معادلات اولر برای استخراج جریان ایزنتروپیک

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 852

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

معادلات اولر برای استخراج جریان ایزنتروپیک

پست توسط rohamjpl »

من در حال خواندن کتاب "مقدمه ای ریاضی در مکانیک سیالات" از الکساندر جی چورین هستم و با استخراج معادلات اولر برای جریان ایزنتروپی مواجه شدم. صفحه 15 ، خوب هضم ان برایم مشکل هست .بحرحال چون هنوز از سطح من بالاتر هست و در ترم های بعدی مواجه خواهم شد.$\frac{d}{dt}\int_{W_t} (\frac{1}{2} \rho ||\vec{u}^2|| + \rho \epsilon ) dV = -\int_{\partial W_t} p \vec{u}\cdot \vec{n} dA + \int_{W_t}\rho \vec{u}\cdot \vec{b}dV
$به$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = -\nabla \omega + \vec{b}
$حال ، فرض بر این است که این یک جریان فشرده است ، بنابراین $\nabla \cdot \vec{u}
$ لزوماً برابر با 0 نیست و تغییر در انرژی داخلی نیز لزوماً صفر نیست.نویسنده می نویسد
این از تعادل حرکت با استفاده از عبارات قبلی ما برای $(d/dt)E_{kinetic}
$ ، قضیه حمل و نقل و$p = \rho^2 \frac{\partial \epsilon}{\partial \rho}
$` ناشی می شوداین همان چیزی است که به اعتقاد من عبارات اولیه (d / dt) سینِتیک است
$d/dt E_{kinetic} = \frac{d}{dt}\int_{W_t} (\frac{1}{2} \rho ||\vec{u}^2||)dV = \int _{W_t} \rho ( \vec{u}\cdot(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}))dV
$وقتی خودم سعی کردم به نتیجه برسم ، گیر می کنم به:$\frac{d}{dt}\int_{W_t} (\frac{1}{2} \rho ||\vec{u}^2|| + \rho \epsilon ) dV = -\int_{\partial W_t} p \vec{u}\cdot \vec{n} dA + \int_{W_t}\rho \vec{u}\cdot \vec{b}dV\\
\int_{W_t} (\rho(\vec{u}\cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} \cdot ((\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u})) + \rho \frac{D}{Dt}\epsilon ) dV = \int_{W_t} (- \nabla \cdot (p \vec{u}) + \rho\vec{u}\cdot \vec{b}) dV\\
\rho(\vec{u}\cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} \cdot ((\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u})) + \rho \frac{D}{Dt}\epsilon = - (\vec{u}\cdot(\nabla p) + p\nabla\cdot \vec{u}) + \rho\vec{u}\cdot \vec{b} \\
\rho\vec{u}\cdot(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}) + \rho \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \rho \nabla \cdot (\epsilon \vec{u})= - \vec{u}\cdot(\rho \nabla \omega) - p\nabla\cdot \vec{u} + \rho\vec{u}\cdot \vec{b} \\
{"roham hesami}$
که به نظر نمی رسد دیگر قابل کاهش باشد. مگر اینکه تصور کنم غیرقابل انعطاف باشد ، یعنی $(D/Dt) \epsilon = 0
$ و $\nabla \cdot \vec{u} = 0
$. وقتی این کار را می کنم ، می توانم انجام دهم:$\rho\vec{u}\cdot(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}) + \rho \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \rho \nabla \cdot (\epsilon \vec{u})= - \vec{u}\cdot(\rho \nabla \omega) - p\nabla\cdot \vec{u} + \rho\vec{u}\cdot \vec{b} \\
\rho\vec{u}\cdot(\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u})= - \vec{u}\cdot(\rho \nabla \omega) + \rho\vec{u}\cdot \vec{b} \\
\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = -\nabla \omega + \vec{b}
{"roham hesami }$که دقیقاً پاسخی است که کتاب ادعا می کند. اما این معادله قرار است جریان ایزنتروپیک قابل فشردگی (همراه با معادله حفظ جرم و شرایط مرزی برای حجم به دام افتاده $\vec{u}\cdot \vec{n} = 0
$را توصیف کند. چگونه می توانم به آنجا بروم؟خوب من با پرسش از بقیه و راهنمایی جناب ابولبشری
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{W_t}\left(\tfrac{1}{2}\rho\rvert\rvert\mathbf{u}\rvert\rvert^2+\rho\epsilon\right)\mathrm{d}V = -\int_{W_t}p\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}A + \int_{W_t}\rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{b}\mathrm{d}V,
$و از قضیه حمل و نقل و قضیه واگرایی برای از بین بردن استفاده کنید
$\int_{W_t}\left(\rho\mathbf{u}\cdot\frac{D\mathbf{u}}{Dt} + \rho\frac{D\epsilon}{Dt}\right)\mathrm{d}V = \int_{W_t}\left(-\nabla\cdot(p\mathbf{u}) + \rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{b}\right)\mathrm{d}V
$و$\Longrightarrow\;\,\rho\mathbf{u}\cdot\frac{D\mathbf{u}}{Dt} + \rho\frac{D\epsilon}{Dt} = -\nabla\cdot(p\mathbf{u}) + \rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{b}.
$حال ، ما تقسیم بر $\rho
$ می کنیم و برای بدست آوردن از $\nabla w = \nabla p/\rho
$ استفاده می کنیم$\mathbf{u}\cdot\frac{D\mathbf{u}}{Dt} + \frac{\partial\epsilon}{\partial\rho}\frac{D\rho}{Dt} = -\mathbf{u}\cdot\nabla w - \frac{p}{\rho}\nabla\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{b}.
$سرانجام ، با استفاده از$D\rho/Dt=-\rho\nabla\cdot\mathbf{u}
$ و $p/\rho = \rho\partial\epsilon/\partial\rho
$، در می یابیم
$\mathbf{u}\cdot\frac{D\mathbf{u}}{Dt} - \frac{p}{\rho}\nabla\cdot\mathbf{u} = -\mathbf{u}\cdot\nabla w - \frac{p}{\rho}\nabla\cdot\mathbf{u} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{b}
$
$\Longrightarrow\;\, \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla w + \mathbf{b}.
$
P.S. توجه داشته باشید که $D\epsilon/Dt = \partial\epsilon/\partial t + \mathbf{u}\cdot\nabla\epsilon
$ ، که با $\partial\epsilon/\partial t + \nabla(\epsilon\mathbf{u})
$متفاوت است.داردhope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile260 smile261
تصویر

ارسال پست