شار جرم ثابت در دینامیک سیالات؟
ارسال شده: یک‌شنبه ۱۴۰۰/۶/۲۸ - ۰۸:۰۰
خوب ، بنابراین من یک بحران مفهومی در مورد هیدرودینامیک دارم.
1) از آنجا که جرم باید حفظ شود $\frac{dm}{dt}=0$است؟
2) اما من می دانم که فرمول $\rho_1u_1A_1 = \rho_2u_2A_2$ وجود دارد ... و آیا این بدان معنا نیست که شار جرم حفظ شده است؟ این فرمول از کجا آمده است؟
3) چگونه می توان یک عبارت$\frac{dm}{dt}=0$را از معادله پیوستگی $\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0$استخراج کرد
بسیار خوب ، در پایان پاسخ را پیدا کردم:
استخراج
بنابراین جرم حفظ می شود ، بنابراین
$\frac{dm}{dt} = 0$
ولی
$m = \iiint \rho(\mathbf{r}, t)d^3\mathbf{r}$
به طوری که
$\frac{dm}{dt} = \iiint \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}d^3\mathbf{r} = 0$
به از معادله تداوم
$\frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\nabla \cdot(\rho\mathbf{u})$
به بنابراین
$\iiint \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}d^3\mathbf{r} = 0 \quad\text{implies} \quad -\iiint \nabla \cdot(\rho\mathbf{u}) d^3\mathbf{r}=0$
که با استفاده از قضیه استوکس می شود
$\iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset (\rho\mathbf{u})\cdot d\mathbf{S} = 0$
این را برای جریانی مانند آنچه در توضیحات تصویر دیاگرامتر در اینجا ذکر شده است اعمال کنید
به طوری که سرعت موازی با سطح مقطع (A1 و A2) است و هیچ جزء عمودی از سرعت در سطوح بالا و پایین وجود ندارد.
با فرض چگالی و سرعت ثابت در آن ناحیه (در x ثابت) ، انتگرال می شود:
$\rho_1A_1\mathbf{v_1} = \rho_2A_2\mathbf{v_2}$
اشتقاق احتمالی دوم
همچنین باید روش دیگری برای استنباط از آن وجود داشته باشد:
بار دیگر شروع از
$\frac{dm}{dt} = 0$
و با استفاده از تعریف مشتق همرفتی (یا مشتق لاگرانژی)
$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)$
جایی که $\frac{\partial}{\partial t}$مشتق Eulerian است ، می گیریم
$\frac{\partial m}{\partial t} = -(\mathbf{u}\cdot\nabla)m$
هر چند ایده ای برای رسیدن به معادله مورد نیاز وجود ندارد.
1) از آنجا که جرم باید حفظ شود $\frac{dm}{dt}=0$است؟
2) اما من می دانم که فرمول $\rho_1u_1A_1 = \rho_2u_2A_2$ وجود دارد ... و آیا این بدان معنا نیست که شار جرم حفظ شده است؟ این فرمول از کجا آمده است؟
3) چگونه می توان یک عبارت$\frac{dm}{dt}=0$را از معادله پیوستگی $\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0$استخراج کرد
بسیار خوب ، در پایان پاسخ را پیدا کردم:
استخراج
بنابراین جرم حفظ می شود ، بنابراین
$\frac{dm}{dt} = 0$
ولی
$m = \iiint \rho(\mathbf{r}, t)d^3\mathbf{r}$
به طوری که
$\frac{dm}{dt} = \iiint \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}d^3\mathbf{r} = 0$
به از معادله تداوم
$\frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\nabla \cdot(\rho\mathbf{u})$
به بنابراین
$\iiint \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}d^3\mathbf{r} = 0 \quad\text{implies} \quad -\iiint \nabla \cdot(\rho\mathbf{u}) d^3\mathbf{r}=0$
که با استفاده از قضیه استوکس می شود
$\iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset (\rho\mathbf{u})\cdot d\mathbf{S} = 0$
این را برای جریانی مانند آنچه در توضیحات تصویر دیاگرامتر در اینجا ذکر شده است اعمال کنید
به طوری که سرعت موازی با سطح مقطع (A1 و A2) است و هیچ جزء عمودی از سرعت در سطوح بالا و پایین وجود ندارد.
با فرض چگالی و سرعت ثابت در آن ناحیه (در x ثابت) ، انتگرال می شود:
$\rho_1A_1\mathbf{v_1} = \rho_2A_2\mathbf{v_2}$
اشتقاق احتمالی دوم
همچنین باید روش دیگری برای استنباط از آن وجود داشته باشد:
بار دیگر شروع از
$\frac{dm}{dt} = 0$
و با استفاده از تعریف مشتق همرفتی (یا مشتق لاگرانژی)
$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)$
جایی که $\frac{\partial}{\partial t}$مشتق Eulerian است ، می گیریم
$\frac{\partial m}{\partial t} = -(\mathbf{u}\cdot\nabla)m$
هر چند ایده ای برای رسیدن به معادله مورد نیاز وجود ندارد.