+\rho g z+\frac 12\rho|u^2|\right)=0$
که برنولی است --- یعنی مقدار داخل پرانتز در امتداد یک خط ثابت ثابت است.

برای جریان تراکم پذیر باید بنویسید
$\frac 1 \rho \nabla p= \nabla h$
جایی که h آنتالپی خاص است$H=E+PV$ در واحد جرم) و سپس برنولی می شود
$h+ g z+\frac 12|v^2|= constant.$
.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست