تراکم پذیری و شکل قانون دوم نیوتن در مکانیک سیالات

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami

محل اقامت: Tehran, Qeytariyeh

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 852

سپاس: 524

جنسیت:

تماس:

تراکم پذیری و شکل قانون دوم نیوتن در مکانیک سیالات

پست توسط rohamjpl »

به طور خاص در استخراج معادلات اولر برای مکانیک سیالات
$f=\rho \partial_t v +\rho v\cdot \nabla v
$
برای برخی از نیروهای بدن f یکی معادله پیوستگی $\partial_t\rho=-\nabla\cdot\left(\rho v\right)
$ و قانون دوم نیوتن را به شکل F = ma بنابراین فرض می کند
$f=\rho D_t v
$
که در آن $D_t=\partial_t+v\cdot \nabla
$ مشتق کل زمان است
اگر یکی به جای آن از $F=\dot p
$استفاده کند تا$f = D_t\left(\rho v\right)
$سپس برای اینکه بتوانیم معادله اولیه خود را پس بگیریم ، باید $D_t \rho=0
$ را فرض کنیم اما البته$D_t \rho=\partial_t\rho+v\cdot \nabla\rho=\nabla\cdot\rho
$ و بنابراین جریان را غیرقابل فهم می دانیم.
لاندائو بیان می کند که وی در این مرحله عدم تطابق پذیری را فرض نکرده است ، بنابراین چگونه می توان بدون از دست دادن عمومیت ، شکل اول را برای قانون دوم نیوتن انتخاب کرد؟
(اگر پاسخ شما برای تنشسازهای انرژی استرس یا Navier-Stokes و غیره جذاب است ، در صورت امکان لطفا نشان دهید که چگونه این تصور به طور ضمنی ساخته نشده است.
برای روشن تر شدن ، همانطور که در بالا نشان دادم ، اگر بگویید $f = D_t\left(\rho v\right)
$و همچنین $f=\rho \partial_t v +\rho v\cdot \nabla v
$ پس نتیجه می یابد که جریان غیرقابل انعطاف است. من فکر نمی کنم که این به معنای عدم انعطاف پذیری باشد ، پس چرا این فرض نادرست است؟مشکل اصلی معادلات پیوستار این است که فقط یک "حدس خوش شانس" از پویایی های ماکروسکوپی است که در غیر اینصورت با معیارهای میکروسکوپی اداره می شود. شما با لحظه ای روبرو شده اید که این "حدس زدن" کاملاً سازگار نیست.
قبل از شروع کار در استخراج فنی ، غیر Dtρ در معادله نیوتن فقط نتیجه این واقعیت است که نیروی واقعی روی ذرات میکروسکوپی که جرم آنها تغییر نمی کند ، عمل می کند. از این رو ، فقط سرعت ماکروسکوپی مایع تحت تأثیر نیرو قرار می گیرد.
بیایید یک تابع توزیع فضا و فضای یک ذره را تعریف کنیم $f(\vec{x},\vec{p},t)
$. ما معادله بولتزمن را داریم که مستقیماً از مکانیک کلاسیک گرفته شده است (این در واقع تنها نقطه ورود$\vec{F}=\dot{\vec{p}}
$ است)
$\frac{df}{dt} = \partial_t f + \{f,H\} = \partial_t f + \frac{\vec p \cdot \nabla_x f}{m} + \vec{F} \cdot \nabla_p f
$
بدون برخورد با ذرات دیگر ، فقط df / dt = 0 خواهیم داشت اما با تعامل می توان گروه را به عنوان N کپی از توزیع یک ذره با اصطلاح برخورد توصیف کرد
$\partial_t f + \frac{\vec p \cdot \nabla_x f}{m} + \vec{F} \cdot \nabla_p f = \delta_t f|_c
$
اکنون می توانیم کل معادله را در فضای حرکت$\int d^3p
$ ادغام کنیم تا معادله پیوستگی را بدست آوریم
$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = \delta_t \rho|_c
$
به طور طبیعی$\rho \equiv m \int f d^3p
$ و $\vec{v} = <\vec{p}>/\rho = \int \vec{p} f d^3 p/\rho
$. اصطلاح δtρ | c به عنوان مثال در واکنش های شیمیایی غیر صفر است. با ادغام مجدد معادله بولتزمن ، این بار مانند $\int \vec{p} ... d^3 p
$ دریافت می کنیم
$\partial_t(\rho v^j) + \sum \partial_{x_i} T_{ij} - \frac{\rho}{m} F^j = \delta_t p^j|_c
$که در آن دوباره δtp | c صفر است برای صاف کردن برخورد و هیچ واکنش شیمیایی. نماد جدید$T_{ij} = <p_i p_j>/m = \int p_i p_j f d^3p/m$ است و می توانید در آن $\rho v^i v^j
$ ، فشار ایزوتروپیک $<\sum p_i^2>/3\rho
$ و تنش چسبناک $(<p_i p_j>-<p_i><p_j>)/\rho
$ را مشخص کنید. / ρ) برای سادگی ، اکنون اجازه دهید تنش چسبناک را رها کرده و با استفاده از معادله پیوستار که می توانیم بدست آوریم$\frac{\rho}{m} \vec{F} = \rho D_t \vec{v} + \nabla P ,
$یا فرم "قانون نیوتن" بسیار بیشتر$\vec{F} = m D_t \vec{v} + \frac{m}{\rho} \nabla P.
$بنابراین قانون نیوتن در پیوستار فقط به عنوان شهودی از چگونگی عملکرد مجموع نیروها روی ذرات منفرد بر روی خصوصیات متوسط ​​گروه قابل استخراج است. این معقول است که شما در نظر بگیرید که $\vec{f}
$ دقیقاً نیرو نیست بلکه تعداد زمان ذرات را در هر حجم مجبور می کند.
با این حال ، توجه داشته باشید که این معادله سرعت متوسط ​​است ، اما نیرو نیز بر حرکت بالاتر $\int \vec{p} \vec{p}...d^3p
$ معادله حرکت تأثیر می گذارد و این برای مثال در فیزیک پلاسما مهم است.
در مایعات غیر شدید معادلات مومنتوم بالاتر معمولاً نادیده گرفته می شوند ، زیرا گشتاور بالاتر δtf | c به این راحتی از بین نمی رود و در نتیجه تهیه آن در یک رژیم غیر مزاحم بسیار دشوار است (که این امر در مورد یک مایع کاملاً بسته بندی شده است) از یک پلاسما یا گاز شل). به عنوان یک نتیجه ، خواص ماکروسکوپی مشاهده شده مایعات مانند عدم تراکم به عنوان شرایط اضافی برای دریافت یک مدل عملی وصل می شوند.اگر یکی به جای آن از $F=\dot p
$˙ استفاده کند تا$f = D_t\left(\rho v\right)
$فرمول قانون دوم توسط معادله$\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt}
$جایی که p حرکت کلی سیستم است فقط به شرطی معتبر است که سیستم در نظر گرفته شده قطعات را از دست ندهد و بنابراین جرم ثابت داشته باشد. این مسئله معمولاً در هیدرودینامیک اتفاق می افتد ، زیرا ما به یک عنصر سیال فکر می کنیم که تمام قسمتهای خود را در داخل یک سطح مرزی نگه داشته و با سیال در حال حرکت و تغییر شکل است.
اما تصور اینکه این معادله فوق الذکر را نشان می دهد نادرست است. برعکس ، معادله ضمنی معادله ای است که در آن ρ از نظر زمان مورد افتراق قرار نمی گیرد. این مسئله در مکانیک سیالات همیشه قابل فهم است ، مایع قابل فشرده شدن است یا خیر.
ما می توانیم معادله فوق را به صورت آشنا بازنویسی کنیمF = ma ،یعنی نیرو برابر با شتاب جرم مرکز جرم سیستم است.
برای یافتن عبارت نیرو در واحد حجم ، فرض می کنیم که کل نیروی وارد بر عنصر با حجم ΔV با دقت کافی به دست آمده است
$\mathbf F = \mathbf f\Delta V
$و اینکه جرم آن با دقت کافی توسط داده شده است $m = \rho\Delta V.$.نتیجه می شود کهf = ρa.
مقدار a شتاب عنصر سیال است - سرعت تغییر سرعت آن u (t). از آنجا که این سرعت را می توان از طریق تابع میدان سرعت $\mathbf v(x,y,z,t)$ به صورت زیر بیان کرد$\mathbf u(t) = \mathbf v(x(t),y(t),z(t),t),
$که در آن x (t) ، ... مختصات عنصر سیال در زمان t هستند ، می توانیم $\mathbf a = d\mathbf u/dt
$ را به صورت$d\mathbf u/dt = \partial_t \mathbf v + \partial_x (\mathbf v )\dot{x} + \partial_y (\mathbf v )\dot{y} + \partial_z (\mathbf v )\dot{z}
$این معمولاً در فرم نوشته می شود$\mathbf a = \partial_t \mathbf v + \mathbf v \cdot \nabla\mathbf v.
$
داردhope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile260 smile261
تصویر

ارسال پست